Lineare Algebra 1. Roger Burkhardt

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1 Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2008/09

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3 Einführung Vektoren und Translationen Vektoren, wie sie in der Vektorgeometrie verwendet werden, können mittels Translationen definiert werden. Wird ein Gegenstand translativ (d.h. geradlinig und ohne Rotation) von einer Ausgangsposition zu einer Zielposition verschoben, so führen alle Punkte des Gegenstandes die gleiche Bewegung durch. Diese Bewegung kann durch einen Pfeil beschrieben werden. Ein solcher Pfeil, oder eben ein Vektor, hat eine Richtung und eine Länge (Betrag) und ist durch diese beiden Eigenschaften vollständig beschrieben.

4 Einführung Für diese Objekte definiert man zwei grundsätzliche Operationen. Dies sind die Addition und die Multiplikation mit einem Skalar (z.b. einer reellen Zahl). Dabei versteht man unter der Summe von zwei Translationen die Translation, welche man erhält, wenn man die beiden Translationen nacheinander ausführt. v w w v Es ist einfach einsichtig, dass diese Operation kommutativ ist, d.h. es kommt nicht darauf an, welche der beiden Translationen als erstes ausgeführt wird.

5 Einführung Die zweite Grundoperation ist die Multiplikation mit einem Skalar. Diese kann als Streckung/Stauchung der Translation verstanden werden. Dabei wird die Länge aber nicht die Richtung verändert: v kv Wird mit einem negativen Skalar multipliziert, so bewirkt das negative Vorzeichen des Skalars zusätzlich eine Umkehrung der Richtung. Im speziellen bewirkt die Multiplikation mit 1, dass eine Translation gerade in die Gegenrichtung führt (Kehrvektor).

6 Einführung Linearkombinationen und Gesetze Mit den beiden Operationen können nun Linearkombinationen von Translationen (Vektoren) gebildet werden! Schreiben wir die Translationen als Vektoren, so verstehen wir unter einer Linearkombination der n Vektoren v 1, v 2,..., v n mit den Skalaren a 1, a 2,..., a n den Vektor: a 1 v 1 + a 2 v a n v n = Im weiteren gelten die folgenden Gesetze: n a k v k k=1 Die Addition von Vektoren ist assoziativ und kommutativ: v + ( w + u) = ( v + w) + u = v + w + u v + w = w + v

7 Einführung Bezüglich der Addition von Vektoren gibt es ein neutrales Element (Nullvektor - Vektor mit der Länge Null), welches zu einem beliebigen Vektor addiert keine Auswirkungen hat: v + 0 = 0 + v = v Zu jedem Vektor gibt es einen Kehrvektor, d.h. zu jedem Vektor existiert ein zweiter Vektor, so dass die Summe dieser beiden Vektoren den Nullvektor ergibt. Sei im weiteren K ein Körper (z.b. die Menge der reellen Zahlen), so gilt für die Multiplikation eines Vektors mit Skalaren aus K das Assoziativgesetz: a (b v) = (ab) v Im weiteren gelten die folgenden beiden Distributivgesetze: a ( v + w) = a v + a w (a + b) v = a v + b v

8 Einführung Lineare Unabhängigkeit Zudem ist das Produkt eines beliebigen Vektors mit dem Skalar 1 wieder gleich dem Vektor. Diese acht grundlegenden Gesetzte werden wir zu einem späteren Zeitpunkt nocheinmal aufrollen. Im Moment fahren wir mit den Translationen weiter. Die n Vektoren v 1, v 2,..., v n nennt man linear unabhängig, wenn sich keiner der Vektoren als Linearkombination der restlichen Vektoren darstellen lässt. Andernfalls nennt man die Vektoren linear abhängig (bei zwei Vektoren in der Vektorgeometrie spricht man von kollinearen, bei drei Vektoren von komplanaren Vektoren).

