Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium

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1 Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet SS 2017 Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

2 Organisation Vorlesung (2 SWS): Do., 16:15 Uhr -18:00 Uhr, Hörsaal IV, Geb. E2. 4 Lecture: Thursday, 4:15pm-5:45pm, Lecture Hall IV, Building E2.4 Übungen (2 SWS): Mo., 16:15 Uhr -17:45 Uhr, Seminarraum E.04, Geb. E2. 6 Exercices: Monday 4:15 pm-5:45 pm, Room E.04, Building E2.6 SWS: Semesterwochenstunde (je 45 min) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

3 Übungen (exercises sessions) Übungen: Mo. 16:15 Uhr -17:45 Uhr, Seminarraum E.04, Geb. E2. 6 Exercises: Monday 4:15 pm-5:45 pm, Room E.04, Building E2.6 Jeden Donnerstag wird ein neues Übungsblatt verteilt. Each Thursday the exercises sheets will be distributed. Außerdem können Sie die Übungsblätter auf folgender Webseite herunterladen: They are available for download on the website: Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

4 Literatur (Literature) Die SULB ist die Saarländische Universitäts- und Landesbibliothek (University Library) und besitzt einen Online-Katalog. Als Einstieg: Vorkurs Mathematik, E. Cramer (Hoch)Schulmathematik: Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni. Tobias Glauser Basiswissen Mathematik, 2. Auflage, Jürgen Schmidt Vorkurs Mathematik für Nebenfach-Studierende, Marcel Klinger Als Studierende der Universität können Sie diese Bücher herunterladen. (Zugriff nur aus dem Universitätsnetz). Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

5 Vorlesung 1 (Lecture 1) Einführung in der Aussagenlogik Introduction to sentential logic Die Grammatik der Mathematik. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

6 Aussage (Statement) Definition: Eine logische Aussage ist eine Behauptung, die entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. A logical statement is a mathematical statement, which is either true (w) or false (f). Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

7 Aussage (Statement) Definition: Eine logische Aussage ist eine Behauptung, die entweder wahr (w) oder falsch (f) ist. A logical statement is a mathematical statement, which is either true (w) or false (f). Bsp: 7 ist eine gerade Zahl (even number): (f ) Saarbrücken ist eine Stadt (city): (w) Außerirdisches Leben existiert: (?) Bayern München ist die beste Fussballmannschaft: (keine Aussage, subjektiv) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

8 Negation (Negation) Sei A eine Aussage: Definition: Das logische Gegenteil (contrary) einer Aussage bezeichnet man als Negation (Verneinung) von A. Bezeichnung A ( nicht A, not A ). Das Zeichen ist der Junktor (connective) der Negation. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

9 Negation (Negation) Sei A eine Aussage: Definition: Das logische Gegenteil (contrary) einer Aussage bezeichnet man als Negation (Verneinung) von A. Bezeichnung A ( nicht A, not A ). Das Zeichen ist der Junktor (connective) der Negation. A A w f f w Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

10 Negation (Negation) Sei A eine Aussage: Definition: Das logische Gegenteil (contrary) einer Aussage bezeichnet man als Negation (Verneinung) von A. Bezeichnung A ( nicht A, not A ). Das Zeichen ist der Junktor (connective) der Negation. A A w f f w Bsp.: A: der Schnee ist weiß. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

11 Negation (Negation) Sei A eine Aussage: Definition: Das logische Gegenteil (contrary) einer Aussage bezeichnet man als Negation (Verneinung) von A. Bezeichnung A ( nicht A, not A ). Das Zeichen ist der Junktor (connective) der Negation. A A w f f w Bsp.: A: der Schnee ist weiß. A: der Schnee ist nicht weiß. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

12 Konjunktion (Conjunction) Seien A und B Aussagen: Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch und heißt Konjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A und B, A and B ). A B ist genau dann wahr (true), wenn beide (both) Teilaussagen wahr sind. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

13 Konjunktion (Conjunction) Seien A und B Aussagen: Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch und heißt Konjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A und B, A and B ). A B ist genau dann wahr (true), wenn beide (both) Teilaussagen wahr sind. A B A B f f f f w f w f f w w w Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

14 Konjunktion (Conjunction) Seien A und B Aussagen: Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch und heißt Konjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A und B, A and B ). A B ist genau dann wahr (true), wenn beide (both) Teilaussagen wahr sind. A B A B f f f f w f w f f w w w Bsp.: A: 2 ist eine gerade Zahl (w) B: 3 ist eine gerade Zahl (f) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

