Konfluenz von Wort und Termersetzung

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1 Kapitel 4 Konfluenz von Wort und Termeretzung Eretzungyteme auf Wörtern, Termen, Graphen und o fort betehen au Regeln, deren Anwendung die jeweilige Nachfolgerrelation definiert. Meit ind mehrere Regeln gleichzeitig an mehreren Stellen anwendbar; dadurch wird da Ableiten nichtdeterminitich. Bechränkt man ich auf eine konkrete Ableitungtrategie, chränkt man alo die Nachfolgerrelation irgendwie ein, o läuft man Gefahr, eventuell vorher vorhandene Normalformen zu verlieren. Konfluenz macht von Eretzungtrategien unabhängig. Zwar erreicht man nicht mit jeder beliebigen Strategie gleich chnell eine Normalform, aber da Ergebni it eindeutig betimmt, wenn e denn überhaupt exitiert. Und Konfluenz it äquivalent zur Church-Roer-Eigenchaft, damit wichtig für die Frage nach äquivalenten Elementen; für konfluente und terminierende endliche Syteme it die Äquivalenz entcheidbar, wie im Abchnitt 3.1 bechrieben. Für terminierende Syteme folgt Konfluenz chon au lokaler Konfluenz. Erfreulicherweie it in dieer Situation lokale Konfluenz, und damit eben auch Konfluenz, entcheidbar, meit ogar ehr effizient. Um die lokale Konfluenz von Wort- oder Termeretzungytemen analyieren zu können, werden wir in den beiden folgenden Abchnitten alle möglichen Situationen 1 2 detailliert unteruchen, zunächt jeweil an einem Beipiel. 4.1 Lokale Konfluenz von Worteretzung Da Worteretzungytem R über dem Alphabet Σ = {a, b, c} mit den Regeln abcb r 1 (4.1) bc r 2 (4.2) zeigt die bei Worteretzung prinzipiell möglichen Fälle; die rechten Regeleiten r 1, r 2 Σ eien dabei nicht fetgelegt. Nichtüberlappende Regelanwendungen: br 1 abca R babcbabca R babcbar 2 a. 33

2 34 KAPITEL 4. KONFLUENZ VON WORT UND TERMERSETZUNG Untertrichen it in dieem Beipiel ein Teilwort, auf da Regel (1) angewendet wurde, übertrichen ein Teilwort, da mit Regel (2) eretzt wurde. Hier it die lokale Konfluenz nicht bedroht, da die enttandenen Wörter einen gemeinamen Nachfolger beitzen: br 1 abca R br 1 ar 2 a R babcbar 2 a. Offenbar ind die jeweil fehlenden Schritte zum gemeinamen Nachfolger br 1 ar 2 a unabhängig vom vorher gechehenen Schritt weiterhin möglich geween. Da liegt daran, da die zuert angewendeten Regeln nicht überlappende Teilwörter von w eretzt haben. Überlappende Regelanwendungen gechachtelt: br 1 a R babcba R bar 2 ba. Die Anwendung der einen Regel zertört jeweil die Anwendbarkeit der anderen. Ob br 1 a und bar 2 ba einen gemeinamen Nachfolger haben, hängt dehalb von den rechten Regeleiten und eventuellen weiteren Regeln ab. Überlappende Regelanwendungen verzahnt: Genauo verhält e ich in Situationen, wo die linken Regeleiten überlappen, ohne da eine in der anderen enthalten wäre: br 1 a R babcbca R babcr 2 a. Nichtüberlappende Regelanwendungen können die lokale Konfluenz nicht beeinfluen. Für überlappende Anwendungen gibt e zwei Fälle: Regeln können gechachtelt oder verzahnt angewendet werden. Solche Situationen ind kritich für die lokale Konfluenz, ie müen bei der Konfluenzanalye unterucht werden. Eine zuätzliche Überlegung erleichtert die Arbeit: Offenbar pielt der linke und rechte Kontext der Überlappung keine Rolle. Denn haben Wörter 1 und 2 eine gemeinamen Nachfolger, dann auch die Wörter u 1 v und u 2 v. Die Relation R, und damit auch R, it nämlich per Definition unter linken und rechten Kontexten abgechloen. Diee Überlegungen motivieren die kritichen (Wort-)Paare. Einem endlichen Worteretzungytem ordnen wir endlich viele kritiche Paare o zu, da da Sytem genau dann lokal konfluent it, wenn alle kritichen Paare gemeiname Nachfolger haben. Damit wird die lokale Konfluenz für terminierende Syteme entcheidbar, da alle kritichen Paare effektiv betimmt werden können. Definition 5. Sei R ein Worteretzungytem mit Regeln l 1 r 1 und l 2 r 2. It l 1 = ul 2 v mit u, v Σ, dann it (r 1, ur 2 v) ein kritiche Paar für R. It l 1 v = ul 2 mit u, v Σ und l 1 > u, dann it (r 1 v, ur 2 ) ein kritiche Paar für R. Ein kritiche Paar ( 1, 2 ) für R heißt harmlo, fall 1 R R 2 gilt. Satz 6. Ein Worteretzungytem it genau dann lokal konfluent, wenn alle eine kritichen Paare harmlo ind.

