EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014)

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1 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) BERNHARD HANKE Metrische Räume und topologische Räume Definition 1.1. Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) bestehend aus einer Menge X und einer Abbildung d : X X R 0 mit den folgenden Eigenschaften: Für alle x, y, z X gilt d(x, y) = d(y, x), d(x, y) = 0 x = y, d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung). Wichtige Beispiele sind der euklidische Raum (R n, d) mit der euklidischen Metrik d(x, y) := x y oder auch Funktionenräume wie (C([0, 1], R), d), die Menge der stetigen Abbildungen [0, 1] R versehen mit der Metrik d(f, g) := max f(t) g(t). t [0,1] Ist (X, d) ein metrischer Raum, so trägt jede Teilmenge A X eine (durch Einschränkung von d gegebene) induzierte Metrik. In metrischen Räumen kann das Konzept einer stetigen Funktion bekanntlich mittels des ɛ δ-kriteriums definiert werden: Definition 1.2. Es seien (X, d X ), (Y, d Y ) metrische Räume. Eine Abbildung f : X Y heißt stetig, falls für jedes x X und jedes ɛ > 0 ein (in der Regel von x abhängiges) δ > 0 existiert mit d X (x, x ) < δ d Y (f(x ), f(x)) < ɛ. In der Analysis beweist man viele nützliche Sätze für auf Teilmengen von R definierte stetige reellwertige Funktionen. Als Beispiel verweisen wir auf den Zwischenwertsatz oder die Tatsache, dass jede auf einem beschränkten abgeschlossenen Intervall I R definierte stetige Funktion I R ihr Maximum und Minimum annimmt. Wir werden unter anderem diese Tatsachen im abstrakteren topologischen Rahmen wiederfinden. Ist (X, d) ein metrischer Raum und x X, so definieren wir für alle ɛ > 0 die offene Kugel um x mit Radius ɛ B ɛ (x) := {p X d(p, x) < ɛ}. 1

2 2 BERNHARD HANKE Definition 1.3. Eine Teilmenge U X eines metrischen Raumes heißt offen, falls für alle x U ein ɛ > 0 existiert mit B ɛ (x) U. Folgende Aussage zeigt man leicht mit der Dreiecksungleichung. Lemma 1.4. Ist (X, d) ein metrischer Raum, x X und ɛ > 0, so ist die offene Kugel B ɛ (x) X eine offene Teilmenge des metrischen Raumes (X, d) im Sinne obiger Definition. Man beweist nun Proposition 1.5. Eine Abbildung f : X Y zwischen metrischen Räumen ist genau dann stetig, falls für alle offenen Teilmengen U Y das Urbild offen ist. f 1 (U) X Beweis. Sei f stetig und U Y eine offene Teilmenge. Es sei x f 1 (U). Da U offen ist, existiert ein ɛ > 0 mit B ɛ (f(x)) U. Wegen der Stetigkeit von f existiert ein δ > 0, so dass f(b δ (x)) B ɛ (f(x)). Somit gilt B δ (x) f 1 (U). Da x f 1 (U) beliebig war, folgt daraus, dass f 1 (U) offen ist. Sei nun umgekehrt für alle offenen Teilmengen U Y das Urbild f 1 (U) offen. Es seien x X und ɛ > 0 beliebig. Der Ball B ɛ (f(x)) Y ist eine offene Teilmenge im Sinne von Definition 1.3 (nach Lemma 1.4). Daher ist nach Voraussetzung f 1 (B ɛ (f(x))) X offen und wir finden also ein δ > 0 mit B δ (x) f 1 (B ɛ (f(x))). Dies ist gleichbedeutend mit f(b δ (x)) B ɛ (f(x)). Damit ist die Stetigkeit von f gezeigt. Proposition 1.5 legt es nahe, den Begriff der Stetigkeit abstrakter zu fassen und alleine auf den Begriff der offenen Teilmengen abzustellen. Definition 1.6. Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, T ) bestehend aus einer Menge X und einer Menge T P(X) von Teilmengen von X mit den folgenden Eigenschaften. T, X T, U, V T U V T, S T U S U T. Die Elemente von T werden offene Teilmengen von X genannt. Eine Teilmenge A X heißt abgeschlossen, falls X \ A offen ist. Das zweite obige Axiom besagt, dass der Schnitt endlich vieler offener Teilmengen wieder offen ist und das dritte Axiom, dass die Vereinigung beliebig vieler offener Teilmengen wieder offen ist. Der Begriff des topologischen Raumes ist gerade deshalb so nützlich, weil er in ganz verschiedenen mathematischen Kontexten auftritt und daher Sätze, die wir für topologische Räume beweisen, in der Regel eine breite Anwendung finden.

3 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) 3 Man kann auf einer gegebenen Menge X zahlreiche Topologien angeben - die meisten davon sind eher künstlich und unnütz. Zwei extreme Spezialfälle sind die der diskreten Topologie, bei der jede Teilmenge von X als offen erklärt wird und die Klumpentopologie mit T = {, X}. Man kann leicht zeigen dass die Menge der offenen Teilmengen in einem metrischen Raum (X, d) eine Topologie im obigen Sinne bildet. Wir nennen diese die von der Metrik induzierte Topologie. Definition 1.7. Es sei (X, T ) ein topologischer Raum und A X eine Teilmenge. Die Menge der Schnitte U A A, wobei U X offen ist, bildet eine Topologie auf A, die Unterraumtopologie, oder von T induzierte Topologie. Eine Teilmenge V A ist also genau dann offen (abgeschlossen) bezüglich der Unterraumtopologie, falls es eine offene (abgeschlossene) Menge U X gibt mit U A = V. Falls X ein metrischer Raum ist und A X, so stimmt die Unterraumtopologie auf A mit der Topologie überein, die von A als metrischem Raum (mit der Metrik von X) induziert ist Man kann fragen, ob auf einem gegebenen topologischen Raum (X, T ) eine Metrik existiert, so dass die von der Metrik induzierte Topologie mit T übereinstimmt. Falls dies der Fall ist, so nennen wir den topologischen Raum (X, T ) metrisierbar. Allerdings ist nicht jeder topologische Raum ist metrisierbar - wir werden in Kürze ein notwendiges Kriterium für Metrisierbarkeit kennenlernen. Definition 1.8. Ein topologischer Raum X heißt Hausdorffsch, falls für alle x, y X mit x y offene Teilmengen U und V von X existieren, so dass x U, y V und U V =. Falls X mehr als einen Punkt enthält, so ist die Klumpentopologie nicht Hausdorffsch. Damit ist diese auch nicht metrisierbar, denn es gilt Proposition 1.9. Jeder metrisierbare topologische Raum ist Hausdorffsch. Beweis. Sind x, y X zwei verschiedene Punkte, so setze d := d(x, y). Die offenen Kugeln um x und y mit Radius d/2 sind nach der Dreiecksungleichung disjunkt. Später in der Vorlesung werden wir auch hinreichende Bedingungen für die Metrisierbarkeit eines topologischen Raumes kennenlernen. Wir können nun den Stetigkeitsbegriff von metrischen Räumen auf allgemeine topologische Räume verallgemeinern. Definition Es seien X und Y topologische Räume. Eine Abbildung f : X Y heißt stetig falls für jede offene Menge U Y das Urbild f 1 (U) X

