Konvexe Menge. Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, d.h.

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1 Konvexe Menge Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, dh Kapitel Extrema konvex: h x + h y D für alle h [0, ], und x, y D nicht konvex: Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema / 5 Durchschnitt konvexer Mengen Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema / 5 Beispiel Halbräume Seien S,, S k konvexe Teilmengen des R n, dann ist auch der Durchschnitt S S k konvex Seien p R n und m fest, p 0 Dann beschreibt H {x R n : p t x m} eine Hyperebene, die den R n in die zwei Halbräume H + {x R n : p t x m} H {x R n : p t x m} teilt Die Mengen H, H + und H sind konvex Die Vereinigung zweier konvexer Mengen muss nicht konvex sein Sei x ein Gütervektor, p der entsprechende Preisvektor und m das verfügbare Einkommen Dann ist die Budgetmenge konvex: {x R n : p t x m, x 0} {x : p t x m} {x : x 0} {x : x n 0} Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 3 / 5 Konvexe und konkave Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 4 / 5 Streng konvexe und streng konkave Funktionen Eine Funktion f heißt konvex in D R n, falls D konvex ist, und f h x + h x h f x + h f x für alle x, x D und alle h [0, ] Die Funktion f heißt konkav in D R n, falls D konvex ist, und f h x + h x h f x + h f x für alle x, x D und alle h [0, ] konvex Eine Funktion f heißt streng konvex in D R n, falls D konvex ist, und f h x + h x < h f x + h f x für alle x, x D mit x x und alle h 0, Die Funktion f heißt streng konkav in D R n, falls D konvex ist, und f h x + h x > h f x + h f x für alle x, x D mit x x und alle h 0, konkav x x x x Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 5 / 5 Beispiel Lineare Funktion Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 6 / 5 Beispiel Quadratische Funktion in einer Variable Sei a R n konstant Dann ist f x a t x eine lineare Funktion und es gilt: f h x + h x a t h x + h x h a t x + h a t x h f x + h f x Dh, f ist sowohl konkav als auch konvex Die lineare Funktion ist aber weder streng konkav noch streng konvex, da die Ungleichung niemals strikt ist Die Funktion f x x ist streng konvex: Also f h x + h y [ h f x + h f y ] h x + h y [ h x + h y ] h x + hh xy + h y h x h y h h x + hh xy h h y h h x y < 0 für x y und 0 < h < f h x + h y < h f x + h f y für alle x y und 0 < h < Dh f x x ist streng konvex Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 7 / 5 Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 8 / 5

2 Eigenschaften Falls f x streng konvex ist, dann ist f x streng konkav und umgekehrt Falls f x,, f k x konvex konkav und α,, α k > 0 ist, dann ist auch konvex konkav gx α f x + + α k f k x Eigenschaften Für eine differenzierbare Funktion f gilt: f ist konkav genau dann, wenn f x f x 0 f x 0 x x 0 x 0 dh, der Funktionsgraph liegt immer unterhalb der Tangente f ist streng konkav genau dann, wenn f x f x 0 < f x 0 x x 0 für alle x x 0 Falls zumindest eine der Funktionen f i x streng konvex streng konkav ist, dann ist auch gx streng konvex streng konkav f ist konvex genau dann, wenn f x f x 0 f x 0 x x 0 Analog für streng konvexe Funktion x 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 9 / 5 Quadratische Form Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 0 / 5 Quadratische Form Sei A eine symmetrische Matrix und q A x x t Ax die entsprechende quadratische Form Wir können A diagonalisieren, dh, es gibt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, sodass A zur Diagonalmatrix D aus Eigenwerten wird Wenn c der Koordinatenvektor von x bezüglich dieser Basis ist, dann ist