3 4.1. LOKALE KONFLUENZ VON WORTERSETZUNG 35 Bewei. It ( 1, 2 ) ein kritiche Paar für R, dann gilt 1 R R 2. Sind nämlich l 1 r 1 und l 2 r 2 Regeln au R, dann it r 1 R l 1 = ul 2 v R ur 2 v für den Fall l 1 = ul 2 v und r 1 v R l 1 v = ul 2 R ur 2 für den Fall l 1 v = ul 2. Exitiert alo ein nicht harmloe kritiche Paar, dann it da Sytem nicht lokal konfluent. Sei nun umgekehrt die Harmloigkeit aller kritichen Paare voraugeetzt. Wir zeigen R R R R. Sei alo 1 {l1 r 1} w {l2 r 2} 2 für Regeln l 1 r 1 und l 2 r 2 au R. Au Symmetriegründen können wir un auf die Fälle bechränken, wo die erte Regel im Wort w nicht recht von der zweiten Regel angewendet wird. Und weil R unter Kontexten abgechloen it, reicht e wie oben bemerkt au, nur olche Situationen zu betrachten, wo keine weiteren Kontexte link und recht der eretzten Teilwörter tehen. Alo it 1 = r 1 v R l 1 v = w = ul 2 v R ur 2 v = 2 für u, v, v Σ mit v = λ oder v = λ. Für v = λ it ( 1, 2 ) ein kritiche Paar und damit gilt 1 R R 2. Sei alo v = λ. It l 1 > u, dann it ( 1, 2 ) wieder ein kritiche Paar, alo gilt 1 R R 2. It aber l 1 u, dann exitiert ein w Σ mit l 1 v = l 1 w l 2 = ul 2 ; alo it 1 = r 1 w l 2 und 2 = l 1 w r 2. Damit gilt 1 = r 1 w l 2 R r 1 w r 2 R l 1 w r 2 = 2. Beipiel 1. Da Worteretzungytem R = {ba ab, ca ac, cb bc} au Beipiel 1 hat da kritiche Paar (bca, cab), da au den Regeln cb bc und ba ab entteht, da cbv = uba mit v = a und u = c it. Da kritiche Paar it harmlo, da ich beide Terme nach jeweil zwei Schritten zu einem gemeinamen Nachfolger reduzieren laen. cba bca bac abc cab acb Außer dieem einen kritichen Paar gibt e nur noch olche, die dadurch enttehen, da man eine Regel mit ich elbt überlappt, o da u = v = λ it. Die o gebildeten kritichen Paare betehen au identichen Termen, wir wollen ie dehalb trivial nennen, da ie immer harmlo ind, für die Konfluenzanalye alo nicht berückichtigt zu werden brauchen. Beipiel 11. Da Worteretzungytem {, } au Beipiel 8 hat zwei nichttriviale kritiche Paare, die beide harmlo ind. Da Paar (, ) entteht au der zweiten und der erten Regel, da Paar (, ) au Überlappung der zweiten Regel mit ich elbt; man beachte, da hier dennoch ein nichttriviale kritiche Paar entteht! Beipiel 12. Da Worteretzungytem {aba bab} it zwar terminierend (warum?), nicht aber konfluent, denn da kritiche Paar (babba, abbab), enttanden au der Überlappung ababa, it nicht harmlo.