9 Einführung Beispiel Bei einem beliebigen Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C können die drei Seiten als Vektoren beschrieben werden. Z.B. a = BC, b = CA und c = AB. Diese drei Vektoren sind linear abhängig, da z.b. der Vektor a als Linearkombination der beiden anderen Vektoren geschrieben werden kann: a = BC = BA + AC = b c b= CA A C c a= b c a= BC c= AB b B

10 Einführung Wenn man überprüfen muss, ob eine Anzahl von Vektoren linear unabhängig sind, hilft oft die Tatsache, dass der Nullvektor bei linear unabhängigen Vektoren nur mittels einer trivialen Linearkombination beschrieben werden kann (alle Vektoren mit dem Skalar 0 multipliziert), während bei linear abhängigen Vektoren neben der trivialen noch unendlich viele weitere Linearkombination möglich sind. Beispiel Im Dreieck des letzten Beispiels ist der Nullvektor aus den drei Vektoren a, b und c auf viele verschiedene Arten beschreibbar: 0 = 0 a + 0 b + 0 c = 1 a + 1 b + 1 c = 5 a 5 b 5 c = Werden aber nur zwei der drei Vektoren genommen, so existiert nur die triviale Linearkombination: 0 = 0 a + 0 b

11 Einführung Eine interessante Anwendung der linearen Unabhängigkeit ist der Beweis, dass sich in einem beliebigen Dreieck die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1 : 2 teilen: Beispiel Um mit der linearen Unabhängigkeit von Vektoren diesen Satz zu beweisen, muss ein Nullvektor als Linearkombination unabhängiger Vektoren gebildet werden. b= AC C S M D c= AB B A S SA AM = 1 2 c AM MS SA= 0 MS M A

12 Einführung Fortsetzung Die beiden Seitenvektoren b und c sind linear unabhängig und es gilt (k und s sind Streckungsfaktoren): AM + MS + SA = 1 2 c + k MC + sda = ( 1 2 c + k 1 ) 2 c + b + s ( 12 b 12 ) c = ( k s ) ( b k 2 2) s c = 0 Da nur die triviale Linearkombination unabhängiger Vektoren den Nullvektor erzeugt, müssen die beiden Klammerausdrücke in der letzten Zeile gleich Null sein!

13 Einführung Fortsetzung Also gilt: Dieses lineare Gleichungssystem: ( k s 2 = k 2 s 2 = ) ( k s ) = ( ) hat die Lösung: k = 1 3 und s = 2 3. Das Verhältnis von k zu s gibt nun das gesuchte Teilungsverhältnis: 1 k s = 3 = 1 2 Die Erkenntnisse der Einführung lassen sich nun verallgemeinern. 2 3

14 Definition Definition Vektorraum Definition Ein Vektorraum über einen Körper K ist eine Menge V zusammen mit zwei Operationen: + : V V V : K V V (v, w) v + w (λ, v) λ v für welche die folgenden Bedingungen gelten: Addition von Vektoren: A1: u, v, w V (u + v) + w = u + (v + w) A2: u, v V u + v = v + u A3: 0 V, v V 0 + v = v + 0 = v A4: v V v V v + ( v) = ( v) + v = 0

15 Definition Fortsetzung Multiplikation mit einem Skalar: S1: λ, µ K, v V (λµ) v = λ (µv) S2: λ K, v, w V λ (v + w) = λv + λw S3: λ, µ K, v V (λ + µ) v = λv + µv S4: v V 1v = v Das Tripel (V, +, ) aus Menge V und den gegebenen Operationen + und nennt man einen Vektorraum über K. Ist K die Menge der reellen Zahlen, so spricht man von einem reellen Vektorraum. Bemerkung Die Vektoren aus der Vektorgeometrie (Translationen) bilden mit der besprochenen Vektoraddition und der Multiplikation mit einer reellen Zahl ein reellen Vektorraum.

16 Definition Vektorraum der reellen n-tupel Beispiel Das Tripel aus Menge der reellen n-tupel V = {(x 1, x 2,, x n )} mit x i R und der Vektoraddition: + : V V V (x 1, x 2,, x n ) + (y 1, y 2,, y n ) (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) und der Multiplikation mit einem reellen Skalar: : R V V λ (x 1, x 2,, x n ) (λx 1, λx 2,, λx n ) bilden einen reellen Vektorraum.

