5. Zufallsvariablen und ihre Verteilung

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1 5. Zufallsvarialen und ihre Verteilung 5. Begriff der Zufallsvarialen Bisher haen wir Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Sie estehen aus einem oder mehreren Ergenissen eines Zufallsvorgangs, die nicht notwendig nummerisch zu sein rauchen. So sind z.b. eim Münzwurf die Ausgänge Kopf oder Zahl, während die Augenzahlen als Ergenisse ei einem Würfelwurf ereits nummerisch sind. Mit Hilfe einer durch eine Zufallsvariale definierten Funktionsvorschrift lassen sich alle Ergenisse eines Zufallsvorgangs quantifizieren. Durch die Funktionsvorschrift werden den Ausgängen eines Zufallsvorgangs reelle Zahlen zugeordnet. Eine Zufallsvariale ist also eine Funktion (Aildung), die den Ergenissen ω der Ergenismenge Ω reelle Zahlen zuordnet: : Ω R. Bei einem endlichen Stichproenraum Ω ist die Zuordnung durch n gegeen, sofern die Aildung umkehrar eindeutig ist. n

2 Aildung: Konzept der Zufallsvarialen ω ω ω n ω 3... ω 5 ω 4 ( )

3 Beispiel 5.: Zur Illustration greifen wir auf den einmaligen Würfelwurf zurück. Bei einem Glücksspiel gewinnt ein Spieler das Fünffache der gewürfelten ungeraden und verliert das Vierfache der geraden Augenzahl in Euro. Wie ist dann die Zufallsvariale Gewinn definiert? Wird eine gewürfelt, dann gewinnt man 5 = 5. Bei der Augenzahl " eträgt der Verlust 4 = 8. Die Zufallsvariale ordnet jeder Augenzahl einen estimmten Gewinn zu: Grafisch ist die Zuordnung des Gewinns zu den Augenzahlen des Würfels in der nachstehenden Aildung wiedergegeen: :

4 ω 4 =4 ω = ω 5 =5 ω 6 =6 ω = ω 3 =

5 Beispiel 5.: Bei einer Qualitätskontrolle werden drei Teile aus einem Produktionsprozess entnommen. Daei wird festgehalten, o das Teil defekt ist (D) oder nicht ( ). Die Ergenismenge ist hier durch gegeen. Gefragt ist nach der Anzahl der defekten Teile in der Stichproe. Damit ist zugleich die Zufallsvariale inhaltlich festgelegt. Formal ist die Zufallsvariale durch DDD, DDD, DDD, DDD, DDD, DDD, DDD, DDD DDD DDD, 3 DDD, 4 DDD DDD, 6 DDD, 7 DDD DDD 8 D definiert.

6 Diskrete und stetige Zufallsvarialen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvarialen kann im Prinzip aus den Wahrscheinlichkeiten der aus einem Zufallsvorgang hervorgehenden Elementarereignisse gewonnen werden. Häufig lässt sich jedoch die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvarialen direkt ohne diesen Rückgriff auf die zugrunde liegende Ergenismenge angegeen werden. In jedem Fall ist die Unterscheidung zwischen diskreten und stetigen Zufallsvarialen ei dem Areiten mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen relevant. Die Wahrscheinlichkeiten stetige Zufallsvarialen werden nämlich vollständig anders erechnet als diskrete Zufallsvarialen. Während man Wahrscheinlichkeiten da, dass die Zufallsvariale Werte annimmt, die in einem estimmten Intervall liegen im diskreten Fall durch Summation erhält, ergeen sie sich im stetigen Fall durch Integration. Zufallsvarialen können diskret und stetig sein. Werteereich diskreter Zufallsvarialen: endlich oder azählar unendlich Werteereich stetiger Zufallsvarialen: üerazählar

7 Aildung: Diskrete und stetige Zufallsvariale Ausprägungen von endlich: Ausprägungen azählar; Oergrenze angear azählar unendlich: Ausprägungen azählar; Oergrenze nicht festlegar unendlich üerazählar unendlich: Ausprägungen lassen sich nicht azählen diskrete Zufallsvariale stetige Zufallsvariale