4 36 KAPITEL 4. KONFLUENZ VON WORT UND TERMERSETZUNG Korollar 4. Lokale Konfluenz, und damit auch Konfluenz, it für endliche und terminierende Worteretzungyteme entcheidbar. Bewei. Offenbar gibt e nur endliche viele kritiche Paare für ein endliche Sytem, die auch berechnet werden können. Für jede Paar ( 1, 2 ) berechnen wir beliebige Normalformen 1 von 1 und 2 von 2. Sind 1 und 2 jeweil identich, o ind alle kritichen Paare harmlo, da Sytem alo konfluent. It umgekehrt 1 2 für ein kritiche Paar ( 1, 2 ), dann it da Sytem auch nicht (lokal) konfluent. 4.2 Lokale Konfluenz von Termeretzung Wieder oll an einem Beipiel gezeigt werden, woran die lokale Konfluenz eine Termeretzungytem cheitern kann 1. x x (4.1) x (4.2) (x) y (x y) (4.3) x (y x) (x y) (x x) (4.4) Regeln an unabhängigen Stellen: Der Term (() ) ( ) wird mit Regel (1) an der Stelle 1 zu 1 = () ( ), mit Regel (2) an der Stelle 2 zu 2 = (()). Wird nun in 1 und 2 an der jeweil anderen Stelle die andere Regel angewendet, o erhält man in je einem Schritt den Term (). Die it möglich, da die beiden Stellen 1 und 2 unabhängig ind, alo keine ein Anfangtück der anderen it. 1 Da Beipiel it gerade o gewählt, da die Effekte, um die e hier geht, ichtbar werden. Obwohl die Regeln gültigen Gleichungen in der Arithmetik entprechen, ind ie al Spezifikation der Addition oder der Multiplikation ungeeignet; warum?

5 4.2. LOKALE KONFLUENZ VON TERMERSETZUNG 37 (1) (2) (2) (1) Nichtüberlappende Regeln an abhängigen Stellen: Wir reduzieren ( ) ( ( )) einmal an der Stelle λ mit Regel (4) zu 1 = (( ) )(( ) ( )), zum anderen an der Stelle 1.1 mit Regel (1) zu 2 = () ( ( )). Die benutzten Stellen ind zwar abhängig, die beteiligten linken Regeleiten überlappen ich im Augangterm jedoch nicht; in der Skizze haben die beiden unterlegten Bereiche keine Stelle gemeinam. Dehalb kann man einen gemeinamen Nachfolger von 1 und 2 dadurch erhalten, da man zunächt in 2 an der Stelle Regel (1) anwendet, damit anchließend an λ Regel (4) greift. Auf der anderen Seite it der gemeiname Nachfolger au 1 ableitbar, indem dreimal Regel (1) benutzt wird, nämlich an den Stellen 1.1.1, und Die it nötig geworden, da Regel (4) den Teilterm ( ) vervielfacht hat.

6 38 KAPITEL 4. KONFLUENZ VON WORT UND TERMERSETZUNG (1) (1) (4) (4) 3 (1) Überlappende Regeln: Auf z (() z) it owohl Regel (4) an der Stelle λ al auch Regel (3) an der Stelle 2 anwendbar. (Da entpricht einer Verzahnung in der Sprechweie au 4.1; man finde analoge Beipiele für Schachtelung!) Die enttehenden Terme 1 = (z ()) (z z) und 2 = z ( z) ind aber beide Normalformen, haben alo inbeondere keinen gemeinamen Nachfolger. Die Anwendung der einen Regel im Augangterm kann die anchließende Anwendbarkeit der anderen Regel zertören und umgekehrt, da beide Regeln auf da Symbol an der Stelle 2 zugreifen.