4 4 BERNHARD HANKE wieder offen ist. Eine bijektive stetige Abbildung f : X Y mit stetiger Inverser f 1 : Y X heißt Homöomorphismus. Sind X und Y homöomorph, so schreiben wir auch X Y. Ist X ein topologischer Raum, A X eine Teilmenge und f : X Y stetig, so ist die Einschränkung f A : A X ebenfalls stetig. Die Komposition stetiger Abbildungen ist stetig. Es ist leicht, Beispiele für stetige, bijektive Abbildungen anzugeben, die keine Homöomorphismen sind: Ist X eine zweielementige Menge, T 1 die diskrete Topologie und T 2 die Klumpentopologie auf X, so ist die Identität (X, T 1 ) (X, T 2 ) stetig und bijektiv, aber kein Homöomorphismus. Die Homömorphismen spielen in der Topologie die gleiche Rolle wie die linearen Isomorphismen in der linearen Algebra, die biholomorphen Abbildungen in der Funktionentheorie, die Gruppenisomorphismen in der Gruppentheorie, die Isometrien in der Riemannschen Geomtrie, etc. Eines der Grundprobleme der Topologie lässt sich wie folgt formulieren: Es seien topologische Räume X und Y gegeben. Entwickle Methoden, die es erlauben zu entscheiden, ob X und Y homöomorph sind oder nicht. Insbesondere die algebraische Topologie entwickelt effektive Hilfsmittel, diese Frage zu entscheiden. Ein prominentes Resultat in diese Richtung lautet: Satz Für n m sind die topologischen Räume R n und R m (mit der von den von den jeweiligen Metriken induzierten Topologien) nicht homöomorph. In dieser Vorlesung werden wir diesen Satz für n = 2 zeigen. Im Zusammenhang mit topologischen Räumen müssen wir noch einige Vokabeln einführen. Sind T und T Topologien auf einem Raum X und gilt T T, d.h. jede bzgl. T offene Teilmenge ist auch offen bzgl. T, so nennen wir T gröber als T und T feiner als T. Damit ist die Klumpentopologie die gröbste und die diskrete Topologie die feinste Topologie auf X. Definition Es sei (X, T ) ein topologischer Raum. Eine Menge B T von offenen Teilmengen von X heißt Basis der Topologie, falls jede offene Menge U T Vereinigung von Mengen aus B ist. Wir nennen B T eine Subbbasis der Topologie, falls jede offene Menge U T Vereinigung von Mengen ist, von denen jede Schnitt endlich vieler Mengen aus B ist. Sind X und Y topologische Räume, f : X Y eine Abbildung und B eine Subbasis der Topologie auf Y, so ist f genau dann stetig, falls f 1 (U) X offen ist für alle U B. In jedem metrischen Raum bilden die offenen Kugeln eine Basis der von der Metrik induzierten Topologie. Wir können uns im R n sogar auf die Kugeln mit rationalen Mittelpunkten und rationalen Radien beschränken. Damit hat die Standardtopologie auf R n sogar eine abzählbare Basis.

5 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) 5 Ist X eine Menge (zunächst ohne Topologie), so ist nicht jede Menge B P(X) Basis einer Topologie auf X (denn B muss nicht abgeschlossen unter endlichen Schnitten sein). Jedoch ist B auf jeden Fall Subbasis einer Topologie T von X, die wir die von B erzeugte Topologie nennen wollen. Die Elemente von T sind genau die Teilmengen von X, die sich als Vereinigung von Mengen schreiben lassen, von denen jede endlicher Schnitt von in B enthaltenen Teilmengen von X ist. Man überlegt sich leicht, dass die Gesamtheit all der so gebildeten Teilmengen von X tatsächlich eine Topologie auf X bildet und dass es keine gröbere Topologie T gibt mit B T. Sind X und Y topologische Räume, so ist die Produktopologie auf X Y die Topologie, die von allen Streifen U Y und X V erzeugt wird, wobei U offen in X und V offen in Y ist. Die Rechtecke U V X Y bilden eine Basis der Produkttopologie, da der Schnitt endlich vieler Rechtecke wieder ein Rechteck ist. Direkt aus der Konstruktion folgt: Proposition Die Produkttopologie auf X Y hat die folgenden Eigenschaften: Die Projektionen π X : X Y X und π Y : X Y Y sind stetig. Ist T eine echt gröbere Topologie auf X Y als die Produkttopologie, so sind die Projektionen X Y X und X Y Y nicht beide stetig. Mit anderen Worten: Die Produkttopologie ist die gröbste Topologie auf X Y so dass beide Projektionen auf die Faktoren stetig sind. Gewissermaßen dual zur Produkttopologie ist die sogenannte Summentopologie: Es seien (X, T ) und (Y, T ) topologische Räume und X Y =. Dann wird die Summentopologie auf der disjunkten Vereinigung X Y von T T erzeugt (diese Vereinigung bildet sogar eine Basis der Summentopologie). Sie ist die feinste Topologie auf X Y, so dass die beiden Inklusionen i X : X X Y und i Y : Y X Y stetig sind. Wir notieren die folgenden wichtigen Eigenschaften der Produkt- und Summentopologie. Proposition Es seien X, Y, Z topologische Räume. Falls X Y =, so ist eine Abbildung X Y Z stetig genau dann, falls die beiden Kompositionen X i X X Y Z und Y i Y X Y Z stetig sind. Eine Abbildung Z X Y ist stetig genau dann, falls die beiden Kompositionen Z X Y πx X und Z X Y π Y Y stetig sind. Beweis. Wir beweisen nur die zweite Aussage und überlassen den Beweis der ersten als Übung. Falls f : Z X Y stetig ist, so auch π X f und π Y f, da die Komposition stetiger Abbildungen stetig ist. Es seien umgekehrt π X f und π Y f stetig. Wir müssen zeigen, dass für alle offenen Mengen W X Y das Urbild f 1 (W ) offen in Z ist. Da die

6 6 BERNHARD HANKE Urbildoperation das Bilden von Vereinigungs- und Schnittmengen erhält, genügt es den Fall zu betrachten, dass W ein Element einer Subbasis der Produkttopologie auf X Y ist, dass also W = U Y oder W = X V, wobei U X, bzw. V Y offen sind. Im ersten Fall ist f 1 (W ) = (π X f) 1 (U), im zweiten Fall haben wir f 1 (W ) = (π Y f) 1 (V ). Beide Urbilder sind offen in Z, da nach Voraussetzung f π X und f π Y stetig sind Es sei nun X ein topologischer Raum und A X eine beliebige Teilmenge. Wir definieren das Innere int(a) A als die Vereinigung aller in A enhaltenen offenen Mengen (da immer offen ist, gibt es mindestens eine solche Teilmenge). Nach Definition ist int(a) A offen und jede andere (in X) offene Teilmenge, die in A enthalten ist, ist auch in int(a) enthalten. Damit ist int(a) die größte in A enthaltene in X offene Teilmenge. Entsprechende definieren wir den Abschluss A A als den Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von X, die A enthalten. Man beachte dabei, dass der Schnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen eines topologischen Raumen wieder abgeschlossen ist. A ist nach Konstruktion die kleinste abgeschlossene Teilmenge von X die A enthält. Offensichtlich ist A = X \ (int(x \ A)). Definition Es sei X ein topologischer Raum, x X und V X eine Teilmenge. Wir nennen V eine Umgebung von x, falls es eine offene Teilmenge U X gibt mit x U und U V. (Die Umgebung V braucht selbst keine offene Menge zu sein). Proposition Ein Punkt x X liegt genau dann in A, falls jede Umgebung von x einen Punkt aus A enthält. Weiterhin setzen wir A := A \ int(a). Dies ist der Rand von A. Aus der vorherigen Proposition folgt Proposition Ein Punkt x X liegt genau dann in A, falls jede Umgebung von x sowohl Punkte von A als auch Punkte von X \ A enthält. 2. Zusammenhang und Wegzusammenhang Anschaulich gesprochen ist ein topologischer Raum zusammenhängend, wenn er nicht in zwei oder mehr voneinander unabhängige Teile zerfällt. Es gibt zwei grundlegende mathematische Präzisierungen dieser Vorstellung, die wir in diesem Kapitel besprechen werden.