q A x c λ + c λ + + c nλ n Wenn alle Eigenwerte λ i 0 sind, dann ist q A eine Summe von konvexen Funktionen und damit selbst konvex Wenn alleλ i 0 sind, dann ist q A konkav Wenn es Eigenwerte λ i > 0 und λ i < 0, dann ist q A weder konvex noch konkav Für eine quadratische Form q A gilt: streng konvex positiv definit konvex positiv semidefinit streng konkav negativ definit konkav negativ semidefinit weder noch indefinit Die Definitheit von A kann festgestellt werden mit Hilfe der Eigenwerte von A, oder der allgemeinen Hauptminoren von A Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema / 5 Beispiel Quadratische Form 0 Sei A 3 Die Hauptminoren lauten: 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema / 5 Beispiel Quadratische Form 0 Sei A 0 4 Allgemeinen Hauptminoren: H > 0 H 3 5 > 0 0 H 3 A 3 8 > 0 0 A ist daher positiv definit Die quadratische Form q A ist somit streng konvex H H 4 H 3 0 H, H,3 4 H,3 4 0 H i 0 H,, H i,j 0 H,,3 0 A ist daher negativ semidefinit Die quadratische Form q A ist somit konkav aber nicht streng konkav Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 3 / 5 Krümmung differenzierbarer Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 4 / 5 Vorgangsweise streng konvex Sei f : D R n R mit Taylorreihenentwicklung f x 0 + h f x 0 + f x 0 h + ht H f x 0 h Die Hesse-Matrix H f x 0 bestimmt die Krümmung von f in der Nähe des Entwicklungspunkts x 0 H f x 0 positiv definit f streng konvex um x 0 H f x 0 negativ definit f streng konkav um x 0 H f x positiv semidefinit für alle x D f konvex in D H f x negativ semidefinit für alle x D f konkav in D Berechne Hesse-Matrix f x x x f x x x f x x n x f H f x xx x f xx x f xxn x f xnx x f xnx x f xnxn x Berechne die führenden Hauptminoren H i 3 f streng konvex alle H k > 0 für fast alle x D f streng konkav alle k H k > 0 für fast alle x D [ k H k > 0 heißt: H, H 3, < 0 und H, H 4, > 0 ] 4 Andernfalls ist f in D weder streng konvex noch streng konkav Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 5 / 5 Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 6 / 5

3 Vorgangsweise konvex Berechne Hesse-Matrix f x x x f x x x f x x n x f H f x xx x f xx x f xxn x f xnx x f xnx x f xnxn x Berechne die allgemeinen Hauptminoren H i,,i k 3 f konvex alle H i,,i k 0 für alle x D f konkav alle k H i,,i k 0 für alle x D 4 Andernfalls ist f in D weder konvex noch konkav Offensichtlich ist jede streng konkave konvexe Funktion auch konkav bzw konvex Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 7 / 5 Beispiel Cobb-Douglas Funktion Beispiel Ist die Funktion streng konkav oder konvex? f x, y x 4 + x x y + y x + Hesse-Matrix: H f x Hauptminoren: H x + > 0 H H f x 4 x > 0 für alle x 0 3 Alle Hauptminoren > 0 für fast alle x f ist streng konvex und damit auch konvex Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 8 / 5 Beispiel Cobb-Douglas Funktion Sei f x, y x α y β mit α, β 0 und α + β, und D {x, y : x, y 0} Hesse-Matrix an der Stelle x: αα x α y β αβ x α y β H f x αβ x α y β ββ x α y β H, H f x αα x α y β ββ x α y β αβ x α y β αα ββ x α y β α β x α y β αβ[α β αβ]x α y β αβ α β x α y β 0 Allgemeine Hauptminoren: H H α β α 0 β 0 x α y β x α y β 0 0 H 0 und H 0, und H, 0 für alle x, y D f x, y ist daher konkav in D Für 0 < α, β < und α + β < gilt sogar: H H < 0 und H H f x > 0 für fast alle x, y D f x, y ist dann sogar streng konkav Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 9 / 5 Globales Extremum Optimum Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 0 / 5 Lokales Extremum Optimum Ein Punkt x heißt globales Maximum absolutes Maximum von f, falls für alle x D f gilt: f x f x Ein Punkt x