7 4.2. LOKALE KONFLUENZ VON TERMERSETZUNG 39 z z (3) (4) z z z z z Wieder pielen die Kontexte oberhalb von Überlappungen keine Rolle, ebeno Subtitutionen darunter. Ganz analog zur Worteretzung erhalten wir endlich viele kritiche Paare für ein endliche Termeretzungytem. Definition 6. Seien l 1 r 1 und l 2 r 2 variablendijunkte Varianten 2 von Regeln eine Termeretzungytem R. It p eine Stelle in l 1, o da l 1 p keine Variable it, und σ ein allgemeinter Unifikator 3 von l 1 p und l 2, dann it (r 1 σ, l 1 [r 2 ] p σ) ein kritiche Paar für R. Auch hier heißt ein kritiche Paar ( 1, 2 ) harmlo, fall 1 R R 2 gilt. Beipiel 13. Sei R da Sytem betehend au der Regel (x y) z x (y z), alo der Aoziativregel für da Operationymbol. Überlagerung der variablendijunkten Varianten der linken Regeleite (x 2 y 2 ) z 2 in (x 1 y 1 ) z 1 an der Stelle 1 ergibt ((x 2 y 2 ) z 2 ) z 1. Da enttehende kritiche Paar it dann ((x 2 y 2 ) (z 2 z 1 ), (x 2 (y 2 z 2 )) z 1 ). Beide Terme haben einen gemeinamen Nachfolger wegen und (x 2 y 2 ) (z 2 z 1 ) x 2 (y 2 (z 2 z 1 )) (x 2 (y 2 z 2 )) z 1 x 2 ((y 2 z 2 ) z 1 ) x 2 (y 2 (z 2 z 1 )), da Sytem it alo konfluent, da weitere nichttriviale kritiche Paare nicht exitieren. (Ein Bewei der Termination diee Sytem findet ich in Beipiel 24.) Triviale kritiche Paare ind für Termeretzung olche, die dadurch enttehen, da eine Regel mit ich elbt an p = λ überlappt; wieder ind triviale kritiche Paare immer harmlo. 2 Siehe Beipiel 13 und Abchnitt Siehe Abchnitt

8 4 KAPITEL 4. KONFLUENZ VON WORT UND TERMERSETZUNG An dieem Beipiel lät ich übrigen auch zeigen, warum wir zur Bildung eine kritichen Paare Varianten der Regeln ohne gemeiname Variablen benutzen müen. Andernfall wäre nämlich eine Überlappung von (x y) z in (x y) z an der Stelle 1 unmöglich, da die Terme x y und (x y) z nicht unifizierbar ind. E gibt tatächlich Beipiele, wo dann kein kritiche Paar entteht, obwohl da Sytem garnicht konfluent it. Beipiel 14. Wir wollen alle nichttrivialen kritichen Paare für da einleitende Beipiel angeben. x x (4.1) x (4.2) (x) y (x y) (4.3) x (y x) (x y) (x x) (4.4) Au (1) und (3) entteht da kritiche Paar ((x), (x )) wegen (x) (1) (x) (3) (x ). E it harmlo wegen (x) (1) (x ). Au (3) und (1) entteht da kritiche Paar ((x ), (x)), da wir au Symmetriegründen nicht betrachten müen. Solche Fälle werde ich dehalb in Zukunft weglaen. Au (1) und (4) entteht da kritiche Paar (( y) ( ), y) wegen ( y) ( ) (4) (y ) (1) y. E it harmlo wegen ( y) ( ) (2) ( y) (1) y. Au (3) und (4) entteht da kritiche Paar ((x(y))(xx), x(yx)) wegen (x (y)) (x x) (4) x ((y) x) (3) x (y x). E it nicht harmlo, beide Terme ind ogar Normalformen. Weitere nichttriviale kritiche Paare gibt e nicht. Da da Sytem terminiert (eine leichte Übung nach der Lektüre de Kapitel über Termination), ergibt ich damit, da da Sytem au den Regeln (1) bi (4) nicht konfluent it, icher jedoch die beiden Syteme mit den Regeln (1), (2) und (3) beziehungweie (1), (2) und (4). Wie im Fall der Worteretzung it die Harmloigkeit aller kritichen Paare äquivalent zur lokalen Konfluenz. Entprechend wird die Konfluenz von endlichen und terminierenden Sytemen entcheidbar, da alle kritichen Paare (bi auf Varianten) berechnet werden können. Ein detaillierter Bewei de folgenden Satze wird hier nicht angegeben, die notwendigen Ideen ind aber alle am einleitenden Beipiel demontriert worden. Satz 7. Ein Termeretzungytem it genau dann lokal konfluent, wenn alle eine kritichen Paare harmlo ind. Korollar 5. Lokale Konfluenz, und damit auch Konfluenz, it für endliche und terminierende Termeretzungyteme entcheidbar.

