Abitur Mathematik für berufliche Gymnasien Analysis, Stochastik Wahlgebiet: Vektorgeometrie. Pflichtteil und Wahlteil. Merkur Verlag Rinteln

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1 Pflichtteil und Wahlteil Ott Rosner Mathematik für berufliche Gmnasien Analsis, Stochastik Wahlgebiet: Vektorgeometrie Abitur 8 Merkur Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Prais Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Verfasser: Roland Ott Studium der Mathematik an der Universität Tübingen Stefan Rosner Lehrauftrag Mathematik an der Kaufmännischen Schule Schwäbisch Hall Studium der Mathematik an der Universität Mannheim Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. * * * * * Umschlag Hintergrundbild: Beatrice Chatot Fotolia.com Kreis links: Africa Studio Fotolia.com, Kreis rechts: Picture-Factor Fotolia.com. Auflage 7 b MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 75 Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 7 I Hilfsmittelfreier Teil der Abiturprüfung Übungsaufgaben. Analsis Übungsaufgaben Lösungen Seite / Aufgabe Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. Ermitteln Sie einen möglichen Funktionsterm. K f 5 Aufgabe Das Schaubild der Funktion f mit f() = + besitzt einen Wendepunkt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt. Aufgabe Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die -Achse im Ursprung. Der Punkt H( ) ist der Hochpunkt des Schaubilds. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Aufgabe K ist der Graph der Funktion f mit f() = e. Die Tangente an K an der Stelle = schneidet die Asmptote von K in S. Bestimmen Sie die Koordinaten von S. Aufgabe 5 Berechnen Sie das Integral (,5 )d. Interpretieren Sie den Integralwert mithilfe geeigneter Flächenstücke. Aufgabe Gegeben sind die Funktionen f und g mit f() = + und g() =. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird.

4 8 Aufgabe 7 Lösungen Seite / Gegeben ist die Funktion f mit f() = e. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f mit F(,5) =. Aufgabe 8 Eine Funktion f hat folgende Eigenschaften: () f() = () f () = () f () = und f () () Für und gilt: f() 5 Beschreiben Sie für jede dieser vier Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von f hat. Skizzieren Sie eine möglichen Verlauf des Graphen. Aufgabe 9 Die täglichen Heizkosten eines Hauses werden durch k(t) dargestellt. Dabei ist t die Zeit in Tagen seit dem. Januar des Jahres. 9 Was bedeutet k(t)dt bzw. 9 k(t)dt? Aufgabe 9 Die Entwicklung der Gesamtkosten der Produktion von Fahrrädern kann durch die Funktion K mit K() =, mit D K = [; ] beschrieben werden. Berechnen Sie das Minimum der variablen Stückkosten und interpretieren Sie ihr Ergebnis. Aufgabe Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = ( + 5) e. Aufgabe Abb. zeigt den Gesamtabsatz eines Produktes in den ersten Wochen nach Einführung. a) Erläutern Sie, wie sich der Gesamtabsatz langfristig entwickeln wird. b) Bestimmen Sie in etwa den Zeitpunkt, an dem die momentane Änderungsrate maimal ist. Kennzeichnen Sie diesen Zeitpunkt in der Abbildung. A(t) in ME Abb. 8 t in Wochen 8

