2 Ereignisse. Für Ereignisse A und B kann durch Bildung des Durchschnitts (engl.: intersection) A B := {ω Ω : ω A oder ω B}

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Hannelore Kappel
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1 5 2 Ereignisse ei einem stochastischen Vorgang interessiert oft nur, ob dessen Ergebnis zu einer gewissen Menge von Ergebnissen gehört. So kommt es zu eginn des Spiels Mensch-ärgere- Dich-nicht! nicht auf die genaue ugenzahl an, sondern nur darauf, ob eine Sechs geworfen wird oder nicht. ei Spielen mit zwei Würfeln mag es in einer bestimmten Situation nur wichtig sein, ob die gewürfelte ugensumme größer als 8 ist. Offenbar führen diese Überlegungen in natürlicher Weise dazu, Teilmengen aus der Menge aller möglichen Ergebnisse zu betrachten. Ist Ω ein Grundraum, so heißt jede Teilmenge von Ω ein Ereignis (engl.: event). Für Ereignisse verwenden wir große lateinische uchstaben aus dem vorderen Teil des lphabetes, also, 1, 2,...,, 1, 2,..., C, C 1, C 2,... Da Ω als Ergebnismenge eines Zufallsexperiments angesehen wird, ist jedes Element ω der Menge Ω potenzieller usgang dieses Experiments. Ist ein Ereignis, so besagt die Sprechweise das Ereignis tritt ein, dass das Ergebnis des Zufallsexperiments zur Teilmenge von Ω gehört. Durch diese Sprechweise identifizieren wir die Menge als mathematisches Objekt mit dem anschaulichen Ereignis, dass ein Element aus als usgang des Zufallsexperiments realisiert wird. Extreme Fälle sind hierbei das sichere Ereignis = Ω und die leere Menge = = { } als unmögliches Ereignis. Jede einelementige Teilmenge {ω} von Ω heißt Elementarereignis (engl.: elementary event). Für Ereignisse und kann durch ildung des Durchschnitts (engl.: intersection) := {ω Ω : ω und ω } (siehe ild 2.1) ein neues Ereignis konstruiert werden. Da ein usgang des Experiments dann und nur dann zu gehört, wenn er sowohl zu als auch zu gehört, tritt das Ereignis genau dann ein, wenn jedes der Ereignisse und eintritt. Die mengentheoretische Vereinigung (engl.: union) := {ω Ω : ω oder ω } von und (ild 2.2) steht für das Ereignis, dass mindestens eines der Ereignisse oder eintritt. In direkter Verallgemeinerung hierzu beschreiben 1... n das Ereignis, dass jedes der Ereignisse 1,..., n eintritt und 1... n das Ereignis, dass mindestens eines der Ereignisse 1,..., n eintritt. Springer Fachmedien Wiesbaden 2017 N. Henze, Stochastik für Einsteiger, DOI / _2

2 6 2 Ereignisse Wir sehen also, dass der Umgang mit mengentheoretischen Operationen ein wichtiges Handwerkszeug der Stochastik bildet. Deshalb sollen kurz die grundlegenden ezeichnungen und Regeln der Mengenlehre zusammengestellt werden. Gehört jedes Element einer Menge auch zur Menge, so heißt eine Teilmenge (engl.: subset) von, und wir schreiben hierfür kurz (ild 2.3). Zwei Mengen und sind demnach gleich, falls sowohl als auch gelten. Die Teilmengenbeziehung bedeutet, dass das Eintreten des Ereignisses das Eintreten des Ereignisses nach sich zieht: us folgt. Die Menge \ := {ω Ω : ω und ω / } (lies: minus oder vermindert um ) beschreibt das Ereignis, dass, aber nicht eintritt (ild 2.4). Im Spezialfall = Ω schreiben wir c := Ω\ und nennen c das Gegenereignis zu oder Komplement von (engl.: complementary event, ild 2.5). Offenbar tritt das Ereignis c genau dann ein, wenn nicht eintritt. Man beachte auch, dass die Mengen \ und c gleich sind. Ereignisse und heißen unvereinbar oder disjunkt (engl.: disjoint), falls ihr Durchschnitt die leere Menge ist, also = = { } gilt (ild 2.6). Da die leere Menge kein Element enthält, können unvereinbare Ereignisse nie zugleich eintreten. llgemeiner heißen n Ereignisse 1, 2,..., n unvereinbar, wenn je zwei von ihnen unvereinbar sind, wenn also i j = für jede Wahl von i und j mit 1 i,j n und i j gilt. Wie wir später sehen werden, stellen unvereinbare Ereignisse eine besonders angenehme Situation im Hinblick auf die erechnung von Wahrscheinlichkeiten dar. Um diesen Fall auch in der Notation zu betonen, schreiben wir die Vereinigung disjunkter Ereignisse mit dem Summenzeichen, d.h., wir setzen bzw. + :=, falls = n j = n := j=1 n j = n j=1 für disjunkte Ereignisse 1,..., n und vereinbaren, dass diese Summenschreibweise ausschließlich für den Fall disjunkter Ereignisse gelten soll. ls Illustration diene der zweifache Würfelwurf mit der Ergebnismenge Ω := {(i,j) : i,j {1,2,3,4,5,6}}, wobei i die ugenzahl des ersten und j die ugenzahl des zweiten Wurfs angibt. Den anschaulich beschriebenen Ereignissen

3 7 ild 2.1 ild 2.2 \ ild 2.3 ild 2.4 \ c ild 2.5 c ild 2.6 = der erste Wurf ergibt eine Fünf, die ugensumme aus beiden Würfen ist höchstens fünf, der zweite Wurf ergibt eine höhere ugenzahl als der erste Wurf entsprechen die formalen Ereignisse := {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} = {(5,j) : 1 j 6 }, := {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)} = {(i,j) Ω : i+j 5}, C := {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)} = {(i,j) Ω : i < j}.