9 4.3. ANHANG: UNIFIKATION VON TERMEN Anhang: Unifikation von Termen Ein Unifikator zweier Terme it eine Subtitution, die diee Terme gleich macht. Die Frage nach Unifikatoren it alo die Frage nach Löungen von Gleichungen in der Termtruktur. Obwohl da Löen von Gleichungen in gegebenen Strukturen oft chwierig oder unmöglich it, hat man mit der Termtruktur Glück: Man kann alle Löungen eine Unifikationproblem einfach betimmen und auch repräentieren. Wenn überhaupt ein Unifikator exitiert, dann gibt e ogar einen allgemeinten, von dem alle anderen Unifikatoren Intanzen ind. Beipiel 15. In den folgenden Beipielen enthält die Menge X der Variablen immer x, y und z und die Signatur Σ da dreitellige Symbol h, da zweitellige Symbol f, da eintellige Symbol g und die Kontanten a und b. Die Terme f(x, a) und f(g(y), y) haben den Unifikator {x g(a), y a}, der auch (der einzige) allgemeinte Unifikator dieer Terme it. Die Terme f(b, a) und f(g(y), y) haben keinen Unifikator. Ebeno die Terme f(x, x) und f(g(y), y), da g(y) und y nicht unifizierbar ind. Allgemein ind und t nicht unifizierbar, fall t ein echter Teilterm von it, da dann jede Intanz σ tiefer it al die Intanz tσ Subtitutionen Hier ind einige Notationen und Eigenchaften geammelt, die für da Arbeiten mit Subtitutionen nützlich ind. Für eine Signatur Σ und eine (meit unendliche) Menge X von Variablen definiert jede 4 Funktion σ : X T Σ (X) über die homomorphe Fortetzung f(t 1,..., t n )σ = f(t 1 σ,..., t n σ) eindeutig eine Funktion σ : T Σ (X) T Σ (X). Notationell werden die beiden Funktionen meit nicht unterchieden, man pricht einfach von der Subtitution σ. Wendet man eine Subtitution auf einen Term an, o entteht eine Intanz de Term. Die Menge der Variablen, die σ nicht auf ich elbt abbildet, nennt man den Domain von σ und chreibt dom(σ) = {x X xσ x}. Beonder chöne Eigenchaften haben Subtitutionen mit endlichem Domain; dehalb werden hier nur olche Subtitutionen zugelaen. In dieem Fall laen ich Subtitutionen auch bequem notieren: Für dom(σ) = {x 1,..., x n } chreibt man oft σ = {x 1 x 1 σ,..., x n x n σ}. Die einzige Subtitution mit leerem Domain it die Identität X auf X; hier wird dafür auch verwendet 5, fall X au dem Zuammenhang hervorgeht. Die Variablen, die in Termen xσ mit x dom(σ) vorkommen 6, ind in der Menge var(σ) = x dom(σ) var(xσ) geammelt. It var(σ) leer, dann heißt σ 4 Für mehrortige Signaturen muß zudem die Sorte von x X und die Sorte von xσ übereintimmen. 5 Eine andere Schreibweie it Id X oder Id. 6 Für einen Term t bezeichnet var(t) die Menge der in t vorkommenden Variablen. Da kann induktiv durch var(x) = {x} für x X und var(f(t 1,..., t n)) = S 1 i n var(t i) für n-tellige Symbole f mit n definiert werden.