7 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) 7 Definition 2.1. Ein topologischer Raum X heißt wegweise zusammenhängend, falls es für je zwei Punkte x, y eine stetige Abbilung γ : [0, 1] X gibt, die x mit y verbindet, d.h. γ(0) = x, γ(1) = y. Die euklidischen Räume R n (mit der Standardtopologie) sind wegzusammenhängend. Auch der topologische Raum ({p, q}, {, {p}, {p, q}}) ist wegzusammenhängend (!). Die Vereinigung (, 0) (0, ) R (mit der Teilraumtopologie) ist nicht wegzusammenhängend (wir werden weiter unten sehen, warum). Die Bedingung x, y lassen sich durch einen Weg in X verbinden definiert eine Äquivalenzrelation auf X. Die Äquivalenzklassen nennt man Wegzusammenhangskomponenten. Das folgende Resultat ist offensichtlich: Proposition 2.2. Ist f : X Y eine stetige Abbildung und ist X wegzusammenhängend, so ist auch f(x) (mit der von Y induzierten Topologie) wegzusammenhängend. Etwas abstrakter ist der folgende Zusammenhangsbegriff: Definition 2.3. Ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, falls X nicht disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer offener Teilmengen ist. Die Teilmengen Q R oder (, 0) (0, ) R sind nicht zusammenhängend. Folgende Bedingungen sind äquivalent zum Zusammenhang von X: Die einzigen zugleich offenen und abgeschlossenen Teilmengen von X sind nur die leere Menge und X selber. Ist f : X {0, 1} eine stetige Abbildung von X in den diskreten Raum mit zwei Elementen, dann ist f konstant. Aus der zweiten Bedingung folgert man leicht: Proposition 2.4. Ist X Y stetig und X zusammenhängend, so ist auch f(x) zusammenhängend. Sind A, B zusammenhängender Teilmengen eines topologischen Raumes X und gilt A B, so ist A B zusammenhängend. Wir erhalten damit (Transitivität folgt aus dem zweiten Teil der vorherigen Proposition) Korollar 2.5. Die Bedingung x, y liegen beide in einem zusammenhängendem Unterraum von X definiert eine Äquivalenzrelation auf X. Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man die Komponenten von X. Man sieht leicht, dass X genau dann zusammenhängend ist, wenn X nur eine einzige Komponente (nämlich die Teilmenge X X) hat: Die Implikation von links nach rechts ist klar. Sei umgekehrt X die einzige Komponente von X. Wir betrachten eine stetige Abbildung f : X {0, 1} (der rechte Raum sei mit der diskreten Topologie versehen). Sind p, q X, so

8 8 BERNHARD HANKE gibt es eine zusammenhängende Teilmenge A X mit p, q A (denn nach Voraussetzung sind p, q bezüglich der Zusammenhangsrelation äquivalent). Die Abbildung f A : A {0, 1} ist also konstant und somit f(p) = f(q). Also ist f insgesamt konstant. Beispiel. Die Komponenten des Unterraumes Q R (wie immer mit der Teilraumtopologie) sind genau die einpunktigen Mengen {p}, p Q. Trotzdem ist Q kein diskreter topologischer Raum! Wir sehen, dass es in der Regel einfach ist zu zeigen, dass ein Raum wegzusammenhängend, bzw. nicht zusammenhängend ist. Das folgende fundamentale Resultat liefert in vielen Fällen die anderen Implikationen. Proposition 2.6. Die Menge [0, 1] R (mit der Teilraumtopologie) ist zusammenhängend. Beweis. Angenommen, es gibt disjunkte nichtleere offene Mengen U, V [0, 1] mit [0, 1] = U V. Ohne Einschränkung gilt 1 V. Wegen der Offenheit von V gibt es ein ɛ > 0 mit (1 ɛ, 1] V. Wir setzen m := sup U. Nach dem vorher Gesagten ist m < 1. Gälte m U, so gäbe es wegen der Offenheit von U und wegen m < 1 ein δ > 0 mit [m, m + δ) U im Widerspruch zur Definition von m. Daher muss m V gelten. Es folgt m > 0, denn ansonsten wäre U =. Also gibt es ein δ > 0 mit (m δ, m] V, im Widerspruch zur Definition von m. Es folgt Korollar 2.7. Jeder wegzusammenhängende Raum ist zusammenhängend. Beweis. Sei X wegzusammenhängend aber nicht zusammenhängend. Es sei X = U V mit disjunkten, offenen, nichtleeren Teilmengen U, V X. Wir wählen x U und y V und verbinden diese Punkte durch einen Weg γ : [0, 1] X. Dann ist γ 1 (U) γ 1 (V ) eine Zerlegung von [0, 1] in zwei disjunkte, nichtleere, offene Teilmengen. Dies ist unmöglich, da [0, 1] zusammenhängt. Insbesondere ist der Unterraum (, 0) (0, ) R also nicht wegzusammenhängend. Weiterhin folgt, dass jede Wegzusammenhangskomponente eines Raumes in einer Zusammenhangskomponenten enthalten ist. Die Umkehrung des letzten Korollars gilt nicht: Man kann zusammenhängende Räume konstruieren, die nicht wegzusammenhängend sind, siehe Aufgabe 3 auf Übungsblatt 2. Als Folgerung unserer Betrachtungen erhalten wir den bekannten Zwischenwertsatz: Proposition 2.8. Es sei f : [0, 1] R eine stetige Abbildung. Gilt f(0) < 0 und f(1) > 0, so existiert ein t [0, 1] mit f(t) = 0.

9 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) 9 Beweis. Ansonsten hätten wir im (f) U V, wobei U := (, 0), V := (0, ), und im (f) U und im (f) (V ), d.h. im f = (U im f) (V im f) wäre eine Zerlegung von im f in zwei disjunkte nichtleere offene Teilmengen. Dies widerspricht der Tatsache, dass im f (nach Proposition 2.4) zusammenhängend ist Konvergenz Ein zentraler Begriff in der Theorie metrischer Räume ist der der konvergenten Folge. Die entsprechende Definition für allgemeine topologische Räume lautet wie folgt. Definition 3.1. Es sei X ein topologischer Raum, (x n ) n N eine Folge in X und x X. Man sagt, die Folge (x n ) konvergiert gegen x, falls für jede Umgebung U X von x ein N N existiert mit x n U für alle n N. (Wir sagen auch, für jede Umgebung U von x liegt die Folge (x n ) schließlich in U). Man schreibt dann und sagt, x ist Grenzwert von (x n ). x = lim n N x n Für metrische Räume ergibt sich der alte Konvergenzbegriff. Im allgemenen können Folgen durchaus mehrere Grenzwerte haben: Es sei X eine beliebige Menge versehen mit der Klumpentopologie. Dann konvergiert jede Folge (x n ) in X gegen jeden Punkt in X. Falls aber X die Hausdorffeigenschaft hat, so hat jede Folge in X höchstens einen Grenzwert. Man kann dazu im wesentlichen das Argument aus Analysis 1 benutzen. Definition 3.2. Es seien X und Y topologische Räume, f : X Y eine Abbildung und x X. Wir sagen f ist stetig in x, falls für jede Umgebung V Y das Urbild f 1 (V ) X eine Umgebung von x ist. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass f genau dann stetig ist, falls f stetig in jedem Punkt x X ist. Definition 3.3. Es sei f : X Y eine Abbildung und x X. Wir sagen f ist folgenstetig in x, falls für jede Folge (x n ) in X mit lim x n = x die Bildfolge (f(x n )) in Y gegen f(x) konvergiert. Proposition 3.4. Ist f stetig in x, so auch folgenstetig in x.