15 Konjunktion (Conjunction) Seien A und B Aussagen: Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch und heißt Konjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A und B, A and B ). A B ist genau dann wahr (true), wenn beide (both) Teilaussagen wahr sind. A B A B f f f f w f w f f w w w Bsp.: A: 2 ist eine gerade Zahl (w) B: 3 ist eine gerade Zahl (f) A B: 2 ist eine gerade Zahl und 3 ist eine gerade Zahl (f) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

16 Disjunktion (Disjunction) Seien A und B Aussagen: Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A oder B durch oder heißt Disjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A oder B, A or B ). A B ist genau dann wahr (true), wenn mindestens (at least) eine der beiden Teilaussagen wahr ist. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

17 Disjunktion (Disjunction) Seien A und B Aussagen: Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A oder B durch oder heißt Disjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A oder B, A or B ). A B ist genau dann wahr (true), wenn mindestens (at least) eine der beiden Teilaussagen wahr ist. A B A B f f f f w w w f w w w w Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

18 Disjunktion (Disjunction) Seien A und B Aussagen: Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A oder B durch oder heißt Disjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A oder B, A or B ). A B ist genau dann wahr (true), wenn mindestens (at least) eine der beiden Teilaussagen wahr ist. A B A B f f f f w w w f w w w w Bsp.: A: 2 ist eine gerade Zahl (w) B: 3 ist eine gerade Zahl (f) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

19 Disjunktion (Disjunction) Seien A und B Aussagen: Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A oder B durch oder heißt Disjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A oder B, A or B ). A B ist genau dann wahr (true), wenn mindestens (at least) eine der beiden Teilaussagen wahr ist. A B A B f f f f w w w f w w w w Bsp.: A: 2 ist eine gerade Zahl (w) B: 3 ist eine gerade Zahl (f) A B: 2 ist eine gerade Zahl oder 3 ist eine gerade Zahl (w) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

20 Subjunktion (material implication) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch wenn A, dann B heißt Subjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen wenn A dann B, aus A folgt B, if A then B ). A B ist per Definition genau dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

21 Subjunktion (material implication) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch wenn A, dann B heißt Subjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen wenn A dann B, aus A folgt B, if A then B ). A B ist per Definition genau dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist. A B A B f f w f w w w f f w w w Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

22 Subjunktion (material implication) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch wenn A, dann B heißt Subjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen wenn A dann B, aus A folgt B, if A then B ). A B ist per Definition genau dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist. A B A B f f w f w w w f f w w w Bsp.: A: 2 ist eine gerade Zahl (w) B: 3 ist eine gerade Zahl (f) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

23 Subjunktion (material implication) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch wenn A, dann B heißt Subjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen wenn A dann B, aus A folgt B, if A then B ). A B ist per Definition genau dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist. A B A B f f w f w w w f f w w w Bsp.: A: 2 ist eine gerade Zahl (w) B: 3 ist eine gerade Zahl (f) A B: Wenn 2 eine gerade Zahl ist, dann 3 ist eine gerade Zahl (f) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

24 Subjunktion (material implication) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch wenn A, dann B heißt Subjunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen wenn A dann B, aus A folgt B, if A then B ). A B ist per Definition genau dann falsch, wenn A wahr ist und B falsch ist. A B A B f f w f w w w f f w w w Bsp.: A: 2 ist eine gerade Zahl (w) B: 3 ist eine gerade Zahl (f) A B: Wenn 2 eine gerade Zahl ist, dann 3 ist eine gerade Zahl (f) B A: Wenn 3 eine gerade Zahl ist, dann 2 ist eine gerade Zahl (w) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

25 Bijunktion (biconditional) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch (A B) (B A) heißt Bijunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A genau dann, wenn B ; A äquivalent zu B, A if only if B ). A B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben Wahrheitswert haben. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

26 Bijunktion (biconditional) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch (A B) (B A) heißt Bijunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A genau dann, wenn B ; A äquivalent zu B, A if only if B ). A B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben Wahrheitswert haben. A B A B f f w f w f w f f w w w Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

27 Bijunktion (biconditional) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch (A B) (B A) heißt Bijunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A genau dann, wenn B ; A äquivalent zu B, A if only if B ). A B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben Wahrheitswert haben. A B A B f f w f w f w f f w w w Bsp.: A: 8+7=15 (w), B: 49-9=40 (w) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

28 Bijunktion (biconditional) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch (A B) (B A) heißt Bijunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A genau dann, wenn B ; A äquivalent zu B, A if only if B ). A B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben Wahrheitswert haben. A B A B f f w f w f w f f w w w Bsp.: A: 8+7=15 (w), B: 49-9=40 (w) A B: Genau dann ist 8+7=15, wenn 49-9=40 (w) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