10 42 KAPITEL 4. KONFLUENZ VON WORT UND TERMERSETZUNG Grundubtitution. Entprechend nennen wir tσ eine Grundintanz von t, fall var(tσ) leer it. Die Kompoition σ ρ zweier Subtitutionen σ und ρ it definiert 7 durch t(σ ρ) = (tσ)ρ. Statt σ ρ chreibe ich meit nur σρ. Die Subtitution σρ heißt Intanz von σ in Analogie zur Intanz eine Term. Hier noch einige einfach zu beweiende Eigenchaften für Subtitutionen σ, ρ, τ und Terme t: (tσ)ρ = t(σρ) σ = σ = σ (σρ)τ = σ(ρτ) Inbeondere it damit da Weglaen der Klammern in tσρ und σρτ gerechtfertigt. Eine pezielle Rolle pielen Umbenennungen; da ind injektive Subtitutionen, die Variablen auf Variablen abbilden, alo Permutationen auf X. It π eine Umbenennung und gilt σπ = ρ, dann ind σ und ρ Varianten voneinander, gechrieben σ ρ. Analog definiert man auf Termen. Aufgabe: Warum it eine Äquivalenzrelation? Terme und auch Subtitutionen laen ich durch die Relation it Intanz von ordnen. Wir chreiben t, fall eine Intanz von t it, analog σ τ, fall σ Intanz von τ it. Augehend von t agt man auch t ubumiert oder t it allgemeiner al, analog für Subtitutionen. Die Relation it reflexiv und tranitiv, nicht jedoch antiymmetrich 8. Die Relation = it alo zwar nicht die Identität, garantiert aber eine Äquivalenrelation (warum?). E tellt ich ogar herau 9, da Terme oder Subtitutionen, die ich gegeneitig ubumieren, immer chon Varianten voneinander ind, da alo und übereintimmen 1. Unter allen Subtitutionen it wegen σ = σ da kleinte Element bezüglich. Nicht alle Subtitutionen ind aber mit vergleichbar, die Relation it alo nicht total. Beipiel 16. So ind offenichtlich {x a} und {x b} unvergleichbar. Ebeno ind aber auch {x y} und {x z} unvergleichbar, wa deutlich wird, wenn man die Subtitutionen auführlicher al σ = {x y, y y, z z} und τ = {x z, y y, z z} chreibt. Wäre etwa σ = τρ, dann wäre y = xσ = xτρ = zρ und auch z = zσ = zτρ = zρ, ein Widerpruch. Symmetrich gibt e kein ρ mit τ = σρ Unifikatoren Zwei Terme und t ind unifizierbar, fall e eine Subtitution σ mit σ = tσ gibt; dann heißt σ Unifikator von und t. It σ allgemeiner al jeder Unifikator von und t, dann heißt σ allgemeinter Unifikator von und t. 7 Bevorzugt man die Präfixnotation gegenüber der hier verwendeten Potfixnotation, o wird man die Kompoition mit ρ σ bezeichnen, damit die chöne Gleichung (ρ σ)(t) = ρ(σ(t)) gilt. 8 Denn für σ = {x y} und ρ = {y x} gilt owohl σ ρ al auch ρ σ, nicht aber σ = ρ. 9 Hier fehlende Beweie finden ich beipielweie in Hofbauer, Kutche: Grundlagen de machinellen Beweien, Vieweg 1989/1991, in Avenhau: Reduktionyteme, Springer 1995, oder in Baader, Nipkow: Term Rewriting and All That, Cambridge Univerity Pre Da wäre für Subtitutionen mit unendlichem Domain nicht immer wahr. Betrachte σ und für X = {x i i IN } mit x i σ = x i1. Hier it σ wegen σ = σ und σ wegen = σρ für die Subtitution ρ mit x i1 ρ = x i und x ρ = x, alo ingeamt σ. E gibt aber keine Permutation π mit σπ =. Warum?