10 10 BERNHARD HANKE Beweis. Sei (x n ) eine Folge in X mit lim x n = x. Ist nun V Y eine Umgebung von f(x), so ist f 1 (V ) X eine Umgebung von x, und somit liegt (x n ) schließlich in f 1 (V ). Dies ist gleichbedeutend damit, dass die Folge (f(x n )) schließlich in V liegt. Da V beliebig war, folgt lim f(x n ) = f(x). Die Umkehrung dieser Aussage gilt leider nicht in allen topologischen Räumen, siehe Aufgabe 4 auf Blatt 3. Das Problem besteht grob gesprochen darin, dass es in der Regel zu viele Umgebungen von x X gibt. Definition 3.5. Es sei X ein topologischer Raum und x X. Eine Umgebungsbasis von x ist eine Menge B P(X) bestehend aus Umgebungen von x mit der folgenden Eigenschaft: Jede Umgebung von x enthält eine der speziellen Umgebungen in B. Der Raum X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, falls jeder Punkt x X eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt. Jeder metrische (und somit jeder normierte) Raum X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom: Ist x X, so bilden die Mengen B 1/n (x) X, n N, eine abzählbare Umgebungsbasis von x. Proposition 3.6. Es sei X ein topologischer Raum und x X ein Punkt mit abzählbarer Umgebungsbasis. Dann ist jede in x folgenstetige Abbildung f : X Y auch stetig in x. Beweis. Angenommen f sei nicht stetig in x. Dann existiert eine Umgebung V Y von f(x), so dass U := f 1 (V ) keine Umgebung von x ist. Es sei (U n ) eine abzählbarer Umgebungsbasis von x. Ohne Einschränkung gelte U n+1 U n für alle n (sonst ersetze man induktiv U n+1 durch U n+1 U n ). Da U keine Umgebung von x ist, gibt es Punkte x n U n \U für alle n. Nach Konstruktion gilt lim x n = x in X aber f(x n ) konvergiert nicht gegen f(x), da f(x n ) / V für alle n. Dies steht im Widerspruch zur Folgenstetigkeit von f. Das Problem in allgemeinen topologischen Räumen ist, dass Folgen alleine oft zu dünn sind. Man löst das Problem dadurch, dass man für Folgen allgemeinere Indexmengen (als N) zulässt. Definition 3.7. Eine gerichtete Menge ist eine Menge D zusammen mit einer partiellen Ordnung, so dass es für α, β D immer ein γ D gibt mit γ α und γ β. Ist X ein topologischer Raum, so ist ein Netz in X eine Abbildung φ : D X, wobei D eine gerichtete Menge ist. Wir bezeichnen Netze in X oft mit (x α ) α D (d.h. wir setzen x α := φ(α)). Diese Schreibweise ist stark an diejenige für Folgen angelehnt. Wenn wir mit der gerichteten Menge D = N arbeiten, so sind über D indizierte Netze in X nichts anderes als Folgen in X. Definition 3.8. Es sei X ein topologischer Raum, x X und (x α ) α D ein Netz in X. Man sagt, das Netz (x α ) konvergiert gegen x, falls es für jede

11 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) 11 Umgebung U X von x ein β D gibt mit x α U für alle α β. In diesem Fall schreiben wir auch lim α D x α = x. Wenn wir statt Folgen Netze benutzen, können wir nun tatsächlich die Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit in jedem topologischen Raum zeigen. Definition 3.9. Eine Abbildung f : X Y heißt netzstetig in x X, falls für jedes Netz (x α ) in X mit lim x α = x das Bildnetz (f(x α )) gegen f(x) konvergiert. Proposition Es sei f : X Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen X und Y. Die Abbildung f ist genau dann stetig in x X, wenn sie netzstetig in x ist. Beweis. Falls f stetig in x ist, so folgt leicht aus den Definitionen, dass f auch netzstetig in x ist: Es sei (x α ) ein Netz in X, das gegen x konvergiert. Ist V Y eine Umgebung von f(x), so ist nach Annahme f 1 (V ) X eine Umgebung von x. Also liegt (x α ) schließlich in f 1 (V ). Wenden wir f auf beide Seiten an, folgt, dass (f(x α )) schließlich in V liegt. Also konvergiert (f(x α ) gegen f(x). Sei nun umgekehrt f : X Y nicht stetig in x. Es gibt dann eine Umgebung V Y von f(x), so dass U := f 1 (V ) X keine Umgebung von x ist. Wir definieren nun eine gerichtete Menge D als die Menge aller Umgebungen W X von x mit der durch die Inklusion gegebenen partiellen Ordnung, d.h. W 1 W 2, falls W 2 W 1 (man sieht leicht, dass diese Ordnung gerichtet ist: Sind W 1, W 2 D, dann ist W 1 W 2 ebenfalls eine Umgebung von x, also ein Element von D, und es gilt W 1 W 2 W 1, W 2. Für beliebiges W D gibt es einen Punkt x W W \U, denn U ist keine Umgebung von x. Wir behaupten, dass das Netz (x W ) W D in X gegen x konvergiert. Sei dazu U X eine beliebige Umgebung von x. Nach Konstruktion gilt dann für alle W D mit W U, dass x W U. Also ist das Netz (x W ) schließlich in U. Andererseits konvergiert (f(x W )) W ind in Y nicht gegen f(x), denn nach Konstruktion gilt f(x W ) / V ür alle W D. Also ist f nicht netzstetig in x. Wir haben außerdem Proposition Ist A X Teilmenge eines topologischen Raumes, so besteht A genau aus den Limiten von Netzen in A, die in X konvergieren. Beweis. Ist x A, so schneidet jede Umgebung U von x die Menge A. Definieren wir D als die gerichtete Menge der Umgebungen von x, so können wir also leicht (ähnlich wie oben) ein durch D parametrisiertes Netz in A definieren, das gegen x konvergiert. Ist umgekehrt x Limes eines Netzes (x α ) α D in X, so liegt dieses Netz schließlich in jeder Umgebung von x, damit muss jede Umgebung von x die Menge A nichtleer schneiden, und es folgt x A wie gewünscht.

12 12 BERNHARD HANKE Wir erinnern: Ist (x n ) eine Folge in einem metrischen Raum X, so nennen wir x X einen Häufungspunkt dieser Folge, falls jede Umgebung von x unendlich viele Folgenglieder enthält. Wir definieren entsprechend: Definition Ein Häufungspunkt eines Netzes (x α ) in X ist ein Punkt x X, so dass für jede Umgebung U X von x das Netz häufig in U ist, d.h. für alle β D existiert ein α β mit x α U. Ist x X Häufungspunkt einer Folge (x n ) in einem metrischen Raum, so konvergiert eine Teilfolge gegen x. Eine ähnliche Aussage gilt für Netze. Die korrekte Verallgemeinerung des Konzeptes der Teilfolge lautet wie folgt. Definition Sind D und E gerichtete Mengen, so nennen wir eine Abbildung h : E D final, falls für alle δ D ein η E existiert mit h(γ) δ für alle γ η. Ein Unternetz eines Netzes φ : D X ist eine Komposition φ h : E X, wobei h : E D eine finale Funktion ist. Wir schreiben auch (x h(γ) ) γ E. Konvergiert ein Netz in X, so offensichtlich auch jedes Unternetz Folgende Aussage, deren Beweis ein wenig verwickelt ist, formuliert den Zusammenhang von Unternetzen und Häufungspunkten von Netzen. Proposition Es sei (x α ) α D ein Netz in X. Ein Punkt x X ist genau dann Häufungspunkt dieses Netzes, falls ein Unternetz gegen x konvergiert. Beweis. Es sei (x h(γ) ) γ E ein Unternetz, das gegen x konvergiert. Sei U X eine Umgebung von x und β D. Da das Unternetz konvergiert, existiert ein ɛ E mit x h(γ) U für alle γ ɛ. Wir müssen zeigen, dass wir zusätzlich h(γ) β erreichen können, denn dann folgt (β war ja beliebig), dass x Häufungspunkt ist. Wegen der Kofinalität von h gibt es jedenfalls ein η E mit h(γ) β für alle γ η. Nun benutzen wir, dass E gerichtet ist und finden ein ξ E mit ξ η und ξ ɛ. Dann gilt h(ξ) β und x h(ξ) U, wie gewünscht. Es sei nun umgekehrt x X Häufungspunkt von (x α ). Wir konstruieren ein Unternetz, das gegen x konvergiert und betrachten dazu die gerichtete Menge E := {(α, U) α D, U Umgebung von x, x α U} mit der partiellen Ordnung (α, U) (α, U ) : α α, U U. Wir zeigen, dass E wirklich gerichtet ist. Seien dazu (α, U), (β, V ) E. Da (x γ ) γ D häufig in U V ist (U V ist ja ebenfalls eine Umgebung von x), gibt es (weil D gerichtet ist) ein γ α, β mit x γ U V. Somit ist (U V, γ) E und (γ, U V ) (α, U), (β, V ) wie gewünscht. Betrachte nun die Abbildung h : E D, (α, U) α.