8 Beispiel 5.3: Diskrete Zufallsvarialen - Die Zufallsvariale ezeichnet die Augenzahl eim einmaligen Würfelwurf. Der Werteereich der Zufallsvarialen ist endlich, da nur die Werte =, =,, 6 = 6 annehmen kann. ist deshal eine diskrete Zufallsvariale. - Die Anzahl der Personen in einem Kaufhaus wird durch die Zufallsvariale wiedergegeen. hat azählar unendlich viele Ausprägungen, wenn keine Oergrenze angegeen werden kann. Die Zufallsvariale ist daher diskret. - ezeichnet die Anzahl der Werkstücke, die eine Qualitätsnorm nicht erfüllen. Sofern die Produktion in einem vorgegeenen Zeitraum etrachtet wird, hat die Zufallsvariale endlich viele Ausprägungen, deren Oergrenze sich aus der Produktionsplanung ergit. Auch hier liegt eine diskrete Zufallsvariale vor. Beispiel 5.4: Stetige Zufallsvarialen - ist die Wartezeit vor einem Postschalter. Die Zufallsvariale hat üerazählar viele Ausprägungen, die im Intervall [0,T] liegen, woei T die Öffnungsdauer des Schalters ist. Die Zufallsvariale ist folglich stetig. - Die Zufallsvariale ezeichnet die Dauer von Telefongesprächen. Da üerazählar viele Ausprägungen hat, liegt eine stetige Zufallsvariale vor.

9 Aildung: Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zufallsvariale diskret: azählar viele Ausprägungen stetig: üerazählar viele Ausprägungen Wahrscheinlichkeitsfunktion: Wahrscheinlichkeit einen -Wert Verteilungsfunktion: Wahrscheinlichkeit, die sich is zu einem -Wert aufsummiert hat Dichtefunktion: Wahrscheinlichkeit ein Intervall als Fläche unterhal der Dichtefunktion Verteilungsfunktion: Wahrscheinlichkeit als Fläche, die sich is zu einem -Wert aufsummiert hat

10 5. Wahrscheinlichkeitsfunktion Ordnet man den Ausprägungen j einer diskreten Zufallsvarialen Wahrscheinlichkeiten p j zu, dann erhält man eine Wahrscheinlichkeitsfunktion f(). P( = j ) ist die Wahrscheinlichkeit da, dass die Zufallsvariale den Wert j annimmt. Für die Wahrscheinlichkeit P( = j ) verwenden wir meistens die Kurzschreiweise p j. Des esseren Verständnisses wegen gehen wir ei der Erörterung der Wahrscheinlichkeitsfunktion von einer endlichen Zufallsvarialen mit m Ausprägungen,,, m aus. Die Verallgemeinerung auf unendlich viele Ausprägungen,, greifen wir ei den speziellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Kapiel 6 auf. Aildung: Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsfunktion Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsfunktion Funktionsvorschrift Taellarisch Grafisch

11 Formale Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion (5.) f p p p 0 mit < < < m. m sonst m Die Wahrscheinlichkeitsfunktion git die Wahrscheinlichkeiten die einzelnen Werte der Zufallsvarialen an. Sie wird mit f() ezeichnet. Eigenschaften: (5.) p f 0 j j (5.3) m j f m p j j j

12 Taellarische Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion j f() f( ) = p f( ) = p m f( m ) = p m Grafische Darstellung einer Wahrscheinlichkeitsfunktion f () Stadiagramm p p 3 p 3

13 Beispiel 5.5: Betrachtet wird ein Produktionsprozess, ei dem zwei Teile entnommen werden. Jedes Teil kann defekt (D) oder nicht defekt ( ) sein. Wir nehmen an, dass die Wahrscheinlichkeit da, ein defektes Teil zu entnehmen, gleich p ist: p P(D) = p, und damit P D -. Der Ergenisraum des Zufallsvorgangs enthält als Elemente alle möglichen Stichproen vom Umfang n=: {(D,D),(D,D),(D,D),(D,D)} Daei ist z.b. (D,D) das Ergenis, daß eide Teile defekt sind. Die Zufallsvariale ezeichne die Anzahl der defekten Teile in der Stichproe, so dass die Ausprägungen 0, und hat. Wir nehmen an, dass eide Entnahmen unahängig voneinander erfolgen. Daher kann der Multiplikationssatz stochastisch unahängige Ereignisse angewendet werden. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Teil defekt ist (=0), f(0) = P(=0) = (-p)(-p) = (-p). Die Wahrscheinlichkeit, dass eide Teile defekt sind (=), ist gleich f() = P(=) = p p = p. D