11 4.3. ANHANG: UNIFIKATION VON TERMEN 43 Beipiel 17. Die Terme f(x, y) und f(y, x) haben unendlich viele Unifikatoren, unter anderen {x x, y x}, {x z, y z} und {x g(a), y g(a)}. Die allgemeinten Unifikatoren ind {x x, y x} und {x y, y y}, nicht jedoch {x z, y z}, da diee Subtitution nicht allgemeiner al die erten beiden it, analog zu Beipiel 16. Die Menge der Unifikatoren zweier unifizierbarer Terme kann unvergleichbare Subtitutionen enthalten; trotzdem it darunter immer ein allgemeinter Unifikator, der damit al Repräentation aller anderen Unifikatoren geeignet it. Im nächten Abchnitt wird ein Verfahren für da Berechnen olcher allgemeinter Unifikatoren vorgetellt. Übrigen ind allgemeinte Unifikatoren zweier Terme bi auf Variantenbildung eindeutig betimmt; ind nämlich σ und τ beide allgemeinte Unifikatoren zweier Terme, dann gilt owohl σ τ (denn τ it allgemeiner al σ), al auch τ σ (analog), ingeamt alo σ τ, und damit auch σ τ, wie oben angemerkt Ein Unifikationverfahren Da hier dargetellte Verfahren zur Unifikation von Termen arbeitet auf Gleichungmengen, die mittel geeigneter Regeln umgeformt werden. Um und t zu unifizieren, tarten wir mit der Gleichungmenge E = { t}. Durch fortgeetzte Regelanwenden bilden wir eine Normalform E von E, die die Löung de Unifikationproblem t bechreibt. Hat E die Getalt {x 1 t 1,..., x n t n } wobei die x i paarweie verchiedene Variablen ind, die in keinem der Terme t j vorkommen, dann it {x 1 t 1,..., x n t n } der gefundene allgemeinte Unifikator von und t; wie nennen E dann eine Löung. Kommt in E dagegen eine Gleichung der Getalt f(...) g(...) mit f g vor, dann ind und t nicht unifizierbar. Ebenowenig ind diee beiden Terme unifizierbar, fall E eine Gleichung x r[x] enthält wo die Variable x im Term r[x] al echter Teilterm 11 vorkommt. Wir verwenden vier Regeln zum Manipulieren der Gleichungmengen. 11 Der Teilterm t p heißt echter Teilterm von t, fall p λ it.

12 44 KAPITEL 4. KONFLUENZ VON WORT UND TERMERSETZUNG E {f( 1,..., n ) f(t 1,..., t n )} E { 1 t 1,..., n t n } E {x x} E E {t x} E {x t} fall t X. (Ordnen) E {x t} E{x t} {x t} fall x var(e) \ var(t). (Iolieren) (Spalten) (Löchen) (Dabei ei Eσ = {σ tσ t E}.) Entteht nun die Gleichungmenge E 2 au einer Gleichungmenge E 1 durch Anwenden einer dieer Regeln, dann hat E 2 die gleichen Unifikatoren 12 wie E 1. Da da Regelytem terminiert 13, repräentiert die Gleichungmenge in Normalform wie oben bechrieben alle Unifikatoren der Augangmenge, alo auch die allgemeinten Unifikatoren. Beipiel 18. Die folgende Ableitung betimmt einen allgemeinten Unifikator der Terme h(x, f(y, z), a) und h(f(b, z), x, z). { h(x, f(y, z), a) h(f(b, z), x, z) } { x f(b, z), f(y, z) x, a z} Spalten {x f(b, z), f(y, z) f(b, z), a z} Iolieren Spalten {x f(b, z), y b, z z, a z} Löchen {x f(b, z), y b, a z } {x f(b, z), y b, z a } Ordnen {x f(b, a), y b, z a} Iolieren Nun it keine Ableitungregel mehr anwendbar, {x f(b, a), y b, z a} it eine Löung. Der gefundene Unifikator it damit {x f(b, a), y b, z a}. 12 Ein Unifikator einer Gleichungmenge { 1 t 1,..., n t n} ei eine Subtitution σ mit i σ = t i σ für alle i mit 1 i n. 13 Eine nicht ganz einfache Übungaufgabe!