29 Bijunktion (biconditional) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch (A B) (B A) heißt Bijunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A genau dann, wenn B ; A äquivalent zu B, A if only if B ). A B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben Wahrheitswert haben. A B A B f f w f w f w f f w w w Bsp.: A: 8+7=15 (w), B: 49-9=40 (w) A B: Genau dann ist 8+7=15, wenn 49-9=40 (w) C: 2+3=6 (f), D: 1+1=3 (f) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

30 Bijunktion (biconditional) Definition: Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch (A B) (B A) heißt Bijunktion. Man schreibt sie in der Form A B (gesprochen A genau dann, wenn B ; A äquivalent zu B, A if only if B ). A B ist per Definition genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen denselben Wahrheitswert haben. A B A B f f w f w f w f f w w w Bsp.: A: 8+7=15 (w), B: 49-9=40 (w) A B: Genau dann ist 8+7=15, wenn 49-9=40 (w) C: 2+3=6 (f), D: 1+1=3 (f) C D: Genau dann ist 2+3=6, wenn 1+1=3 (w) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

31 Komplexere Aussagen A B C? Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

32 Komplexere Aussagen A B C? Operatorrangfolge (Order of operations) 1.) 2.) 3.) 4.) 5.) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

33 Komplexere Aussagen A B C? Operatorrangfolge (Order of operations) 1.) 2.) 3.) 4.) 5.) Klammer setzen, um die Operationenreihenfolge zu ändern. Bsp.: A (B C). Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

34 Tautologie & Kontradiktion (Tautology, contradiction) A A A A A A ( A) w f w f w f w w f f A A ist immer wahr, sie stellt eine Tautologie dar. A A ist immer falsch, sie stellt eine Kontradiktion (Widerspruch) dar.. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

35 Tautologie & Kontradiktion (Tautology, contradiction) A A A A A A ( A) w f w f w f w w f f A A ist immer wahr, sie stellt eine Tautologie dar. A A ist immer falsch, sie stellt eine Kontradiktion (Widerspruch) dar. Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig (at the same time) wahr oder falsch sein.. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

36 Tautologie & Kontradiktion (Tautology, contradiction) A A A A A A ( A) w f w f w f w w f f A A ist immer wahr, sie stellt eine Tautologie dar. A A ist immer falsch, sie stellt eine Kontradiktion (Widerspruch) dar. Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig (at the same time) wahr oder falsch sein. A und ( A) haben dieselbe Wahrheitstabelle: A ist logisch äquivalent zu ( A) (A ( A), i.e. A ( A) ist eine Tautologie). Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

37 Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic) Grundgesetze der Logik a) A B B A, A B B A (Kommutativität) Beweise z.b. mit Hilfe von Wahrheitstabellen. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

38 Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic) Grundgesetze der Logik a) A B B A, A B B A (Kommutativität) b) A (B C) (A B) C, A (B C) (A B) C (Assoziativität) Beweise z.b. mit Hilfe von Wahrheitstabellen. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

39 Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic) Grundgesetze der Logik a) A B B A, A B B A (Kommutativität) b) A (B C) (A B) C, A (B C) (A B) C (Assoziativität) c) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (Distributivität) Beweise z.b. mit Hilfe von Wahrheitstabellen. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

40 Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic) Grundgesetze der Logik a) A B B A, A B B A (Kommutativität) b) A (B C) (A B) C, A (B C) (A B) C (Assoziativität) c) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (Distributivität) d) ( A) A (Doppelte Negation) Beweise z.b. mit Hilfe von Wahrheitstabellen. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

41 Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic) Grundgesetze der Logik a) A B B A, A B B A (Kommutativität) b) A (B C) (A B) C, A (B C) (A B) C (Assoziativität) c) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (Distributivität) d) ( A) A (Doppelte Negation) e) (A B) A B, (A B) A B (De Morgansche Regeln) Beweise z.b. mit Hilfe von Wahrheitstabellen. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

42 Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic) Grundgesetze der Logik a) A B B A, A B B A (Kommutativität) b) A (B C) (A B) C, A (B C) (A B) C (Assoziativität) c) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (Distributivität) d) ( A) A (Doppelte Negation) e) (A B) A B, (A B) A B (De Morgansche Regeln) f) (A B) ( B A) (Kontraposition) Beweise z.b. mit Hilfe von Wahrheitstabellen. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

43 Grundgesetze der Logik (Basic laws of logic) Grundgesetze der Logik a) A B B A, A B B A (Kommutativität) b) A (B C) (A B) C, A (B C) (A B) C (Assoziativität) c) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (Distributivität) d) ( A) A (Doppelte Negation) e) (A B) A B, (A B) A B (De Morgansche Regeln) f) (A B) ( B A) (Kontraposition) g) (A B) (B C) (A C) (Transitivität der Implikation) Beweise z.b. mit Hilfe von Wahrheitstabellen. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