13 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) 13 Diese Abbildung ist final, denn ist δ D, so ist (δ, X) E und außerdem impliziert (α, U) (δ, X) die Aussage h(α, U) = α δ. Wir behaupten, dass das Unternetz (x h(γ) ) γ E gegen x konvergiert. Es sei dazu W X eine Umgebung von x. Da (x α ) häufig in W ist, gibt es ein β D mit x β W. Dann sind aber für alle (α, U) (β, W ) die Elemente x (α,u) in W, d.h. (x h(γ) ) γ E ist schließlich in W. 4. Vollständige metrische Räume Definition 4.1. Eine Folge (x n ) n N in einem metrischen Raum (X, d) heißt Cauchy-Folge, falls es für jedes ɛ > 0 ein N N gibt mit d(x n, x m ) < ɛ für alle n, m N. Der metrische Raum (X, d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in X konvergiert. Jede in einem metrischen Raum konvergente Folge ist automatisch eine Cauchyfolge. Sind (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) vollständige metrische Räume, so ist auch X 1 X 2 mit der Produktmetrik d vollständig, wobei d((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) := d 1 (x 1, y 1 ) 2 + d 2 (x 2, y 2 ) 2 (die Metrik d induziert übrigens die Produkttopologie auf X 1 X 2 ). Da die Menge der reellen Zahlen mit der gewöhnlichen Abstandsmetrik vollständig ist, gilt dies somit auch für die euklidischen Räume R n, n N. Vollständigkeit ist allerdings keine Homöomorphieinvariante: Das offene Intervall (0, 1) R ist mit der induzierten Metrik nicht vollständig, jedoch homöomorph zu R mit der gewöhnlichen Metrik. Ist X ein vollständiger metrischer Raum und A X ein abgeschlossener Unterraum, so ist A mit der induzierten Metrik ebenfalls vollständig. Ist allgemeiner A X ein beliebiger Unterraum, so ist A X der kleinste vollständige Unterraum von X, der A enthält, denn A besteht genau aus den Limiten von Folgen, die in A liegen und in X konvergieren: Dass solche Limiten in A liegen, ist klar. Umgekehrt beachte man, dass jeder Punkt x A eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt, da X ein metrischer Raum ist. Da jedes in dieser Umgebungsbasis enthaltene Umgebung die Menge A schneidet (vgl. Proposition 1.16), konstruiert man leicht eine Folge in A, die gegen x konvergiert. Vollständige metrische Räume sind zentrale Objekte in der Analysis. Wir werden in diesem Abschnitt zeigen, dass jeder metrische Raum eine kanonische Vervollständigung besitzt. Der Schlüssel hierzu ist die Vollständigkeit der reellen Zahlen und die Betrachtung sogenannter Funktionenräume. Definition 4.2. Es sei X eine Menge. Wir bezeichnen mit B(X) := {f : X R sup f(x) < } x X

14 14 BERNHARD HANKE die Menge der beschränkten Abbildungen X R versehen mit der Metrik d(f, g) := sup f(x) g(x). x X Man prüft leicht nach, dass es sich tatsächlich um eine Metrik auf B(X) handelt. Proposition 4.3. Der soeben definierte metrische Raum (B(X), d) ist vollständig. Beweis. Es sei (f n ) eine Cauchy-Folge in B(X). Dann sind für alle x X die Folgen (f n (x)) Cauchy-Folgen in R (nach Definition der Metrik auf B(X)) und konvergieren daher in R gegen eine (eindeutig bestimmte) Zahl, die wir f(x) nennen wollen. Es sei nun ɛ > 0 und N N so groß, dass d(f n, f m ) < ɛ, falls n, m N. Man prüft leicht nach, dass dann d(f n, f) ɛ für alle n N. Es gilt daher lim f n = f im metrischen Raum B(X). Definition 4.4. Sind (X, d) und (X, d ) metrische Räume, so heißt eine Abbildung f : X X eine Isometrie, falls f bijektiv ist und d (f(x), f(y)) = d(x, y) für alle x, y X. In diesem Fall ist auch f 1 eine Isometrie und f ist (bzgl. der induzierten Topologien) ein Homöomorphismus. Eine Abbildung f : X X heißt isometrische Einbettung, falls f nicht unbedingt bijektiv ist, jedoch obige Verträglichkeit bezüglich der Metriken d und d erfüllt. In diesem Fall ist die induzierte Abbildung f : X f(x) automatisch eine Isometrie (wobei f(x) die Einschränkung der Metrik von X trägt). Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Vervollständigung von X ist ein vollständiger metrischer Raum Y zusammen mit einer isometrischen Einbettung f : X Y, so dass f(x) dicht in Y liegt, d.h. f(x) = Y. Wir zeigen nun, dass jeder metrische Raum mindestens eine Vervollständigung besitzt. Dazu zeigen wir: Proposition 4.5. Es sei X ein metrischer Raum. Dann existiert eine isometrische Einbettung von X in einen vollständigen metrischen Raum. Beweis. Ohne Einschränkung sei X. Es sei x 0 X fest gewählt. Für a X definieren wir eine Abbildung φ a : X R durch φ a (x) = d(x, a) d(x, x 0 ). Die Abbildung φ a ist beschränkt, denn φ a (x) d(x 0, a) wegen der Dreiecksungleichungen d(x, a) d(x, x 0 )+d(x 0, a) und d(x, x 0 ) d(x, a) + d(a, x 0 ). Wir erhalten also eine Abbildung φ : X B(X), a φ a.

