Übungen: Tangenten an ganzrationale Funktionen Lösungen und Lösungshinweise

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1 Übungen: Tangenten an ganzrationale Funktionen Lösungen und Lösungshinweise Aufgabe 1: Bestimme jeweils die 1. Ableitung der Funktionen. a) f(x) = (2 + x)(x² + 1) / Ausmultiplizieren = 2x² x³ + x / Umsortieren (nicht notwendig) = x³ + 2x² + x + 2 f '(x) = 3x² + 4x + 1 b) f(x) = (0,5x 1)(3x³ 1) / Ausmultiplizieren = 1,5x 4 0,5x 3x³ + 1 / Umsortieren (nicht notwendig) = 1,5x 4 3x³ 0,5x + 1 f '(x) = 6x³ 9x² 0,5 c) f(x) = (x² + 4)² / mit binomischer Formel auflösen = x 4 + 8x² + 16 f '(x) = 4x³ + 16x d) f(x) = a(x² + 2x)² + b(x² 2x)² / binomische Formel auflösen Klammer nicht vergessen = a(x 4 + 4x³ + 4x²) + b(x 4 4x³ + 4x²) / Klammer auflösen = ax 4 + 4ax³ + 4ax² + bx 4 4bx³ + 4bx² / (weiteres Zusammenfassen ist nicht möglich) f '(x) = 4ax³ + 12ax² + 8ax + 4bx³ 12bx² + 8bx e) f(t) = (t 1)(t + 1) / 3. Binomische Formel = t² 1 f '(t) = 2t / Beachte, dass hier nicht nach x abgeleitet wird f) f(a) = (a 4 4):(a 2-2) / Dividend lässt sich mit der 3. Bin. F. Auflösen = (a² 2)(a² +2) a² 2 / a² 2 kann gekürzt werden = a² + 2 f '(a) = 2a / Beachte, dass hier nicht nach x abgeleitet wird Aufgabe 2: Ermittle die Gleichungen der Tangenten und Normalen im Punkt P. a) f(x) = x x³ P(1 f(1)) 1. Berechne die y-koordinate des Punktes P(1 0) 2. Bilde die Ableitung der geg. Funktion f '(x) = 1-3x² (Die Ableitung gibt den Anstieg der gesuchten Tangente an) 3. Ermittle den Anstieg der gesuchten Tangente m = f '(1) = 1 3*1² = -2 Die Tangente hat damit den Anstieg m = Zur Bestimmung der Tangente setze die 0 = -2*1 + n Koordinaten von P und den Anstieg m in die allgemeine Gleichung y = mx + n ein 5. Berechne n n = 2 6. Gib die gesuchte Tangentengleichung an: y = -2x Berechne den Anstieg der Normalen

2 (also der Geraden die senkrecht zur Tangente m n = 1 m t und durch den Punkt P verläuft) m n = 1 2 = Zur Bestimmung der Normalen setze die Koordinaten von P und den Anstieg m n in die 0 = 0,5 * 1 + n allgemeine Gleichung ein y = mx + n ein 9. Berechne n n = -0,5 10. Gib die Gleichung der Normalen an: y = 0,5x 0,5 b) Die Schrittfolge ist die gleiche wie bei a). Daher gebe ich diese hier nicht noch einmal mit an. f(x) = 2-1 x + x³ P(-2 f(-2)) 2 1. P(- 2-5) 2. f '(x) = -0,5 + 3x² 3. m = f '(-2) = 11, = 11,5 * (-2) + n 5. n = Tangente t: y = 11,5x m n = 1 11,5 = = 2 23 ( 2)+n 9. n = Normale n: y = 2 23 x c) f(x) = (2x 1)(1 + 0,5x²) P(0 f(0)) Multipliziere die gegeben Funktion zunächst aus. f(x) = 2x + x³ 1 0,5x² = x³ 0,5x² + 2x 1 1. P(0-1) 2. f '(x) = 3x² x m = f '(0) = = 0 * 2 + n 5. n = Tangente t: y = 2x 1 7. m n = 1 2 = = -0,5 * 0 + n 9. n = Normale n: y = -0,5x 1 Aufgabe 3: Berechne die Anstiege der Funktionen in den Schnittpunkten mit der x- bzw. y-achse. (Eine Angabe der Tangentengleichungen ist nicht gefordert.) Allgemeines Vorgehen: 1. Bestimme die Ableitung der gegebenen Funktion 2. Bestimme die Schnittpunkte mit der x-achse 3. Bestimme die Schnittpunkte mit der y-achse 4. Bestimme die Anstiege der Tangenten