heißt globales Minimum absolutes Minimum von f, falls für alle x D f gilt: f x f x Ein Punkt x 0 heißt lokales Maximum relatives Maximum von f, falls für alle x in einer geeigneten Umgebung von x 0 gilt: f x 0 f x Ein Punkt x 0 heißt lokales Minimum relatives Minimum von f, falls für alle x in einer geeigneten Umgebung von x 0 gilt: f x 0 f x kein globales Minimum globales Maximum lokales Maximum lokales Maximum globales Maximum lokales Minimum Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema / 5 Kritischer Punkt Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema / 5 Globales Extremum In einem lokalen Maximum oder Minimum muss jede Richtungsableitung und damit auch der Gradient gleich Null sein Ein Punkt x 0 heißt kritischer Punkt oder stationärer Punkt einer Funktion f, wenn f x 0 0 Notwendige Bedingung: Jedes Extremum von f ist ein kritischer Punkt von f Hinreichende Bedingung: Sei x 0 ein kritischer Punkt einer konkaven oder konvexen Funktion f Dann ist x 0 ein globales Maximum bzw globales Minimum von f Falls f streng konkav oder konvex ist, dann ist das Extremum eindeutig bestimmt Die Aussage folgt unmittelbar aus den Eigenschaften streng konkaver Funktionen Für alle x x 0 gilt und somit f x f x 0 < f x 0 x x 0 0 x x 0 0 f x 0 > f x Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 3 / 5 Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 4 / 5

4 Beispiel Sei f x e x x Die Funktion ist streng konvex: f x e x f x e x > 0 für alle x R Kritischer Punkt: f x e x 0 x 0 ln x 0 ln ist das eindeutig bestimmte globale Minimum von f Beispiel Sei f : D [0, R, f x, y 4 x 4 y 4 x y Hesse-Matrix an der Stelle x: 3 H f x Hauptminoren: H 3 4 x 7 4 y 4 < 0 H x 3 y 3 > 0 4 x 7 4 y 4 4 x 3 4 y x 3 4 y x 4 y 7 4 f ist streng konkav in D Kritischer Punkt: f x 3 4 y 4, x 4 y f x x 3 4 y 4 0 f y x 4 y x 0 ist das globale Maximum von f x 0, Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 5 / 5 Beispiel Lokale Extrema Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 6 / 5 Lokal konkav Ein Punkt x 0 ist ein lokales Maximum oder Minimum von f, falls x 0 ist ein kritischer Punkt von f, f ist konkav bzw konvex um x 0 Hinreichende Bedingung: 0 f ist lokal streng konkav konvex um x 0 ist - Sei x 0 ein kritischer Punkt von f Dann gilt H f x 0 negativ definit x 0 ist lokales Maximum H f x 0 positiv definit x 0 ist lokales Minimum f x, y 6 x3 x + 4 x y Es ist ausreichend die Hesse-Matrix H f x am kritischen Punkt x 0 auszuwerten Im Gegensatz zur Bedingung für globale Extrema Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 7 / 5 Vorgangsweise Univariate Funktion Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 8 / 5 Beispiel Univariate Funktion Hinreichende Bedingung für lokale Extremwerte einer Funktion in einer Variablen: Berechne f x und f x Suche alle Punkte x i mit f x i 0 kritischen Punkte 3 Falls f x i < 0 x i ist ein lokales Maximum Falls f x i > 0 x i ist ein lokales Minimum Falls f x i 0 keine Aussage möglich! Falls f x i 0 dann werden andere Methoden benötigt! ZB kann man Terme höherer Ordnung der Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x 0 betrachten Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion f x 4 x x + 3, f x x 4 x x besitzt die Lösungen x und x 6 f x x3 x + 3 x + 3 f x ist lokales Maximum f 6 x ist lokales Minimum x x Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 9 / 5 Beispiel Kritische Punkte Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 30 / 5 Kritische Punkte Lokale Extrema Suche alle kritischen Punkte von f x, y 6 x3 x + 4 x y Partiellen Ableitungen: I f x x + 4 y 0 II f y x y 0 II x 0 oder y 0 I + 4 y 0 x 0 y ± x ± Kritische Punkte: x 0, x 3, 0 x 0, x 4, 0 Lokales Maximum Lokales Minimum Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 3 / 5 Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 3 / 5

