Die Weil-Vermutungen

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1 Die Weil-Vermutungen Andreas Krug Philipps-Universität Marburg Habilitationsvortrag 2017

2 Erste Motivation Die Weil-Vermutungen sind: eine interessante und nützliche Verbindung zwischen den Gebieten der Zahlentheorie und der algebraischen Geometrie und Topologie (diskrete Objekte kontinuierliche Objekte, die wichtigste Motivation für die Entwicklung der modernen algebraischen Geometrie ( ~ , verwandt zur Riemannschen Vermutung, aber im Gegensatz zu dieser bewiesen.

3 Plan für den Vortrag 1 Zahlentheorie und Algebraische Geometrie 2 Weil-Vermutungen: Formulierungen, Beispiele & Anwendungen 3 Beweisidee

4 Ziele der Zahlentheorie Diophantische Gleichungen Eine der Hauptaufgaben der Zahlentheorie ist die Bestimmung ganzzahliger Lösungen von ganzzahligen Polynomgleichungen. p ist eine Primzahl Die Diophantische Gleichung XY = p hat genau diese vier Lösungen: (1, p, (p, 1, ( 1, p, ( p, 1. Satz von Fermat Wiles (1637/1995 Für n 3 hat die Polynomgleichung X n + Y n = Z n keine ganzzahligen Lösungen.

5 Diophantische Gleichungen modulo p Satz von Matiyasevich (1970 Es gibt keinen allgemeinen Algorithmus, der entscheiden kann ob eine gegebene Diophantische Gleichung eine Lösung hat. Hilberts 10tes Problem hat also eine negative Antwort. Leichtere Aufgabe der Zahlentheorie Zahlentheoretiker beschäftigen sich oft stattdessen mit dem Lösen Diophantischer Gleichungen modulo einer Primzahl p oder über endlichen Körpern.

6 Klassische Algebraische Geometrie Klassische algebraische Geometrie beschäftigt sich mit Varietäten, also den Nullstellenmengen von Polynomen, über R oder C. X d = {x d + y d z d = 0} R 3 Da die Gleichung homogen ist, handelt es sich um Kegel (O P X d = OP X d Oft sind die Nullstellenmengen Mannigfaltigkeiten (hier nicht wegen Kegelspitze.

7 Affine Schemata Z als initialer Ring Sei K ein beliebiger Körper (allgemeiner: Ring. Dann ist Multiplikation mit ganzen Zahlen auf K wohldefiniert durch l x := x + + x }{{} l-mal für l Z, x X. Damit: f Z[X 1,..., X n ] ganzzahliges Polynom, x = (x 1,..., x n K n f (x = f (x 1,..., x n K wohldefiniert. Affine Schemata als Familien K -wertiger Punkte Gegeben ganzzahlige Polynome f 1,..., f r Z[X 1,..., X n ] Affines Schema S = V (f 1,..., f r. Für jeden Körper K -wertige Punkte: S(K = {x = (x 1,..., x n K n f i (x = 0 für i = 1,..., r} K n

8 Affine Schemata Affine Schemata als Familien K -wertiger Punkte Gegeben ganzzahlige Polynome f 1,..., f r Z[X 1,..., X n ] Affines Schema S = V (f 1,..., f r. Für jeden Körper K -wertige Punkte: S(K = {x = (x 1,..., x n K n f i (x = 0 für i = 1,..., r} K n Beispiel: r = 1 = n, f = 2X 2 + 1, S = V (f S(R =, S(C = {1/ 2, 1/ 2}, S(F 2 =.

9 Projektiver Raum Sei K ein Körper, n N. Verschiedene Definitionen/Aspekte des projektiven Raums P n (K. P n als Quotient, homogene Tupel P n (K = (K n+1 \ {0}/K = {[x 0 : : x n ] x i 0 für ein i} [x 0 : : x n ] = [y 0 : : y n ] λ K : λ(x 0,..., x n = (y 0,..., y n. P n als Modulraum P n (K = { Ursprungsgeraden in K n+1 } P n als Vervollständigung des affinen Raums im Unendlichen P 0 (K = Punkt, P n (K = K n P n 1 (K. P n (R und P n (C sind kompakte Mannigfaltigkeiten.