17 Definition Vektorraum der reellen Matrizen Beispiel Das Tripel aus Menge der reellen n m Matrizen V = { x R n m} und der behandelten Matrizenaddition: + : V V V (a ij ) + (b ij ) (a ij + b ij ) und Multiplikation einer Matrix mit einem reellen Skalar: bilden einen reellen Vektorraum. : R V V λ (a ij ) (λa ij )

18 Definition Vektorraum der Polynomfunktionen vom Grade n Beispiel Das Tripel aus Menge der reellen Polynomfunktionen V = { p (x) = n k=0 a kx k} mit a k R und den Operationen: + : V V V ( n ) ( n ) ( n ) a k x k + b k x k (a k + b k ) x k k=0 k=0 k=0 : R V V ( n ) ( n ) λ a k x k λa k x k k=0 bilden einen reellen Vektorraum. k=0

19 Definition Untervektorraum Sei (V, +, ) ein Vektorraum über K und U eine Teilmenge von V. Nun stellt sich die Frage, ob (U, +, ) mit den Verknüpfungen von V ebenfalls ein Vektorraum ist. Diese Frage beantwortet der nachfolgende Satz: Theorem Sei (V, +, ) ein Vektorraum über K und U eine Teilmenge von V, so nennt man U einen Untervektorraum von V, wenn U bezüglich der Verknüpfungen + und abgeschlossen ist, d.h. u, v U u + v U (1) λ K, v U λv U (2) Natürlich ist (U, +, ) ebenfalls ein Vektorraum!

20 Definition Beispiel Im Vektorraum der reellen n-tupel bildet die Menge U = {(x, 0, 0,, 0)} einen reellen Untervektorraum, da die Summe zweier beliebiger Elemente aus U wieder in U liegen: (x, 0, 0,, 0) + (y, 0, 0,, 0) = (x + y, 0, 0,, 0) U und die Multiplikation eines Elementes aus U mit einer beliebigen reellen Zahl ebenfalls in U liegt: λ (x, 0, 0,, 0) = (λx, 0, 0,, 0) U Bemerkung Gelten diese beiden Bedingungen, also bekommt man durch Linearkombinationen keine neuen Elemente, so sagt man die Menge ist abgeschlossen bezüglich den gegebenen Operationen.

21 Definition Beispiel Da die Summe zweier symmetrischer n n Matrizen wieder eine symmetrische Matrix ist und die Multiplikation einer symmetrischen Matrix mit einer reellen Zahl auch wieder symmetrisch ist, ist die Menge der symmetrischen n n Matrizen abgeschlossen bezüglich Matrizenaddition und Multiplikation mit einem Skalar. Daher ist die Menge der symmetrischen n n Matrizen ein Untervektorraum des Vektorraums der quadratischen n n Matrizen. Beispiel Die Summe zweier linearer Funktionen f (x) = mx + b ist wieder eine lineare Funktion und das Produkt einer linearen Funktion mit einer reellen Zahl ist auch wieder eine lineare Funktion. Daher ist die Menge der linearen Funktionen ein Untervektorraum des Vektorraums der reellen Polynomfunktionen n-ten Grades.

22 Definition Beispiel Die Menge der Tripel U = { (x, y, z) R 3 : x + 2y + 3z = 0 } beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen reellen Raum (Vektorraum der reellen Tripel). Die Tripel der Menge U lassen sich z.b. wie folgt beschreiben (y und z sind frei wählbar): (x, y, z) = ( 2y 3z, y, z) Die Summe zweier solcher Tripel ergibt: ( 2y 1 3z 1, y 1, z 1 ) + ( 2y 2 3z 2, y 2, z 2 ) = ( 2 (y 1 + y 2 ) 3 (z 1 + z 2 ), y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) U

23 Definition Fortsetzung Ein Element von U mit einer reellen Zahl multipliziert ergibt wieder ein Element aus U: λ ( 2y 2 3z 2, y 2, z 2 ) = ( 2λy 3λz, λy, λz) U Somit ist diese Ebene ein Untervektorraum des reellen dreidimensinalen Vektorraums.