5 Kritische Punkte Sattelpunkte Vorgangsweise Lokale Extrema Sattelpunkt Beispiel für höhere Ordnung Berechne Gradient f und Hesse-Matrix H f Bestimme alle x i mit f x i 0 kritische Punkte 3 Berechne alle Hauptminoren H k für kritischen Punkt x 0 : a Alle Hauptminoren H k > 0 x 0 ist ein lokales Minimum von f b Für alle Hauptminoren gilt k H k > 0 [ dh, H, H 3, < 0 und H, H 4, > 0 ] x 0 ist ein lokales Maximum von f c deth f x 0 0, aber weder a noch b sind erfüllt x 0 ist ein Sattelpunkt von f d Andernfalls ist keine Aussage möglich, dh x 0 kann ein lokales Extremum sein, muss aber nicht Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 33 / 5 Vorgangsweise Bivariate Funktion Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 34 / 5 Beispiel Bivariate Funktion Berechne Gradient f und Hesse-Matrix H f Bestimme alle x i mit f x i 0 kritische Punkte 3 Berechne die Hauptminoren H und H für kritischen Punkt x 0 : a H > 0 und H > 0 x 0 ist ein lokales Minimum von f b H > 0 und H < 0 x 0 ist ein lokales Maximum von f c H < 0 x 0 ist ein Sattelpunkt von f d H deth f x 0 0 keine Aussage möglich Suche die lokalen Extrema von f x, y 6 x3 x + 4 x y f x + 4 y, x y x H f x, y y y x Kritische Punkte: x 0,, x 0,, x 3, 0, x 4, 0 Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 35 / 5 Beispiel Bivariate Funktion Forts Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 36 / 5 Beispiel Bivariate Funktion Forts 3 Hauptminoren: 0 H f x H f 0, 0 H < 0 x ist ein Sattelpunkt 0 H f x H f 0, 0 H < 0 x ist ein Sattelpunkt 3 Hauptminoren: H f x 3 H f, H > 0 und H > 0 x 3 ist ein lokales Minimum H f x 4 H f 0, 0 0 H > 0 und H < 0 x 4 ist ein lokales Maximum Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 36 / 5 Konvexe Funktion und konvexe Menge Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 36 / 5 Konkave Funktion und konvexe Menge Sei f konvex Dann ist die untere Niveaumenge von f konvex {x D f : f x c} y x Sei f konkav Dann ist die obere Niveaumenge von f konvex {x D f : f x c} Seien x, x {x D f : f x c}, dh f x, f x c Sei y hx + hx für ein h [0, ] x Dann ist f y f hx + hx h f x + h f x hc + hc c Also y {x D f : f x c} c obere Niveaumenge c untere Niveaumenge Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 37 / 5 Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 38 / 5

6 Extremum und monotone Transformation Sei T : R R eine streng monoton steigende Funktion Falls x ein Maximum Minimum von f ist, dann ist x auch ein Maximum bzw Minimum von T f : Da x ein Maximum von f ist, gilt f x f x für alle x Da T streng monoton steigend ist, gilt Tx > Tx falls x > x Wir erhalten daher T f x T f x > T f x T f x für alle x, ie, x ist ein Maximum von T f Da T injektiv ist, gilt sogar die Umkehrung: Falls x ein Maximum Minimum von T f ist, dann auch von f Extremum und monotone Transformation Die streng monotone Transformation T erhält die Extrema von f T erhält aber auch die Niveaumengen von f 9 4 e 9 e 4 e f x, y x y T f x, y exp x y Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 39 / 5 Quasi-konvex und quasi-konkav Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 40 / 5 Konvex und quasi-konvex Eine Funktion f heißt quasi-konvex in D R n, falls D konvex ist und jede untere Niveaumenge {x D f : f x c} konvex ist Eine Funktion f heißt quasi-konkav in D R n, falls D konvex ist und jede obere Niveaumenge {x D f : f x c} konvex ist Jede konkave konvexe Funktion ist auch quasi-konkav bzw