14 Die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Teil defekt ist (=), ergit sich, wenn das. Teil defekt ist und das. Teil nicht defekt (D, ) oder das. Teil nicht defekt und das. Teil defekt (, D). D Da sich eide Versuchsausgänge gegenseitig ausschließen, lassen sich die Wahrscheinlichkeiten eide Realisationen addieren: f() = P(=) = P(D, D) + P( D,D) = p(-p) + (-p)p = p(-p). Formal ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvarialen durch f p p p p 0 0 sonst gegeen. Sie sei p=0, taellarisch und grafisch dargestellt: D Taellarische Darstellung = 0 f() 0,8 0,8 0,0 Grafische Darstellung f () 0,8 0,8 0,6 0,4 0,8 0, 0,0 0 0

15 5.3 Dichtefunktion Das Äquivalent zur Wahrscheinlichkeitsfunktion ei diskreten Zufallsvarialen heißt ei stetigen Zufallsvarialen Dichtefunktion. Erinnern wir uns nun an das Stadiagramm, das im diskreten Fall die Wahrscheinlichkeitsfunktion grafisch darstellt. Wenn eine Zufallsvariale üerazählar viele Werte annehmen kann, dann grenzen die Stäe elieig dicht aneinander an, d.h. der Astand zwischen den Stäen ist gleich 0. Wenn wir die oeren Punkte der üerazählar vielen Stäe miteinander verinden, dann erhalten wir eine stetige Kurve, die die Dichtefunktion f() der Zufallsvarialen wiedergit. Aildung: Dichtefunktion f

16 Eigenschaften: (5.4) (5.5) f 0 f d alle Intervallwahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariale in das Intervall (a < < ) fällt, ist die Fläche unterhal der Dichtefunktion, die in diesem Intervall liegt: f (5.6) P a f Da Punktwahrscheinlichkeiten 0 sind, P(=a)=0, ist es unerhelich, o die eiden Grenzen a und in das Intervall einezogen werden oder nicht: P a d a Pa Pa Pa a P a

17 Wahrscheinlichkeit kleiner als (5.7) d f P P Wahrscheinlichkeit größer als d f P d f P P (5.8) Aildung: Komplementärwahrscheinlichkeit f P P P

18 Wichtige Regeln der Integralrechnung Regel Funktion f() Stammfunktion F() Potenzregel Spezialfall: n = - n, n- - n n ln e-funktion e -a (-/a) e -a Faktorregel a g() a g() d Spezialfall: g() = a a Summenregel [f () g()] d f () d g() d Partielle Integration u() v'() d u() v() u'() v() d

19 Beispiel 5.6: Gegeen ist die Funktion 0 0 f ( ) 0 0 Besitzt die Funktion f() die Eigenschaften einer Dichtefunktion? Aildung: Graph der Funktion f() f() / - 0 4

20 Die Funktion f() esitzt die Eigenschaften einer Dichtefunktion, wenn sie die Bedingungen (5.4) und (5.5) erfüllt. f 0. alle Außerhal des Intervalls (0, ] ist die Funktion f() gleich 0. Im Intervall (0, ] nimmt f() stets positive Werte an, da die -Werte aus diesem Intervall größer als 0 sind und mit einem positiven Faktor multipliziert werden. Die Funktion f() erfüllt damit die Nichtnegativitätsedingung (5.4)., f d Zu prüfen ist, o die Fläche unterhal der Dichtefunktion gleich ist: P( ) f () d d Da die Funktion f() die Bedingungen (5.4) und (5.5) erfüllt, kann sie als Dichtefunktion zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten verwendet werden.

21 Beispiel 5.7: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvarialen ist durch die in Beispiel 5.6 üerprüfte Dichefunktion 0 0 f ( ) 0 0 gegeen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariale Werte zwischen 0,5 und,5 annimmt? Um diese Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, hat man die Fläche unter der Dichtefunktion im intervall [0,5;,5] zu ermitteln: P 0,5,5,5 0,5,5 d,5 4 0,5 4 0,5. 4 0,5 4,5 0,5 4,5 0,5,5 0,5

22 Die Identität der erechneten Wahrscheinlichkeit mit der Fläche unter der Dichtefunktion im Bereich zwischen 0,5 und,5 auf der -Achse geht aus der folgenden Grafik hervor. f() 0,5 / - 0 4

23 ) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit da, dass kleiner als,5 ist? Für die Berechnung wenden wir Formel (5.7) an. Für < 0 ist die Dichtefunktion alle Funktionswerte f() null. Die untere Integrationsgrenze ildet deshal die 0. Berechnung Grafische Darstellung f() P,5,5 d 0 4, ,563,5 0,5 4 / 0,563 0