5 9 Aufgabe Lösungen Seite /5 Wenn das Medikament durch Tropfinfusion zugeführt wird, lässt sich die Wirkstoffmenge im Blut beschreiben durch die Funktion g mit g(t) = 8 ( e,5t ); t (t in Minuten seit Infusionsbeginn, g(t) in mg). Welche Wirkstoffmenge wird sich langfristig im Blut befinden? Zeigen Sie, dass die Wirkstoffmenge im Blut ständig zunimmt. Zu welchem Zeitpunkt beträgt die momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut mg min? Aufgabe Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. Geben Sie für jeden der folgenden Sätze an, ob er richtig, falsch oder nicht entscheidbar ist. Begründen Sie jeweils ihre Antwort.. Das Schaubild von f hat bei = einen Tiefpunkt.. Das Schaubild von f hat für genau zwei Wendepunkte.. Das Schaubild von f verläuft im Schnittpunkt mit der -Achse steiler als die erste Winkelhalbierende. f() > f(5) 5 Schaubild von f 5 Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. a) Welche Aussagen über F ergeben sich daraus im Bereich < < 7 hinsichtlich Schaubild von f Etremstellen, Wendestellen, Nullstellen? Begründen Sie Ihre Antworten. b) Begründen Sie, dass F() F() > gilt. c) Bestimmen Sie näherungsweise: f()d.

6 Aufgabe Lösungen Seite 5/ Gegeben sind die Schaubilder von vier Funktionen, jeweils mit sämtlichen Asmptoten: Abb. Abb. Abb. Drei dieser vier Schaubilder werden beschrieben durch die Funktionen f, g und h mit f() = a e,5, g() = + b e,5, h() = c a) Ordnen Sie den Funktionen f, g und h das jeweils passende Schaubild zu. Begründen Sie Ihre Zuordnung. b) Bestimmen Sie die Werte für a, b und c. Aufgabe 7 5 Abb. Die Abbildung zeigt die Graphen einer Funktion und der zugehörigen Ableitungsfunktion. Entscheiden Sie, welcher der Graphen I und II I die Ableitungsfunktion darstellt. Begründen Sie Ihre Entscheidung. II

7 Aufgabe 8 Lösungen Seite Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f einer Funktion f. Welcher der folgenden Aussagen über die Funktion f sind wahr, falsch oder unentscheidbar? Begründen Sie Ihre Antworten.. f ist streng monoton wachsend für < <.. Das Schaubild von f hat mindestens einen Wendpunkt.. Das Schaubild von f ist smmetrisch zur -Achse.. Es gilt f() > für alle [ ;]. Schaubild von f Aufgabe 9 Eine nicht lineare Funktion h hat keine Nullstelle. Der Graph von h nähert sich für asmptotisch der Geraden mit der Gleichung =. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm von h an und skizzieren Sie den zugehörigen Graphen. Aufgabe Abbildung stellt für einen Wassertank die Zufluss- bzw. Abflussrate (in m h ) von Wasser für einen Beobachtungszeitraum von sechs Stunden dar. Zu Beginn der Beobachtung enthält der Tank m Wasser. a) Bestimmen Sie das Volumen des Wassers, das sich zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank befindet. b) Skizzieren Sie in Abbildung den Graphen, der die Entwicklung des Volumens des Wassers im Tank in Abhängigkeit von der Zeit darstellt. Abb. Abb. Änderungsrate in m /h Zeit in h 5 Volumen in m 8 Zeit in h 8

8 Aufgabe Lösungen Seite 7/8 a) Bestimmen Sie den Funktionsterm für die Erlösfunktion unter der GE H Voraussetzung, dass es sich um eine ganzrationale Funktion. Grades handelt. b) Ergänzen Sie den Graphen der. Ableitung in das Koordinatensstem. Beschreiben Sie den Verlauf des Ableitungsgraphen mathematisch und ökonomisch. ME Aufgabe Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit f()=,5 +,5 + 7,5; R. Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Gleichung =,5 +,5 + 7,5 nur genau eine Lösung hat. Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von f. Aufgabe Das Rechteck ABCD mit A( ), B( ), C( ) und D( ) wird durch den Graphen der Funktion f mit f() = + ; R, in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen. Aufgabe Gegeben sind die Funktionen f und g mit f() = e und g() = e ; R. Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder der Funktionen f und g genau einmal schneiden. Aufgabe 5 Bestimmen Sie die Stammfunktion von g mit g() = e + ; R, deren Schaubild die -Achse bei schneidet.