quasi-konvex Eine quasi-konkave Funktion muss aber nicht konkav sein Sei T eine streng monoton steigende Funktion Falls eine Funktion f x konkav konvex ist, dann ist T f quasi-konkav bzw quasi-konvex Die Funktion gx, y e x y ist quasi-konkav, da f x, y x y konkav ist, und Tx e x streng monoton steigend ist g T f ist aber nicht konkav Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 4 / 5 Konvex, quasi-konvex und Extrema Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 4 / 5 Quasi-konvex und quasi-konkav II Der Begriff quasi-konvex ist ein schwächerer Begriff als konvex, in dem Sinne, dass jede konvexe Funktion auch quasi-konvex ist, es aber viel mehr quasi-konvexe Funktionen gibt als konvexe Die Bedeutung dieses Begriffs liegt darin, dass sich manche Sätze über konvexe Funktionen auf quasi-konvexe Funktionen verallgemeinern lassen f ist quasi-konvex genau dann, wenn f hx + hx max{ f x, f x } für alle x, x und h [0, ] f ist quasi-konkav genau dann, wenn f hx + hx min{ f x, f x } für alle x, x und h [0, ] x x x x quasi-konvex quasi-konkav Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 43 / 5 Streng quasi-konvex und streng quasi-konkav Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 44 / 5 Quasi-konvex und quasi-konkav III Eine Funktion f heißt streng quasi-konvex, wenn f hx + hx < max{ f x, f x } für alle x, x, mit x x, und h 0, Eine Funktion f heißt streng quasi-konkav, wenn f hx + hx > min{ f x, f x } Für eine differenzierbare Funktion f gilt: f ist quasi-konvex genau dann, wenn f x f x 0 f x 0 x x 0 0 f ist quasi-konkav genau dann, wenn f x f x 0 f x 0 x x 0 0 für alle x, x, mit x x, und h 0, Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 45 / 5 Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 46 / 5

7 Beispiel Umhüllungssatz Envelope-Theorem Seien p, r > 0 und f : D [0, R, Hesse-Matrix: H f x Hauptminoren: H 3 4 x 7 4 y 4 < 0 H x 3 y 3 > 0 f x, y 4 x 4 y 4 px ry 3 4 x 7 4 y 4 4 x 3 4 y x 3 4 y x 4 y 7 4 f ist streng konkav in D Kritischer Punkt: f x 3 4 y 4 p, x 4 y 4 3 r 0 f x x 4 3 y 4 p 0 f y x 4 y x 3 0, r p 4 r 0 3 r 3 p x 0 ist das globales Maximum von f Frage: Wie ändert sich das Optimum f f x 0 mit den Parametern r und p? Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 47 / 5 Umhüllungssatz Envelope-Theorem Gegeben sei eine Funktion x x,, x n Variable endogen x f x, r r r,, r k Parameter exogen mit Extremum x Das Extremum hängt vom Parameter r ab: x x r und damit auch der Extremalwert f : Es gilt: f r f x r, r f r f x, r xx r Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 48 / 5 Beispiel f r f x r, r n i xx r f xi x r, r } {{ } 0 da kritischer Punkt f x, r xx r x i r + [ Kettenregel ] f x, r xx r Das eindeutig bestimmte Maximum von f : D [0, R, f x, y 4 x 4 y 4 px ry ist x p, r x p, r, y p, r, r p 3 r 3 p Frage: Wie ändert sich das Optimum f f x mit den Parametern r und p? f p, r p f p, r r f x; p, r p f x; p, r r x xx p,r xx p,r r p 3 y xx p,r xx p,r r 3 p Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 49 / 5 Eine geometrische Interpretation Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 50 / 5 Zusammenfassung Sei f x, r x rx Wir suchen f r max x f x, r Zeichnen die Graphen von g x r f x, r für verschiedene x g 3/ g g /3 g / g 4/ f r r Konvexe Menge Konvex und konkav Quasi-konvex und quasi-konkav Lokales und globales Extremum Minimum, Maximum und Sattelpunkt Kritischer Punkt Hesse-Matrix und Hauptminor Umhüllungssatz Envelope-Theorem Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 5 / 5 Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Extrema 5 / 5

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