10 Projektive Schemata Nullstellen homogener Polynome f Z[X 0,..., X n ] homogenes Polynom vom Grad d f (λx = λ d f (x für x = (x 0,..., x n K n+1, λ K. Damit: f (x = 0 f (λx = 0 Projektive Schemata als Familien K -wertiger Punkte Gegeben f 1,..., f r Z[X 0,..., X n ] homogene ganzzahlige Polynome Projektives Schema X = V proj (f 1,..., f r. Für jeden Körper K -wertige Punkte: X(K = {x = [x 0 : : x n ] f i (x = 0 für i = 1,..., r} P n (K Beispiel: r = 1 = n, f = 2X X 2 1 = ( 2X 0 + X 1 ( 2X 0 X 1 = X 2 1, X = V proj (f X(R =, X(C = {[±1/ 2 : 1]}, X(F 2 = {[0 : 1]}

11 Glatte Projektive Schemata Glattheit projektiver Schemata Ein projetives Schema X = Z (f 1,..., f r P n heißt glatt : 1 Jacobi-Kriterium: Rang( f i X j (x i,j ist unabhängig von x X(K und K. 2 I = (f 1,..., f r Z[X 0,..., X n ] ist ein Primideal. Die C-wertigen Punkte als Mannigfaltigkeit X glatt = X(C ist kompakte zusammenhängende Mannigfaltigkeit

12 Endliche Körper Satz zur Existenz und Eindeutigkeit endlicher Körper Sei p eine Primzahl. Dann existiert für jedes n N genau ein Körper F p n mit p n Elementen. Konstruktion: F p = Z/pZ (Ganze Zahlen modulo p. Sei F p der algebraische Abschluss von F p. F p n = {x F p x pn = x} F p. Frobenius-Automorphismus F p n als Fixkörper F : F p F p, F(x = x p F p n = Fix(F n = {x F p F n (x = x} F p

13 Z -Funktion einer Varietät Fixiere glattes projektives Schema X und Primzahl p. Interesse an Verhalten von X(F p n für variierendes n. Zählfunktion n=1 X(F p n T n (formale Potenzreihe in T. Z-Funktion von X Z p (X, T := Z (X, T := exp Weil-Vermutung 1: Rationalität ( n=1 X(F p n T n n. Es gibt ganzzahlige Polynome f, g Z[T ] mit f (0 = 1 = g(0 so, dass Z (X, T = f (T g(t.

14 Rationalität der Z -Funktion Z-Funktion von X Z p (X, T := Z (X, T := exp Weil-Vermutung 1: Rationalität ( n=1 X(F p n T n n. Es gibt ganzzahlige Polynome f, g Z[T ] mit f (0 = 1 = g(0 so, dass Z (X, T = f (T g(t. Betrachten Z (X, T : C C als meromorphe Funktion. Korollar X(F p n = α n β n. α C, g(α=0 β C, f (β=0

15 Das Beispiel X = P d = V proj (0 P d (F q = Fd+1 q \{0} F q\{0} = qd+1 1 q 1 = 1 + q + q q d. P d (F p n = 1 + p n + p 2n + + p dn. ( Z (P d, T = exp P d (F p n T n n n=1 ( T n + (pt n + (p 2 T n + + (p d T n = exp n n=1 ( ( T n ( (pt n (p d T n = exp exp exp n n n n=1 n=1 n=1 1 = (1 T (1 pt (1 p 2 T (1 p n T.

16 Analogon zur Riemannschen Vermutung Ab jetzt: d = dim X, das heißt 2d = dim X(C. Weil-Vermutung 2: Beträge der Pol- und Nullstellen Sei Z (X, T = f (T g(t (Rationalität der Z-Funktion!. 1 g(1 = 0 = g(p d. Die weiteren komplexen Polstellen α von Z (X, T erfüllen α C = p i mit i {1,..., d 1}. 2 Die komplexen Nullstellen β von Z (X, T erfüllen β C = p 2i+1 2 mit i {0,..., d 1}. Z (P d, T = 1 (1 T (1 pt (1 p 2 T (1 p d T Polstellen von Z : 1, p 1, p 2 p d

17 Analogon zur Riemannschen Vermutung Formulierung in Thermen der Zeta-Funktion Betrachte meromorphe Funktion ζ X (s = Z (X, p s : C C. 1 Die Polstellen s erfüllen Re(s {0, 1,..., d}. 2 Die Nullstellen s erfüllen Re(s { 1 2, 3 2,..., 2d 1 2 }. Spezialfall von Kurven Die Nullstellen der Zeta-Funktion ζ C (s einer Kurve C erfüllen Re(s = 1 2. Riemannsche Vermutung Die nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion ζ(s erfüllen Re(s = 1 2.