3 a) f(x) = 4x x³ 1. f '(x) = 4 3x² 2. S y (0 0) (weil: f(0) = 4*0 0³ = 0) 3. Berechnung der Nullstellen. Beachte: Ein Produkt wird immer dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. 4x x³ = x(4 x²) = 0 x 1 = 0 4 x² = 0 x 2 = 2 ; x 3 = -2 Angeben der zu betrachtenden Punkte (hier S y = S x1) S 1 (0 0) S 2 (2 0) S 3 (-2 0) 4. m 1 = f '(0) = 4 3*0² = 4 m 2 = f '(2) = 4 3*2² = -8 m 3 = f '(-2) = 4 3*(-2)² = -8 b) f(x) = x 4 5x² f '(x) = 4x³ - 10x 2. S y (0 4) 3. Bestimmen der Nullstellen x 4 5x² + 4 = 0 Substitution: x² = a a² 5a + 4 = 0 a 1/2 = 2,5± 2,5 2 4 a 1 = 1 a 2 = 4 Rücksubstitution x 1 = 1 x 2 = -1 x 3 = 2 x 4 = -2 S 1(1 0) S 2(-1 0) S 3(2 0) S 4(-2 0) 4. m y = f '(0) = 4*0³ 10*0 = 0 m 1 = f '(1) = 4*1³ 10*1 = -6 m 2 = f '(-1) = 4*(-1)³ 10*(-1) = 6 m 3 = f '(2) = 4*2³ 10*2 = 12 m 4 = f '(-2) = 4*(-2)³ 10*(-2) = -12 c) f(x) = 3x² x 4 1. f '(x) = 6x - 4x³ 2. S y (0 0) 3. Nullstellen: Beachte: Ein Produkt wird immer dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. 3x² x 4 = x² (3 - x²) x 1 = 0 3 x² = 0 x 2 = 3 x 3 = 3 Punkte: S 1 (0 0) S 2( 3 0) S 3( 3 0) 4. m 1 = f '(0) = 0 m 2 = f '( 3 ) = -6 3 m 3 = f '( 3 ) = 6 3

4 d) f(x) = (x 2)(x + 3)(x² 1) = (x² + 3x 2x 6)(x² 1) = (x² + x 6)(x² 1) = x 4 x² + x³ x 6x² + 6 = x 4 + x³ 7x² x f '(x) = 4x³ + 3x² 14x 1 2. S y(0-1) 3. Nullstellen lassen sich hier am leichtesten aus der Ausgangsfunktion bestimmen (x 2)(x + 3)(x² 1) = 0 x 2 = 0 x + 3 = 0 x² 1 = (x + 1)(x - 1) x 1 = 2 x 2 = -3 x 3 = -1; x 4 = 1 4. m y = f '(0) = 4*0³ + 3*0² 14*0 1 = -1 m 1 = f '(2) = 4*2³ + 3*2² 14*2 1 = 15 m 2 = f '(-3) = 4*(-3)³ + 3*(-3)² 14*(-3) 1 = -40 m 3 = f '(-1) = 4*(-1)³ + 3*(-1)² 14*(-1) 1 = 12 m 4 = f '(1) = 4*1³ + 3*1² 14*1 1 = -7 Aufgabe 4: An welchen Stellen x 0 haben die nachfolgenden Funktionen den jeweils gegebenen Anstieg. Berechne den jeweiligen Berührungspunkt. Hier ist der Anstieg an der gesuchten Stelle mit m vorgegeben. Berechnet werden muss zunächst x 0. a) f(x) = x² + 2x 1 m = 0,5 f '(x) = 2x + 2 2x + 2 = 0,5 x 0 = -0,75 Die Berechnung des Berührungspunktes ist dann einfach, indem x 0 in die gegebene Funktion eingesetzt wird und damit dann die zugehörige y-koordinate berechnet wird. y = -0,75² + 2*(-0,75) 1 y = -1,9375 B(-0,75-1,9375) b) f(x) = x³ 2x² + 4x 1 m= -1 f '(x) = 3x² 4x + 4 3x² 4x + 4 = -1 Lösung mit TR ergibt keine Lösung, somit gibt es an dieser Funktion keine Stelle die den Anstieg m = -1 hat. c) f(x) = (x + 1)(2x + 3) m = 0 = 2x² + 3x + 2x + 3 = 2x² + 5x + 3 f '(x) = 4x + 5 4x + 5 = 0 x 0 = -1,25 f(-1,25) = (-1,25 + 1)(-1,25*2 + 3) = -0,25*0,5 = -0,125 B(-1,25-0,125)