24 Definition Die Ebene des letzten Beispiels beinhaltet den Ursprung des dreidimensionalen Raums (Tripel (0, 0, 0) ist der Nullvektor des Vektorraums). Wird die Ebene U parallel verschoben, so ist die neue Menge von Tripeln kein Untervektorraum mehr: Beispiel Die Menge der Tripel U = { (x, y, z) R 3 : ( 2y 3z + 5, y, z) } (alle Punkte von U werden um 5 in x-richtung verschoben!) bilden keinen Untervektorraum. Es gilt bei der Summe: Bemerkung ( 2y 1 3z 1 + 5, y 1, z 1 ) + ( 2y 2 3z 2 + 5, y 2, z 2 ) = ( 2 (y 1 + y 2 ) 3 (z 1 + z 2 ) + 10, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) / U Der Nullvektor ist immer Element des Untervektorraums!

25 Definition Bemerkung Sei U ein Untervektorraum des Vektorraums V und sei a ein Element von V, welches nicht im Untervektorraum liegt, so ist U = {v V : v = u + a, u U} kein Untervektorraum. Eine solche Menge nennt man einen affinen Raum (werden wir nicht speziell behandeln!).

26 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Lineare Hülle Eine Möglichkeit einen Untervektorraum zu bilden, ist mit gegebenen Vektoren alle möglichen Linearkombinationen zu bilden: Definition Seien v 1, v 2,..., v n Vektoren eines Vektorraums V. Die Menge L (v 1, v 2,..., v n ) := {λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n } V (3) aller Linearkombinationen von v 1, v 2,..., v n heisst die lineare Hülle des n-tupels (v 1, v 2,..., v n ) von Vektoren. Theorem Die lineare Hülle ist immer ein Untervektorraum.

27 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Beispiel Betrachten wir den dreidimensionalen rellen Vektorraum R 3 = {(x, y, z)}. Die lineare Hülle des Vektors v = (1, 1, 1) ist der Untervektorraum U = {λ (1, 1, 1)} = {(λ, λ, λ)}. Dies sind alle Punkte auf einer Geraden im R 3 :

28 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Fortsetzung Die lineare Hülle der Vektoren v 1 = (1, 1, 1) und v 2 = (0, 0, 1) ist der Untervektorraum U = {λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 (0, 0, 1)} = {(λ 1, λ 1, λ 1 + λ 2 )}. Dies sind alle Punkte auf einer Ebenen im R 3 :

29 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Fortsetzung Die lineare Hülle der Vektoren v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (0, 0, 1) und v 3 = (1, 1, 0) ist der Untervektorraum U = {λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 (0, 0, 1) + λ 3 (1, 1, 1)} = {(λ 1 + λ 3, λ 1 + λ 3, λ 1 + λ 2 )}. Dies sind alle Punkte auf der vorigen Ebene:

30 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Mit der linearen Hülle können also aus einer kleinen Anzahl von Vektoren viele neue Vektoren gebildet werden! Dieser Sachverhalt wird uns im weiteren beschäftigen. Zudem haben wir in den letzten beiden Beispielen gesehen, dass mit unterschiedlichen Vektoren (oder auch mit einer unterschiedlichen Anzahl von Vektoren) die gleichen (Unter)-Vektoräume erzeugt werden können. Diese Tatsache ist sehr störend, da sie keine eindeutige Beschreibungsmöglichkeit der Vektoren des (Unter)-Vektorraums bewirkt. Um hier weiter zu kommen, brauchen wir nun wieder den Begriff der linearen Unabhängigkeit aus der Einführung!

31 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Lineare Unabhängigkeit Definition Die n Vektoren v 1, v 2,..., v n des Vektorraums V nennt man linear unabhängig, wenn sich keiner der Vektoren als Linearkombination der restlichen Vektoren darstellen lässt. Andernfalls nennt man die Vektoren linear abhängig. Theorem Die n Vektoren v 1, v 2,..., v n des Vektorraums V sind genau dann linear unabhängig, wenn der Nullvektor des Vektorraums nur mit einer trivialen Linearkombination gebildet werden kann: n λ k v k = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0 λ k = 0 k=1