15 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) 15 Wir behaupten, dass φ eine isometrische Einbettung ist. Es seien also a, b X. Nach Definition gilt dann d(φ a, φ b ) = sup d(x, a) d(x, b). x X Wieder nach der Dreiecksungleichung ist d(x, a) d(x, b) d(a, b), so dass insgesamt d(φ a, φ b ) d(a, b). In dieser Ungleichung kann nicht < stehen, denn sup d(x, a) d(x, b) d(b, a) d(b, b) = d(a, b). x X Somit ist φ tatsächlich eine isometrische Einbettung. Wir erhalten somit Satz 4.6. Ist X ein metrischer Raum, so existiert eine Vervollständigung X Y. Beweis. Wir betrachten die isometrische Einbettung φ : X B(X) und setzen Y := φ(x) B(X) Wir zeigen nun noch die Eindeutigkeit der Vervollständigung eines metrischen Raumes. Proposition 4.7. Es sei X ein metrischer Raum und es seien f 1 : X Y 1, f 2 : X Y 2 Vervollständigungen von X. Dann existiert genau eine Isometrie φ 21 : Y 1 Y 2 mit φ 21 f1 (X) = f 2 f1 1. Grob gesprochen: Die Vervollständigung eines metrischen Raumes ist bis auf Isometrie eindeutig bestimmt. Beweis. Die Abbildung f 1 (X) Y 2, x f 2 f 1 1 (x) ist nach Voraussetzung eine isometrische Einbettung. Wir setzen diese Abbildung wie folgt zu einer Abbildung φ 21 : Y 1 = f 1 (X) Y 2 fort: Ist x Y 1, so gibt es eine Folge (x n ) in f 1 (X) mit lim x n = x. Da f 2 f1 1 eine isometrische Einbettung ist, ist (f 2 f1 1 (x n)) eine Cauchy-Folge in Y 2. Wir setzen φ 21 (x) := lim f 2 f 1 1 (x n) Y 2.

16 16 BERNHARD HANKE Ist (x n) eine andere Folge in f 1 (X) mit lim x n = y, so ist lim d(x n, x n) = 0, weil f 2 f 1 1 eine isometrische Einbettung ist, haben wir also lim f 2 f 1 1 (x n) = lim f 2 f 1 1 (x n) und die Definition von φ 21 hängt somit nicht von der Auswahl der Folge (x n ) ab. Man überprüft nun leicht, dass φ 21 eine isometrische Einbettung ist. Ebenso setzt man die Abbildung f 2 (X) Y 1, x f 1 f 1 2 (x) zu einer isometrischen Einbettung φ 12 : Y 2 Y 1 fort und zeigt, dass φ 12 und φ 21 invers zueindander sind. In den Übungen wird ein anderes Modell der Vervollständigung eines metrischen Raumes vorgestellt, das auf der Betrachtung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen beruht. Wichtige Räume in der Analysis entstehen durch Vervollständigung: Ist U R n eine offene Menge, so definiert man den Banach-Raum L p (U), 1 p <, bestehend aus Äquivalenzklassen von messbaren Funktionen f : U R, so dass f p Lebesgue-integrierbar ist, wobei zwei solche Funktionen als äquivalent gelten, wenn sie bis auf eine Nullmenge in U übereinstimmen. Man betrachtet in der Analysis außerdem Cc (U), d.h. die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen U R mit kompaktem Träger, versehen mit der Metrik d p (f, g) := ( f(x) g(x) p ) 1/p. und zeigt, dass die kanonische Inklusion C c U (U) L p (U) eine Vervollständigung im Sinne von Definition 4.4 ist. Aus Proposition 4.7 folgt, dass L p (U) kanonisch isometrisch zu der in Theorem 4.6 konstruierten Vervollständigung des metrischen Raumes (C c (U), d p ) ist. Auf Übungsblatt 4 werden wir eine alternative Konstruktion der Vervollständigung eines metrischen Raumes kennenlernen, die auf der Betrachtung von Cauchyfolgen beruht. 5. Kompaktheit Definition 5.1. Es sei X ein topologischer Raum. Eine offene Überdeckung von X ist eine Familie (U i ) i I offener Teilmengen von X, mit U i = X. i I

17 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) 17 Der Raum X heißt kompakt, falls jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung besitzt, also i I 0 U i = X. für eine endliche Teilmenge I 0 I. Folgende Umformulierung dieser Definition ist manchmal nützlich: Wir sagen, eine Familie C von Teilmengen von X habe die endliche Schnitteigenschaft, falls der Schnitt je endlich vieler Mengen aus C nichtleer ist. Wir haben dann: Proposition 5.2. Ein Raum X ist genau dann kompakt, falls jede Familie (C i ) i I von abgeschlossenen Teilmengen von X, die die endliche Schnitteigenschaft besitzt, einen nichtleeren Schnitt hat, d.h. i I C i. Man zeigt leicht, dass die Menge Q [0, 1] nicht kompakt ist. Ist X ein kompakter Raum und Y homöomorph zu X, so ist Y ebenfalls kompakt. Proposition 5.3. Jede kompakte Teilmenge eines Hausdorffraumes ist abgeschlossen. Beweis. Es sei X Hausdorffsch und A X kompakt. Wähle ein beliebiges x X \ A. Ist a A, so gibt es (in X) offene disjunkte Umgebungen U a von a und V a von x. Da A kompakt ist und A = a A (U a A), gibt es endlich viele Punkte a 1,..., a k A mit A U a1... U ak. Dann liegt die offene Umgebung V a1... V ak von x ganz in X \ A. Dieses Argument zeigt, dass X \ A offen und somit A abgeschlossen ist. Proposition 5.4. Ist X kompakt und f : X Y stetig, so ist auch f(x) Y kompakt. Beweis. Ist (U i ) i I eine offene Überdeckung von f(x), so ist (f 1 (U i )) i I eine offene Überdeckung von X. Da diese eine endliche Teilüberdeckung besitzt, gilt dies also auch für (U i ). Proposition 5.5. Jeder abgeschlossene Teilraum eines kompakten Raumes ist kompakt. Beweis. Sei X kompakt und A X abgeschlossen. Ist (U i ) i I eine offene Überdeckung von A, so gibt es eine Familie (V i ) i I offener Teilmengen von X mit U i = V i A für alle i I (nach Definition der Teilraumtopologie). Da X kompakt ist, hat nun die offene Überdeckung (V i ) i I {X \ A} von X eine endliche Teilüberdeckung. Schneiden wir die in ihr enthaltenen Mengen mit A, erhalten wir eine endliche Teilüberdeckung von (U i ) i I. Die letzten drei Tatsachen haben folgende wichtige Konsequenz:

18 18 BERNHARD HANKE Proposition 5.6. Es sei f : X Y eine bijektive stetige Abbildung von einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum. Dann ist f ein Homöomorphismus. Beweis. Wir müssen zeigen, dass f 1 stetig ist. Da f bijektiv ist, können wir gleichbedeutend nachweisen, dass f abgeschlossen ist, d.h. ist A X abgeschlossen, so auch f(a) Y. Ist aber A X abgeschlossen, so ist A kompakt, somit auch f(a) Y und damit ist f(a) als kompakter Teilraum des Hausdorffraumes Y abgeschlossen Proposition 5.7. Das Einheitsintervall [0, 1] R ist kompakt. Beweis. Es sei (U i ) i I eine offene Überdeckung von [0, 1] und S := {s [0, 1] [0, s] besitzt eine endliche Teilüberdeckung von (U i )}. Da 0 S, gilt S. Es sei b = sup S. Wir behaupten S = [0, b]. Ansonsten wäre nämlich S = [0, b). Wir finden dann ein U i mit b U i und damit gibt es ein ɛ > 0 mit (b ɛ, b] U i. Da [0, b ɛ/2] von endlich vielen Elementen aus (U i ) überdeckt wird, gilt dies somit auch für [0, b] im Widerspruch zu S = [0, b). Um die Proposition zu zeigen, müssen wir also nur noch b = 1 nachweisen. Gilt aber b < 1, so zeigt man mit einem ähnlichen Argument wie eben, dass es ein ɛ > 0 gibt mit [0, b + ɛ/2] S im Widerspruch zur Definition von S. Es folgt, dass jedes abgeschlossene Intervall [a, b] R kompakt ist (denn es ist homöomorph zu [0, 1]). Umgekehrt muss jede kompakte Teilmenge K R beschränkt sein, sonst hätte die offene Überdeckung K n N( n, n) keine endliche Teilüberdeckung. Durch Kombination der bisherigen Resultate zeigen wir: Proposition 5.8 (Heine-Borel). Eine Teilmenge von R ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. Beweis. Falls K R kompakt ist, dann ist K beschränkt (wie gerade gezeigt wurde) und abgeschlossen nach Proposition 5.3. Ist umgekehrt K R beschränkt und abgeschlossen, dann gibt es a, b R mit K [a, b]. Dann ist aber K abgeschlossene Teilmenge des kompakten Raumes [a, b] und somit nach Proposition 5.5 selbst kompakt. Wir wollen dieses Resultat auf die Räume R n ausdehnen. Dazu zeigen wir: Proposition 5.9. Es seien X und Y kompakt. Dann ist auch das topologische Produkt X Y kompakt.

