Lösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I

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1 Lösungsskizze zur Hauptklausur Lineare Algebra I Aufgabe Seien V und W zwei K-Vektorräume für einen Körper K. a) Wann heißt eine Abbildung f : V W linear? b) Wann heißt eine Abbildung f : V W injektiv? c) Sei f : V W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie f(0 V ) = 0 W. d) Beweisen Sie: Ist f : V W eine lineare Abbildung, so gilt: f ist genau dann injektiv, wenn Kern(f) = {0 V }. Lösung zu Aufgabe a) Eine Abbildung f : V W heißt linear, wenn f(x + y) = f(x) + f(y) für alle x, y V und f(λ x) = λ f(x) für alle x V und λ K. b) Eine Abbildung f : V W heißt injektiv, wenn für alle x, y V mit f(x) = f(y) immer x = y gilt. c) Es gilt f(0 V ) = f(0 V + 0 V ) = f(0 V ) + f(0 V ). Somit also f(0 V ) = 0 W. d) : Nach Teil c) gilt 0 V Kern(f). Sei x Kern(f). Dann gilt f(x) = 0 W = f(0 V ). Da f injektiv ist, gilt also x = 0 V. : Seien x, y V mit f(x) = f(y). Dann gilt f(x y) = f(x) + f( y) = f(x) f(y) = 0 V wegen der Linearität von f. Somit x y Kern(f) = {0 V }. Also x = y.

2 Aufgabe a) Bestimmen Sie det(a) und det(a 3 ) für A = 0 M 3 (R). 0 0 b) Berechnen Sie für µ R die Determinante von B µ = M 4(R). µ 0 0 c) Entscheiden Sie, ob die Matrix C = M 3 (R) invertierbar ist und 0 bestimmen Sie gegebenfalls ihr Inverses. Lösung zu Aufgabe a) Durch Laplace-Entwicklung nach der. Zeile ergibt sich ( ) ( ) det(a) = det + det =. Somit ergibt sich det(a 3 ) = det(a) 3 = ( ) 3 = nach dem Determinantenmultiplikationssatz. b) Durch Vertauschen der dritten Zeile mit der ersten Zeile und Vertauschen der zweiten Zeile mit der vierten Zeilen erhalten wir 0 0 det(b µ ) = ( ) det µ Nach dem Satz über die Berechnung von Determinanten von Blockmatrizen gilt jetzt ( ) ( ) det(b µ ) = det det = ( µ) 3. µ c) Wir benutzen den Gauss-Algorithmus

3 Wir erhalten somit C = 0 =

4 Aufgabe 3 x a) Zeigen Sie, dass U = x R 3 x + x x 3 = 0 ein Untervektorraum des x 3 R 3 ist. b) Bestimmen Sie eine Basis von U =,, 0 R 3 und dim U. 4 c) Entscheiden Sie, ob die Vektoren,, 0 R4 linear unabhängig sind. 4 Lösung zu Aufgabe 3 a) Wir rechnen die Unterraumaxiome nach: Wegen = 0 gilt 0 R 3 U. Seien x, y U. Dann gilt x + x x 3 = 0 und y + y y 3 = 0. Somit gilt x + y + x + y (x 3 + y 3 ) = 0. Also x + y U. Sei x U und λ R. Dann gilt x +x x 3 = 0. Also 0 = λ 0 = λ(x +x x 3 ) = λ x + λ x λ x 3 = 0. Somit λ x U. b) Die Vektoren,, 0 bilden per Definition ein Erzeugendensystem von V. Wir testen die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit, indem wir überprüfen ob die von ihnen gebildete Matrix invertierbar ist det 0 = = 0. Daher sind die Vektoren linear abhängig. Da der Vektor kein Vielfaches von ist, sind die Vektoren und linear unabhängig und bilden daher ein maximales Erzeugendensystem von U, also eine Basis. 4

5 c) Wir testen die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit. Seien λ, λ, λ 3 R mit 4 0 λ + λ + λ 3 0 = Wir erhalten dadurch das lineare Gleichungssystem 4 0 λ 0 λ = 0 0. λ Zeilenumformungen liefern: Die Matrix hat also Rang 3 und das obige Gleichungssystem hat nur die Lösung λ = λ = λ 3 = 0. 5