32 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Beispiel Es soll gezeigt werden, dass die drei Vektoren v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (0, 0, 1) und v 3 = (1, 1, 0) des Vektorraums der reellen Tripel linear abhängig sind. Dazu stellt man den Nullvektor als Linearkombination der drei Vektoren dar: λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 (0, 0, 1) + λ 3 (1, 1, 0) = (λ 1 + λ 3, λ 1 + λ 3, λ 1 + λ 2 ) = (0, 0, 0) Dies führt zum folgenden linearen Gleichungssystem: λ λ 2 = λ 3 0

33 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Fortsetzung Dieses System besitzt neben der trivialen Nulllösung noch unendlich viele weitere Lösungen: λ λ 2 = λ 3 0 L = { (λ 1, λ 2, λ 3 ) R 3 : ( λ 3, λ 3, λ 3 ) } Die Lösung eingesetzt, zeigt nun, dass es unendlich viele Linearkombinationen gibt: λ 3 v 1 + λ 3 v 2 + λ 3 v 3 = 0 }{{} z.b. v 1 + v 2 + v 3 = 0

34 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Fortsetzung Diese letzte Gleichung kann nach einem der drei Vektoren aufgelöst werden. Für v 3 gilt: v 3 = v 1 v 2 Der Vektor v 3 lässt sich somit als Linearkombination der anderen beiden Vektoren schreiben! Diese Erkenntnis haben wir auch bei den letzten beiden Beispielen zur linearen Hülle erhalten. Die Hinzunahme des dritten Vektors hat auf die linearen Hülle keinen Einfluss gehabt: L (v 1, v 2 ) = L (v 1, v 2, v 3 )

35 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Beispiel Es soll gezeigt werden, dass die drei Polynome p 1 = 1, p 2 = 1 + x und p 3 = 1 + x + x 2 des Vektorraums der Polynome linear unabhängig sind. Dazu stellt man den Nullvektor (Nullpolynom p 0 = 0) als Linearkombination der drei Funktionen dar: λ 1 p 1 + λ 2 p 2 + λ 3 p 3 = λ 1 (1) + λ 2 (1 + x) + λ 3 ( 1 + x + x 2 ) = (λ 1 + λ 2 + λ 3 ) + (λ 2 + λ 3 ) x + (λ 3 ) x 2 = 0 = 0 + 0x + 0x 2 Dies führt zum folgenden linearen Gleichungssystem: λ λ 2 = λ 3 0 Da dieses System regulär ist besitzt es nur die triviale Nulllösung!

36 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Basis Linear unabhängige Vektoren besitzen die wichtige Eigenschaft: Theorem Seien die Vektoren v 1, v 2,..., v n linear unabängig, so lässt sich jeder Vektor im Vektorraum der linearen Hülle dieser Vektoren eindeutig als Linearkombination dieser Vektoren darstellen. Daher definiert man denn Begriff der Basis: Definition Sei V ein Vektorraum über K. Die Menge der n Vektoren {v 1, v 2,..., v n } V heisst eine Basis von V, wenn die Vektoren linear unabhängig sind und die lineare Hülle der Vektoren den ganzen Vektorraum aufspannen.

37 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Beispiel Betrachten wir die Translationen in einem reellen zwei- bzw. dreidimensionalen Raum mit einem kartesischen Koordinatensystem: y R 2 z R e y 1 1 e x x 2 1 e z 1 e x ey 1 2 y x Die Translationen mit der Länge 1 entlang den Koordinatenachsen bilden eine Basis der :

38 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Fortsetzung B R 2 = { e x, e y }, B R 3 = { e x, e y, e z } Nun lässt sich eine beliebige Translation eindeutig als Linearkombination dieser Basisvektoren beschreiben: y a=k x e x k y e y k y e y e y 1 e y e x e x k x e x x

39 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Fortsetzung Anstelle dieser aufwendigen Schreibweise in Form einer Linearkombination a = k x e x + k y e y verwendet man meistens die Komponentenschreibweise, wobei in einem Spaltenvektor (oder auch Zeilenvektor) die Koeffizienten der Linearkombination angegeben werden: ( ) kx a = k x e x + k y e y = Bemerkung Die in diesem Beispiel verwendete Basis ist die Standardbasis und man nennt diese auch die kanonische Basis! k y