19 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) 19 Beweis. Es sei (W i ) i I eine offene Überdeckung von X Y. Jede Menge W i ist Vereinigung von offenen Kästchen U V mit U X, V Y offen. Es genügt daher zu zeigen, dass jede Überdeckung (U i V i ) i I von X Y durch solche offenen Kästchen eine Teilüberdeckung besitzt (I ist jetzt eine neue Indexmenge). Ist x X, so wird {x} Y durch endlich viele dieser Kästchen überdeckt: {x} Y (U 1 V 1 )... (U k V k ) überdeckt, da Y kompakt ist. Dann ist der Schnitt U x := U 1... U k X offen und wir haben U x Y (U 1 V 1 )... (U k V k ). Man wähle eine endliche Teilüberdeckung der offenen Überdeckung (U x ) x X von X und erhält daraus insgesamt eine endliche Teilüberdeckung von X Y durch offene Kästchen. Natürlich verallgemeinert sich diese Aussage leicht auf das topologische Produkt endlich vieler kompakter Räume. Schwieriger ist das folgende Resultat zu beweisen: Satz 5.10 (Tychonoff). Es sei (X i ) i I eine Familie kompakter Räume. Dann ist das topologische Produkt i I X i ebenfalls kompakt. Den Beweis dieser wichtigen Aussagen geben wir später in diesem Abschnitt. Den folgenden Satz zeigt man analog zu Proposition 5.8. Satz 5.11 (Heine-Borel). Eine Teilmenge A R n ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist. In den Übungen wird ein allgemeines Kriterium angegeben, wann ein metrischer Raum kompakt ist (Vollständigkeit und totale Beschränktheit). Definition Ein topologischer Raum X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge (x n ) n N in X eine konvergente Teilfolge hat. Proposition Es sei X ein metrischer Raum. Dann ist X genau dann kompakt, wenn X folgenkompakt ist. Beweis. Sei zunchst X kompakt und (x n ) n N eine Folge in X. Angenommen X sei nicht folgenkompakt. Sei x X ein beliebiger Punkt. Nach Annahme ist x kein Häufungspunkt von (x n ). Daraus folgt, dass es ein k N gibt, so dass der offene Ball B 1/k (x) mit Mittelpunkt x und Radius 1/k nur endliche viele Folgenglieder enthält. Ansonsten könnte man induktiv eine Teilfolge (x nk ) k N konstruieren, die gegen x konvergiert. Wir finden auf diese Weise für jeden Punkt x X eine offene Umgebung U x von x, die nur endlich viele Folgenglieder enthält. Da X kompakt ist, hat die offene Überdeckung x X U x von X eine endliche Teilüberdeckung. Also liegen insgesamt nur endlich viele Folgenglieder in X, was absurd ist.

20 20 BERNHARD HANKE Sei nun umgekehrt X folgenkompakt. In diesem Fall ist X erstens vollständig. Sei dazu (x n ) n N eine Cauchy-Folge in X. Diese besitzt nach Annahme eine konvergente Teilfolge (x nk ) k N mit Grenzwert x X. Da (x n ) eine Cauchyfolge ist, gilt dann auch lim n x n = x. Zweitens ist X total beschränkt, das heißt, für jedes ɛ > 0 wird X durch endlich viele offene Bälle vom Radius ɛ überdeckt. Ist dies nämlich für ein ɛ > 0 nicht der Fall, so konstruiert man induktiv eine Folge (x n ) n N, so dass für alle n 1 das Folgenglied x n+1 von allen Folgegliedern x 1,..., x n einen Abstand größer als ɛ hat. Diese Folge (x n ) hat dann keine konvergente Teilfolge, im Widerspruch zur Annahme. Nach Übung 4 auf Blatt 3 ist somit X als vollständiger und total beschränkter metrischer Raum kompakt. Bei allgemeinen topologischen Räumen ist Folgenkompaktheit weder notwendig noch hinreichend für Kompaktheit. Beispiele dazu finden sich auf Übungsblatt 4. Arbeiten wir mit Netzen, ist die Welt aber wieder in Ordnung. Proposition Es sei X ein topologischer Raum. Dann sind äquivalent: X ist kompakt. X ist netzkompakt, d.h. jedes (nichtleere) Netz (x α ) α D in X hat ein konvergentes Unternetz (vgl. Definition 3.13). Beweis. Wir beweisen zunächst, dass jeder netzkompakte Raum auch kompakt ist. Die andere Richtung folgt etwas später aus der Diskussion universeller Netze. Es sei also X netzkompakt und (C i ) i I eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X mit der endlichen Schnitteigenschaft (d.h. der Schnitt je endlich vieler Mengen in (C i ) ist nichtleer). Wir können annehmen, dass (C i ) abgeschlossen unter endlichen Schnitten ist (indem wir die Schnitte je endlich vieler Mengen zu (C i ) hinzunehmen). Wir erhalten eine gerichtete Ordnung auf I durch i j : C i C j. (Diese Ordnung ist gerichtet, weil (C i ) abgeschlossen unter endlichen Schnitten ist). Wir definieren ein Netz (x i ) i I indem wir für jedes i I ein Element x i C i auswählen. Nach Voraussetzung existiert ein konvergentes Unternetz von (x i ), gegeben durch eine gerichtete Menge E und eine finale Abbildung h : E I. Es sei x X ein Grenzwert des Unternetzes (x h(γ) ) γ E. Sei nun i I. Dann gibt es ein α E so dass x h(γ) C i für alle γ α nach der Definition von finaler Abbildung und der Konstruktion des Netzes (x i ). Damit ist x C i, denn die abgeschlossene Menge C i enthält alle Limiten von in X konvergenten Netzen, die in C i liegen, vgl. Proposition In diesem Argument war aber i I beliebig. Also ist x i I C i und dieser Schnitt somit nicht leer. Daraus folgt die Kompaktheit von X. Der Rest dieses Abschnittes ist dem Beweis der folgenden Verallgemeinerung von Proposition 5.9 gewidmet.