44 Beispiel (Example) Zeigen Sie, dass: B A A B A B Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

45 Beispiel (Example) Zeigen Sie, dass: B A A B A B 1 A B A B ( ) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

46 Beispiel (Example) Zeigen Sie, dass: B A A B A B 1 A B A B ( ) A B A B A A B f f w w w f w w w w w f f f f w w w f w Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

47 Beispiel (Example) Zeigen Sie, dass: B A A B A B 1 A B A B ( ) A B A B A A B f f w w w f w w w w w f f f f w w w f w 2 A B B A Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

48 Beispiel (Example) Zeigen Sie, dass: B A A B A B 1 A B A B ( ) A B A B A A B f f w w w f w w w w w f f f f w w w f w 2 A B B A A B A B ( ) B A (Kommutativität) ( B) A (Doppelte Negation) B A ( ) (q.e.d.) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

49 In Worten (With words). A= Es regnet., B= Ich habe meinen Regenschirm. Folgende Formulierungen sind äquivalent: 1 A B: Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

50 In Worten (With words). A= Es regnet., B= Ich habe meinen Regenschirm. Folgende Formulierungen sind äquivalent: 1 A B: Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm 2 A B: Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

51 In Worten (With words). A= Es regnet., B= Ich habe meinen Regenschirm. Folgende Formulierungen sind äquivalent: 1 A B: Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm 2 A B: Es regnet nicht oder ich habe meinen Regenschirm Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

52 In Worten (With words). A= Es regnet., B= Ich habe meinen Regenschirm. Folgende Formulierungen sind äquivalent: 1 A B: Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm 2 A B: Es regnet nicht oder ich habe meinen Regenschirm 3 B A: Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

53 In Worten (With words). A= Es regnet., B= Ich habe meinen Regenschirm. Folgende Formulierungen sind äquivalent: 1 A B: Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm 2 A B: Es regnet nicht oder ich habe meinen Regenschirm 3 B A: Wenn ich meinen Regenschirm nicht habe, dann regnet es nicht. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

54 In Worten (With words). A= Es regnet., B= Ich habe meinen Regenschirm. Folgende Formulierungen sind äquivalent: 1 A B: Wenn es regnet, dann habe ich meinen Regenschirm 2 A B: Es regnet nicht oder ich habe meinen Regenschirm 3 B A: Wenn ich meinen Regenschirm nicht habe, dann regnet es nicht. Man sagt, dass A eine hinreichende Bedingung (sufficient condition) für B ist. B ist eine notwendige Bedingung (necessary condition) für A. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

55 Aussageform P(x): x ist eine gerade Zahl. P(x) ist keine Aussage, sie ist weder wahr noch falsch (neither... nor). Sie ist eine Aussageform. Sie wird in eine Aussage übergehen, sobald man einen Wert einsetzt. Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

56 Aussageform P(x): x ist eine gerade Zahl. P(x) ist keine Aussage, sie ist weder wahr noch falsch (neither... nor). Sie ist eine Aussageform. Sie wird in eine Aussage übergehen, sobald man einen Wert einsetzt. Bsp.: P(2) (w), P(3) (f) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

57 Exkurs: Quantoren (Quantifiers:) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

58 Exkurs: Quantoren (Quantifiers:). 1 für alle (Elemente) (for all). Der Allquantor. 2 3 Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

59 Exkurs: Quantoren (Quantifiers:). 1 für alle (Elemente) (for all). Der Allquantor. 2 3 Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

60 Exkurs: Quantoren (Quantifiers:). 1 für alle (Elemente) (for all). Der Allquantor. 2 es existiert ein (Element) (there exists). Der Existenzquantor. 3 Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

61 Exkurs: Quantoren (Quantifiers:). 1 für alle (Elemente) (for all). Der Allquantor. 2 es existiert ein (Element) (there exists). Der Existenzquantor. 3! es existiert genau ein (Element) Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19

62 Exkurs: Um A B zu beweisen: (Prove A B:) 1 Direkter Beweis (Direct proof): B wird unter Annahme von A schrittweise gezeigt. (A B) 2 Indirekter Beweis(Indirect proof): a) Beweis durch Kontraposition (Proof by contraposition) : A wird unter Annahme von B schrittweise gezeigt. ( B A) b) Beweis durch Widerspruch (Proof by contradiction): Wir negieren A B: (A B) A B. Wir nehmen A und B an und kommen dann zu einem Widerspruch Vorlesung 1 MINT Mathekurs SS / 19