40 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Beispiel Wir wollen zeigen, dass die drei Translationen b 1 = b 2 = und b 3 = , eine Basis des R 3 bilden. Dazu muss gezeigt werden, dass diese drei Translationen linear unabängig sind und sie den ganzen Vektorraum aufspannen. Dies kann in einem Schritt durchgeführt werden. Wir stellen dazu einen beliebigen Vektor als Linearkombination der gegebenen Vektoren dar: v = x y z = k 1 b1 + k 2 b2 + k 3 b3

41 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Fortsetzung Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem mit den drei Unbekannten k 1,k 2 und k 3 (und den Parametren x, y und z): k k k 3 k 1 k 2 k = = Mit dem Gauss-Jordan-Verfahren bekommt man: k k 2 = k 3 x y z 2x+y+z 7 4x+5y 2z 7 5x+y+z 7 x y z

42 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Fortsetzung Das lineare Gleichungssystem ist somit regulär und hat (unabhängig von den Parameterwerten) eine eindeutige, einelementige Lösungsmenge. Daher kann auch der Nullvektor (x = y = z = 0) nur auf eine Art (triviale Linearkombination) dargestellt werden und die Vektoren sind daher linear unabhängig! Zudem können für die Parameter beliebige Werte eingesetzt werden und somit spannen die drei gegebenen Vektoren auch den gesamten Raum auf! Gilt z.b. x = y = z = 1, so findet man für diesen Vektor die folgenden Koeffizienten: k 1 k 2 k 3 = 2x+y+z 7 4x+5y 2z 7 5x+y+z 7 = =

43 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Fortsetzung Also gilt: = Beispiel Im Vektorraum der Polynome höchstens 4-ten Grades betrachten wir die Polynome (Legendre-Polynome): P 3 = 1 2 P 0 = 1, P 1 = x, P 2 = 1 2 ( 5x 3 3x ), P 4 = 1 8 ( 3x 2 1 ) ( 35x 4 30x )

44 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Fortsetzung Es soll gezeigt werden, dass diese Polynome eine Basis des Vektorraums bilden. Das Vorgehen ist analog zum letzten Beispiel - es wird ein allgemeines Polynom des Vektorraums als Linearkombination der gegebenen Vektoren gebildet: a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 = k 0 P 0 + k 1 P 1 + k 2 P 2 + k 3 P 3 + k 4 P 4 = (k k k 4)+(k k 3)x +( 3 2 k k 4)x k 3x k 4x 4 Koeffizientenvergleich führt auf das Gleichungssystem:

45 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Fortsetzung k 0 k 1 k 2 k 3 k 4 = Dieses System ist regulär und besitzt die eindeutige Lösung: k 0 a a a 4 k 1 k 2 k 3 = a a3 2 3 a a a 3 8 k 4 35 a 4 Die Polynome sind linear unabhängig und spannen den Vektorraum auf und bilden daher eine Basis. a 0 a 1 a 2 a 3 a 4

46 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Dimension In der Regel hat ein Vektorraum unendlich viele verschiedene Basen. Es gilt jedoch: Theorem Sind {v 1, v 2,..., v n } und {w 1, w 2,..., w m } Basen eines Vektorraums, so sind die beiden Basen gleichmächtig. Daher definiert man: Definition Unter der Dimension dim(v) eines Vektorraums V versteht man die Anzahl der Vektoren einer Basis. Besitzt ein Vektorraum eine endliche Basis {v 1, v 2,..., v n }, spricht man von einem endlich dimensionalen Vektorraum (dim(v) = n). Andernfalls spricht man von einem unendlich dimensionalen Vektorraum (dim(v) = ).

47 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Beispiel Die der Translationen in den zwei- und dreidimensionalen reellen Räumen sind zwei- bzw. dreidimensional. Beispiel Für den Vektorraum der n m Matrizen gilt: dim ( R n m) = nm. Beispiel Der Vektorraum der Polynome ist unendlich dimensional. Eine mögliche Basis ist: B = { 1, x, x 2, x 3,... }.

48 Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension 4 Einführung Vektoren und Translationen Linearkombinationen und Gesetze Lineare Unabhängigkeit Definition Vektorraum Untervektorraum Lineare Hülle, Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Lineare Hülle Lineare Unabhängigkeit Basis Dimension