6 Aufgabe 4 Seien A R 3 4 und b µ R 3 in Abhängigkeit von µ R gegeben durch 4 µ A = 4 0 und b µ = 3 + µ. 0 µ a) Bestimmen Sie den Rang von A und (A b µ ) in Abhängigkeit von µ. b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge L A,bµ des linearen Gleichungssystems Ax = b µ in Abhängigkeit von µ. c) Gibt es einen Vektor c R 3, so dass L A,c =? Falls ja, geben Sie einen solchen Vektor an. Lösung zu Aufgabe 4 Wir benutzen des Gauss-Algorithmus: 4 µ µ 0 µ 4 µ µ µ a) Aus der obigen Rechnung folgern wir Rang(A) = Rang(A b µ ) = für alle µ R. b) Es gilt µ x 3 + x 4 L A,bµ = x 3 x 4 x 3 x 3, x 4 R. x 4 c) Sei f A die zu A gehörige lineare Abbildung R 4 R 3. Da Rang(A) = < 3, ist Bild(f A ) ein Untervektorraum vom R 3 der Dimension. Daher gibt es einen Vektor c, so dass L A,c =. Der Untervektorraum Bild(f A ) ist gerade der Untervektorraum der von den Spalten der Matrix A erzeugt wird. Die Vektoren und 4 sind offensichtlich linear 0 0 unabhängig und bilden daher eine Basis von Bild(f A ). Für c := 0 sieht man leicht ein, dass c / Bild(f A ) gilt. Somit gilt L A,c =. 6

7 Aufgabe 5 Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. ( Punkt je Aufgabenteil) Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die Aussage beweisen oder widerlegen. ( Punkte je Aufgabenteil) a) Für A M n (R) und λ R gilt det(λ A) = λ det(a). b) Wenn m > n ist, dann gibt es eine surjektive lineare Abbildung f : R n R m. c) Die Menge U := {A GL n (R) det(a) = } bildet eine Untergruppe von (GL n (R), ). d) Seien A, B M n (R). Dann gilt A B = O genau dann, wenn B A = O. Lösung zu Aufgabe 5 a) Die Aussage ist falsch. Es ist 4 = det( E ) = det(e ). b) Die Aussage ist falsch. Sei f : R n R m eine surjektive lineare Abbildung. Dann gilt n = dim(r n ) = dim(kern(f)) + dim(bild(f)) = dim(kern(f)) + m m nach der Dimensionsformel für lineare Abbildungen. c) Die Aussage ist wahr. Wir rechnen die Untergruppenaxiome nach. Es ist E n U, denn det(e n ) =. Seien A, B U. Dann gilt AB U, denn det(ab ) = det(a) det(b ) = det(a) det(b) = = gemäß dem Determinantenmultiplikationssatz. d) Die Aussage ( ist ) falsch. 0 Sei A = und B = 0 0 ( ) 0. Dann gilt A B = O, aber B A = 0 0 ( ) 0 O

8 Aufgabe 6 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. a) Was besagt der Dimensionssatz für f? b) Zeigen Sie, dass n gerade ist, falls Bild(f) = Kern(f). c) Sei U ein Untervektorraum von V mit V = U + Kern(f) und U Kern(f) = {0 V }. Weiter sei {w,..., w m } eine Basis von U und es gelte Bild(f) = Kern(f). Beweisen Sie, dass {w,..., w m, f(w ),..., f(w m )} eine Basis von V ist. d) Geben Sie eine lineare Abbildung g : R R mit Bild(g) = Kern(g) an. Lösung zu Aufgabe 6 a) Es ist dim(v ) = dim(kern(f)) + dim(bild(f)). b) Gemäß der Dimensionformel für lineare Abbildungen gilt Also ist n gerade. n = dim(v ) = dim(kern(f)) + dim(bild(f)) = dim(kern(f)). c) Es gilt n = dim(v ) = dim(u) + dim(kern(f)) = dim(u) + n nach der Dimensionformel für Untervektorräume. Somit ist m = n. Damit besteht die Menge {w,..., w m, f(w ),..., f(w m )} genau aus n Vektoren. Nach der Charakterisierung von Basen als maximal linear unabhängige Mengen von Vektoren reicht es zu zeigen, dass die Menge {w,..., w m, f(w ),..., f(w m )} linear unabhängig ist. Seien λ,..., λ n K mit m λ i w i + λ i f(w i ) = 0 V. Es gilt Somit also i= m λ i w i = f( i= i= i=m+ m λ i w i = 0 V und i=m+ λ i w i ) Bild(f) U = {0 V }. i=m+ λ i w i Kern(f). Da {w,..., w m } linear unabhängig sind, folgt λ = = λ m = 0. Außerdem ist λ i w i Kern(f) U = {0}. Somit λ i w i, was λ m+ = = λ n = 0 zeigt. i=m+ i=m+ ( ) ( ) 0 d) Sei g : R R, x. Es gilt Kern(g) = Bild(g) =