5 d) f(x) = x 5 + 4x³ m = 2 f '(x) = 5x x² 5x x² = 2-2 :5 x 4 + 2,4x² 0,4 = 0 Substitution a = x² a² + 2,4a 0,4 = 0 a 1 = 0,15647 a 2 = -2,5564 (entfällt) x 1 = 0,396 x 2 = -0,396 f(0,396) = 0,258 f(-0,396) = -0,258 B 1(0,396 0,258) B 2(-0,396-0,258) 5. Für welches t hat die Funktion in den Schnittpunkten mit der x-achse Tangenten die orthogonal (senkrecht) zueinander verlaufen. Gib die Gleichungen der Tangenten an. a) f(x) = t(x² 5x + 4) (t > 0) 1. Berechnung der Schnittpunkte mit der x-achse t(x² 5x + 4) = 0 x² 5x + 4 = 0 x 1 = 4 x 2 = 1 S x1 (4 0) S x2 (1 0) 2. Bestimmen der Ableitung um die Anstiege an den Stellen x 1 und x 2 zu berechnen f '(x) = 2tx - 5t 3. Berechnen der Anstiege in x 1 und x 2 in Abhängigkeit von t f '(4) = 2t*4 5t = 3t f '(1) = 2t*1 5t = -3t 4. Diese Tangenten sollen senkrecht aufeinander stehen, daher muss gelten m n = 1 m t 3t= 1 3t 9t² = 1 t 1 = 1 3 t 2 = 1 3 (entfällt lt. Bedingung t > 0) 5. Bestimmen der Gleichungen der Tangenten in S x1 und S x2 S x1 (4 0) S x2 (1 0) m = 1 m = -1 (vgl. 3.) 0 = 1*4 + n 0 = -1*1 + n n = -4 n = 1 y = x 4 y = -x + 1 b) f(x) = x² 4tx + 3t² (t > 0) (Ablauf entsprechend a)) 1. x² 4tx + 3t² = 0 x 1/ 2 =2t± 4t² 3t² x 1/ 2 =2t±t x 1 = 3t x 2 = t S x1 (3t 0) S x2 (t 0)

6 2. f '(x) = 2x 4t 3. f '(3t) = 2t f '(t) = -2t 4. 2t= 1 2t t = 0,5 5. S x1 (3t 0) S x2 (t 0) S x1 (1,5 0) S x2 (0,5 0) m = 2t = 1 m = -2t = -1 0 = 1*1,5 + n 0 = -1*0,5 + n n = -1,5 n = 0,5 y = x 1,5 y = -x + 0,5 Aufgabe 6. a) Die maximale Höhe entspricht dem Scheitelpunkt der gegebenen Funktion: S(3 10) Aus der y-koordinate y=10 und der Angaben "y-achse: 1 LE entspricht 5 m" ergibt sich die maximale Höhe h = 10*5m = 50m Die Auftreffstelle entspricht der zweiten Nullstelle der gegebenen Funktion. 2 2 y f(x) x 4x; 3 x R x 1 = 0 (Abschussstelle lt. Aufgabentext) x 2 = 6 (Auftreffstelle) Dies entspricht hier gleichzeitig der Entfernung in Metern. e = 6m Gradmaß des Auftreffwinkels: Hierzu wird der Anstieg der Tangente im Auftreffpunkt benötigt: f '(x) = 4 3 x+4 f '(6) = -4 Der Auftreffwinkel entspricht dem Schnittwinkel der Tangente mit der x-achse. Es gilt m = tan a a = 76 Darstellung

7 b) Schnittpunkte S 1 und S 2 (beachte: auf Hundertstel genau und x 1 < x 2) 2 x² +4x=0,5 x+1 3 Lösung mit TR ergibt: x 1 = 0,30 x 2 = 4,95 und damit: S 1(0,30 2,50) S 2(4,95 3,48) Länge der Bahn: P1 ist der Schnittpunkt mit der x-achse von g(x) 0,5x + 1 = 0 x = -2 P1(-2 0) P(8 g(8)) P(8 5) Bei der Berechnung der Länge der Bahn ist die Skalierung der y-achse (1 LE entspricht 5m) zu beachten: Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lässt sich somit die Länge der Bahn berechnen. x = 10m y = 5*5m = 25m l = 26,9m Bahnkurve der Funken S 2(4,95 3,48) f '(x) = 4 3 x+4 f '(4,95) = -2,60 3,48 = -2,60*4,95 + n n = 16,35 y = -2,60x + 16,35