4 8 2 Ereignisse Es gelten =, \C = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1)} und C = {(5,6)}. Die Gegenereignisse c, c und C c entsprechen den anschaulichen Ereignissen der erste Wurf ergibt keine Fünf, die ugensumme aus beiden Würfen ist größer als fünf, der zweite Wurf ergibt keine höhere ugenzahl als der erste Wurf. Zum bschluss dieses usflugs in die Mengenlehre sei daran erinnert, dass für mengentheoretische Verknüpfungen grundlegende Regeln wie zum eispiel =, = ( ) C = ( C), ( ) C = ( C) ( C) = ( ) ( C) Kommutativgesetze ssoziativgesetze Distributivgesetz ( ) c = c c, ( ) c = c c Formeln von De Morgan 1 gelten. Da uns insbesondere die erste Formel von De Morgan des Öfteren begegnen wird, formulieren wir sie noch einmal in der Form ( n ) c = c 1 c 2... c n (2.1) für den allgemeinen Fall von n Ereignissen. Die verbale Version hierzu lautet: Es tritt genau dann nicht mindestens eines der Ereignisse 1, 2,..., n ein, wenn keines dieser Ereignisse, d.h. weder 1 noch 2... noch n, eintritt. Übungsaufgaben Übung 2.1 Es seien,, C Ereignisse in einem GrundraumΩ. Geben Sie die folgenden Ereignisse in Mengenschreibweise an: a) Es tritt, aber weder noch C ein, b) Es treten genau zwei der drei Ereignisse ein, c) Es tritt höchstens eines der drei Ereignisse ein. Übung 2.2 Es seien Ω ein Grundraum und 1,..., n Ereignisse. eschreiben Sie die folgenden Ereignisse mengentheoretisch: a) Keines der Ereignisse 1,..., n tritt ein, b) Genau eines der Ereignisse 1,..., n tritt ein, c) Genau n 1 der Ereignisse 1,..., n treten ein. Übung 2.3 Zeigen Sie: Für Ereignisse, Ω gilt = (\)+( \)+. 1 ugustus De Morgan ( ), und Professor am University College in London, 1866 Mitbegründer und erster Präsident der London Mathematical Society. De Morgan schrieb rbeiten zu fast allen Teilgebieten der Mathematik, auch zur Wahrscheinlichkeitstheorie prägte er den egriff der Mathematischen Induktion. Hauptarbeitsgebiete: Mathematische Logik und Geschichte der Mathematik.

5 9 Übung 2.4 eschreiben Sie das Ereignis \C im eispiel des zweimal hintereinander ausgeführten Würfelwurfs verbal. Übung 2.5 Eine 1e-Münze wird dreimal geworfen. Es sei das Ereignis, dass mindestens zweimal hintereinander Zahl erscheint, und das Ereignis, dass alle Würfe das gleiche Ergebnis liefern. estimmen Sie: a), b), c) \, d) ( ) c. Übung 2.6 In einem Stromkreis befinden sich vier nummerierte auteile, die jedes für sich innerhalb eines gewissen Zeitraums intakt bleiben oder ausfallen können. Im letzteren Fall ist der Stromfluss durch das betreffende auteil unterbrochen. Es bezeichnen j das Ereignis, dass das j-te auteil intakt bleibt (j = 1,2,3,4), und das Ereignis, dass der Stromfluss nicht unterbrochen ist. Drücken Sie für jedes der Schaltbilder a) - d) das Ereignis durch 1, 2, 3, 4 aus. a) b) c) d) ild 2.7 Schaltbilder zu Stromkreisen Übung 2.7 In der Situation von Übung 1.4 sei die nlage arbeitsfähig (Ereignis ), wenn der Generator, mindestens ein Kessel und mindestens eine Turbine intakt sind. Die rbeitsfähigkeit des Generators, des i-ten Kessels und der j-ten Turbine seien durch die Ereignisse G, K i und T j (i = 1,2,3;j = 1,2) beschrieben. Drücken Sie und c durch G,K 1,K 2,K 3 und T 1,T 2 aus. Lernziele Sie sollten wissen, dass Ereignisse Teilmengen eines Grundraumes sind, und verbal formulierte Ereignisse als geeignete Mengen angeben können. Sie sollten ferner mit Ereignissen mengentheoretisch umgehen können und folgende egriffsbildungen kennen: Elementarereignis, Gegenereignis (komplementäres Ereignis), unvereinbare (disjunkte) Ereignisse.

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