18 Kohomologie einer Mannigfaltigkeit M kompakte, orientierte Mannigfaltigkeit der Dimension m Kohomologie: endlich-dimensionale C-Vektorräume H i (M = H i (M, C = H i (M, C = Ȟi (U, C = H i simpl (X = Hi dr (X für i = 0,..., m. Betti-Zahlen: b i = b i (M = dim(h i (M Eigenschaften der Kohomologie Funktorialität: g : M N stetig g : H i (N H i (M. Poincaré-Dualität: H i (M = H m i (M ( b i = b m i. Künneth-Formel: H i (M N = a+b=i Ha (M H b (N. Lefschetz-Fixpunkt-Formel: f : M M differenzierbar mit isolierten Fixpunkten Fix(f = d i=0 ( 1i Spur ( f : H i (M H i (M. H ( ist Weilsche Kohomologie-Theorie.

19 Verbindung der Z-Funktion zur Topologie Weil-Vermutung 3: Z-Funktion und Betti-Zahlen Die Betti-Zahlen der Mannigfaltigkeit der C-wertigen Punkte b j = b j (X(C sind durch die Z-Funktion bestimmt: 1 b 2i = #(Polstellen von Z (X, T mit α = p i. 2 b 2i+1 = #(Nullstellen von Z (X, T mit β = p 2i+1 2. Jeweils mit Vielfachheit gezählt. Z (P d, T = 1 (1 T (1 pt (1 p 2 T (1 p d T Polstellen von Z : 1, p 1, p 2... p d Betti-Zahlen von P d (C: b 0 = 1, b 2 = 1, b 4 = 1... b 2d = 1 (b j = 0 für j ungerade

20 Dualität X(F p n in Thermen der Null- und Polstellen X(F p n = α n β n. Polstellen von Z Nullstellen von Z Z (P d, T = 1 (1 T (1 pt (1 p 2 T (1 p d 1 T Polstellen von Z : 1, p 1,..., p (d 1, p d P d (F p n = 1 + p n + + p 2n + p dn Weil-Vermutung 4: Dualität Die Transformation α p d α 1 sendet Polstellen von Z auf Polstellen von Z und Nullstellen von Z auf Nullstellen von Z.

21 Punkte elliptischer Kurven über endlichen Körpern Elliptische Kurven f (X 0, X 1, X 2 homogen von Grad 3 X = V proj (f P 2 elliptische Kurve. X(C S 1 S 1 ist Torus. Betti-Zahlen: b 0 = 1, b 1 = 2, b 2 = 1. (Weil 1&3: Z p (X, T = (1 βt (1 γt (1 T (1 pt (Weil 4: γ = p β = X(F p = 1 + p (β + p β. Berechnung der F p n-wertigen Punkte Berechnung von X(F p Bestimmung von β, γ Formel X(F p n = 1 + p n β n γ n für alle n N.

22 Zutaten Fixpunkte des Frobenius-Automorphismus F : F p F p, x x p F p n = Fix(F n : F p F p X(F p n = Fix(F n : X(F p X(F p. (Frob Lefschetz-Fixpunktformel f : M M differenzierbar mit isolierten Fixpunkten Fix(f = d i=0 ( 1i Spur ( f : H i (M H i (M. (LFix Lineare Algebra V endlich-dim. Vektorraum ϕ: V V Endomorphismus: ( exp Spur(ϕ n T n 1 = (expla n det(id V ϕt n=1

23 Weils Beweisidee Gedankenexperiment Machen falsche Voraussetzung: F p = C. ( Z (X, T Frob = exp Fix ( F n X(C T n n n=1 ( 2d ( LFix T = exp ( 1 i Spur F n H i n (X(C n n=1 i=0 ( expla ungerade i det (id F T H i (X(C = ( gerade i det (id F T H i (X(C ( det (id F T H i (X(C ist Polynom vom Grad b i.

24 Weils Beweisidee ( Z (X, T Frob = exp Fix ( F n X(C T n n n=1 ( 2d ( LFix T = exp ( 1 i Spur F n H i n (X(C n n=1 i=0 ( expla ungerade i det (id F T H i (X(C = ( gerade i det (id F T H i (X(C ( det (id F T H i (X(C ist Polynom vom Grad b i. Lösung Finde eine geeignete Weilsche Kohomologietheorie für die Schemata X(F q (genauer: für X Fp.