21 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) 21 Satz 5.15 (Tychonoff). Es sei (X i ) i I eine Familie kompakter Räume. Dann ist das topologische Produkt i I X i ebenfalls kompakt. Der Beweis beruht auf der Betrachtung sogenannter universeller Netze. Zunächst ein paar Sprechweisen: Es sei X ein topologischer Raum, (x α ) α D ein Netz in X und A X eine Teilmenge. Man sagt, (x α ) ist schließlich in A, falls es ein β D gibt mit x α A für alle α β. Man sagt, (x α ) ist häufig in A, falls es für alle β D ein α D gibt mit α β und x α A, vergleiche Definition Es ist nicht schwer zu sehen, dass jedes Netz entweder häufig in A oder häufig in X \ A ist. Definition Ein Netz (x α ) α D heißt universell, falls für jede Teilmenge A X, das Netz entweder schließlich in A oder schließlich in X \ A ist. Der folgende Satz ist der technische Kern des Beweises des Satzes von Tychonoff. Proposition Jedes nichtleere Netz (x α ) α D in X besitzt ein universelles Unternetz. Bevor wir diese Proposition zeigen, erinnern wir an das Zornsche Lemma: Es sei P eine nichtleere partiell geordnete Menge, in der jede Kette C P eine obere Schranke in P hat, d.h. ist C eine beliebige Teilmenge von P, die mit der induzierten Ordnung total geordnet ist, so existiert ein p P mit p c für alle c C. Dann besitzt P ein maximales Element, d.h. es gibt ein m P, so dass für alle p P die Implikation p m p = m gilt Beweis von Proposition Es sei (x α ) α D ein Netz mit D. Wir betrachten die Menge P aller Mengen A P(X) von Teilmengen von X, die die folgenden Eigenschaften haben: i. Falls A A, dann ist (x α ) häufig in A, ii. A ist abgeschlossen unter endlichen Schnitten, d.h. falls A, B A, dann ist A B A. Wir können zum Beispiel A = {X} nehmen. Die Menge P ist durch die Inklusionsrelation partiell geordnet und jede Kette C P von solchen Mengen besitzt eine obere Schranke, gegeben durch die Vereinigung A C A. Nach dem Zornschen Lemma gibt es eine maximale Menge A 0 in P mit den beiden obigen Eigenschaften. Offensichtlich gilt X A 0 (sonst könnten wir diese Menge einfach zu A 0 hinzunehmen, im Widerspruch zur Maximalität von A 0 ). Wir betrachten nun die Menge E := {(A, α) A 0 D x α A} zusammen mit der gerichteten Ordnung (A, α) (B, β) B A, α β.

22 22 BERNHARD HANKE Die Zuordnung h : E D, (A, α) α ist final (da für alle α D das Paar (X, α) in E liegt). Wir beweisen, dass das Unternetz (x h(γ) ) γ E universell ist. Es sei S X eine Teilmenge, so dass dieses Unternetz häufig in S ist. Nach Definition bedeutet dies, dass für alle (A, α) E ein (B, β) (A, α) existiert mit x β = x h(b,β) S. Da B A haben wir also x β B S A S. Es sei nun zusätzlich A A 0. Wir behaupten, dass (x α ) α D häufig in A S ist. Sei also δ D. Dann gibt es ein α δ mit x α A, da (x α ) häufig in A ist. Wir erhalten (A, α) E und nach der vorherigen Bemerkung existiert ein β α mit x β A S wie gewünscht. Wir folgern daraus, dass S A 0 : Ansonsten könnten wir alle Mengen der Form S A mit A A 0 zu A 0 hinzunehmen (d.h. es wird insbesondere S = S X hinzugenommen!), und so das Mengensytem A 0 zu einem Mengensystem vergößern, dass immer noch die Eigenschaften i. und ii. von oben hat. Dann wäre aber A 0 nicht maximal in P. Falls nun das Unternetz (x h(γ) ) γ E ebenfalls häufig in X \ S ist, so hätten wir mit dem gleichen Argument X \ S A 0 also auch = S (X \ S) A 0. Wegen D ist das Netz (x α ) α D aber sicher nicht häufig in und aus diesem Widerspruch folgt, dass (x h(γ) ) γ E nicht häufig in S und gleichzeitig häufig in X \ S sein kann. Hieraus folgt die interessante Eigenschaft: Ist (x h(γ) ) γ E häufig in S X, so auch schließlich in S. Ist nun A X, so ist (x h(γ) ) γ E wie jedes Netz in X häufig in A oder häufig in X \ A. Nach dem vorher Gesagten ist dieses Netz daher schließlich in A oder schließlich in X \ A und das zeigt unsere Behauptung. Wir können nun die obige Charakterisierung von kompakten Räumen zu Ende führen. Satz Es sei X ein topologischer Raum. Dann sind äquivalent: a) X ist kompakt. b) Jedes nichtleere universelle Netz in X konvergiert in X. c) Jedes nichtleere Netz in X hat ein konvergentes Unternetz. Beweis. Es sei X kompakt und es sei (x α ) α D ein universelles Netz. Angenommen, dieses ist nicht konvergent. Ist x X, so gibt es dann eine offene Umgebung U x von x, so dass (x α ) nicht schließlich in U x ist. Wegen der Universalität ist dann (x α ) schließlich in X \ U x, d.h. es gibt einen Index α x D, so dass x β / U x, falls β α x. Es sei U x1,..., U xk eine endliche Teilüberdeckung von X Wir wählen ein β α x1,..., α xk (so ein β existiert, da D gerichtet ist) und schließen, dass x β / U x1... U xk = X. Dies ist ein Widerspruch, da D. Die Implikation von a) nach b) ist somit gezeigt.

23 EINFÜHRUNG IN DIE TOPOLOGIE (SS 2014) 23 Die Implikation von b) nach c) folgt daraus, dass jedes Netz ein universelles Unternetz hat. Die verbleibende Implikation c) nach a) wurde bereits weiter oben im Beweis von Proposition 5.14 gezeigt. Wir kommen nun zum Beweis des Satzes von Tychonoff. Direkt aus der Definition der Produkttopologie folgt: Ist (X i ) i I eine Familie topologischer Räume und (x α ) ein Netz in X i (wobei jedes x α = (x i α) i i mit x i α X i ), so sind die folgenden Aussagen äquivalent. Das Netz konvergiert gegen (x i ) i I (mit x i X i ). Für alle i 0 I gilt: Es sei (x i 0 α ) α D das Netz bestehend aus den i 0 -ten Komponenten von x α. Dann konvergiert (x i 0 α ) gegen x i 0. Mit anderen Worten: Die Produkttopologie ist die Topologie der punktweisen Konvergenz. Beweis. (des Satzes von Tychonoff) Ist eine Familie (X i ) i I von kompakten Räumen gegeben, so müssen wir nach Proposition 5.18 zeigen, dass jedes nichtleere universelle Netz (x α ) in i X i konvergiert. Ist (x α ) so ein universelles Netz und ist i 0 I, dann ist aber auch das Netz (x i 0 α ) bestehend aus den i 0 -ten Komponenten von x α universell (dies ist nicht schwer zu zeigen). Da X i0 kompakt ist, hat dieses Netz somit einen Grenzwert x i 0. Nach der vorigen Bemerkung konvergiert dann (x α ) α D gegen (x i ) i I. Das war zu zeigen. Der Beweis des Satzes von Tychonoff wird in der Literatur manchmal mit soganannten Ultrafiltern geführt. Das Konzept der (Ultra-)Filter ist äquivalent zum Konzept der (universellen) Netze, dem wir in unserer Vorlesung den Vorzug geben. Wichtig ist noch folgende Bemerkung: Eine Folge ist genau dann ein universelles Netz, wenn sie schließlich konstant ist. Jede Folge hat aber ein universelles Unternetz. Dies zeigt, dass Unternetze von Folgen etwas anderes sind als Teilfolgen. Ist E D eine finale Abbildung gerichteter Mengen, kann ja trotzdem E viel komplizierter sein als D Anwendung/Ausblick: Normierte Räume und der Satz von Banach-Alaoglu Der Satz von Tychonoff spielt eine wichtige Rolle bei dem Beweis des Satzes von Banach-Alaoglu aus der Funktionalanalysis. Sei (V, ) ein normierter Vektorraum über R. Insbesondere ist V dann ein metrischer und somit auch ein topologischer Raum. Sei B := {v V v 1} die abgeschlossene Einheitskugel. Wir wollen zuerst zeigen, dass B genau dann kompakt ist, wenn dim(v ) <. Wir brauchen drei Lemmata: