2. Arbeit und Energie

Transkript

1 2. Arbeit und Energie Zur Ermittlung der Bewegungsgrößen aus der Bewegungsgleichung müssen mehr oder weniger komplizierte Integrale berechnet werden. Bei einer Reihe von wichtigen Anwendungen treten die gleichen Integrale auf. Sie können unabhängig von der konkreten Anwendung berechnet werden. Diese Integrationen führen auf die Begriffe Arbeit und Energie. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

2 2. Arbeit und Energie 2.1 Arbeitssatz 2.2 Potenzielle Energie 2.3 Energieerhaltungssatz 2.4 Massenpunktsysteme 2.5 Leistung und Wirkungsgrad Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

3 2.1 Arbeitssatz Herleitung Berechnung der Arbeit Anwendungen Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

4 2.1.1 Herleitung Integration der Bewegungsgleichung: B a t Betrachtet wird ein Massenpunkt, der sich entlang der Bahn C AB vom Punkt A zum Punkt B bewegt. Dabei wirkt auf ihn die resultierende äußere Kraft F(r), die im Allgemeinen vom Ort abhängt. F a n dr P C AB A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

5 2.1.1 Herleitung In jedem Punkt der Bahn gilt das Newtonsche Grundgesetz: m a=f Das Skalarprodukt mit dem Wegelement dr lautet m a d r=f d r Die Beschleunigung hat eine Tangentialkomponente a t und eine Normalkomponente a n : a=a t +a n Da die Normalkomponente a n senkrecht auf dem Wegelement dr steht, gilt: a n d r=0 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

6 2.1.1 Herleitung Mit der skalaren Bahnbeschleunigung a t und dem skalaren Wegelement ds folgt: m a d r=m a t d r=m a t ds Mit a t = dv dt = dv ds ds dt = dv ds v=v dv ds folgt: m a t ds=mv dv ds ds=mv dv Damit ist gezeigt: Integration ergibt: m a d r=mv dv=f d r v m B v A v dv= C AB F (r ) d r Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

7 2.1.1 Herleitung Kinetische Energie: Das Integral auf der linken Seite berechnet sich zu Die Größe v m B v dv= 1 v A 2 m (v 2 B v A2 ) E K = 1 2 m v2 wird als kinetische Energie des Massenpunktes bezeichnet. Damit gilt: v m B v A v dv=e B K E A K Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

8 2.1.1 Herleitung Arbeit der äußeren Kräfte: Das Integral auf der rechten Seite wird als Arbeit der äußeren Kräfte bezeichnet: W AB = C AB F (r ) d r W AB ist die Arbeit, die die äußere Kraft F verrichtet, wenn der Massenpunkt entlang der Bahn C AB vom Punkt A an den Punkt B verschoben wird. Der Wert der Arbeit hängt im Allgemeinen nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt, sondern auch von der Bahn ab. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

9 2.1.1 Herleitung Arbeitssatz: E B K E A K =W AB Die Differenz zwischen der kinetischen Energie E K B des Massenpunktes im Punkt B und der kinetischen Energie E K A im Punkt A ist gleich der von den angreifenden Kräften auf dem Weg von Punkt A nach Punkt B verrichteten Arbeit W AB. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

10 2.1.1 Herleitung Einheiten: Die Einheit der Arbeit ist 1Nm=1 kg m2 s 2 =1J (Joule) Die kinetische Energie hat die gleiche Einheit wie die Arbeit. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

11 2.1.2 Berechnung der Arbeit Kraft konstanter Größe tangential zum Weg: Mit F =F e t und d r=e t ds gilt: e t B s B W AB = C AB s B F d r= F e t e t ds=f (s B s A ) s A F P Kraft konstanter Größe schräg zum Weg: Mit d r=e t ds und F e t =F cos(ϕ) gilt: A s A F ϕ B s B e t W AB = C AB s B F d r= F e t ds=f cos(ϕ)(s B s A ) s A P A s A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

12 2.1.2 Berechnung der Arbeit Kraft mit ortsabhängiger Größe tangential zum Weg: e t B s B Mit F (s)=f (s)e t und d r=e t ds gilt: s W = B AB F d r= F (s)e t e t ds C AB s A s = B s A F (s) ds Wird die Kraft F über dem Weg s aufgetragen, so entspricht die Arbeit der Fläche unter der Kurve. F A F(s) s A s A P W AB s B s Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

13 2.1.2 Berechnung der Arbeit Reibungsarbeit: Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer rauen Oberfläche von A nach B. z y Dabei wirkt auf ihn die Reibungskraft A R N C AB B R=μ N tangential zum Weg. Sie verrichtet die Arbeit W AB R = μ N (s B s A ) = μ N L AB x Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

14 2.1.2 Berechnung der Arbeit Die Reibungsarbeit hängt vom Weg ab, auf dem der Massenpunkt von A nach B gebracht wird: Die Länge LAB ist wegabhängig. Der Reibungskoeffizient kann unterschiedlich sein. z y Die Normalkraft N kann unterschiedlich sein. A C 1 B R R W AB 1 W AB 2 C 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM x

15 2.1.2 Berechnung der Arbeit Federarbeit: s 0 F F s s A s B Ein Massenpunkt, der von einer Feder gehalten wird, bewegt sich von der Stelle s A an die Stelle s B. Dabei greift an ihm die Federkraft F F (s)=c (s s 0 ) an. Die Federkraft verrichtet die Arbeit W F AB s B = c (s s 0 ) ds= 1 s A 2 c [(s B s 0 ) 2 (s A s 0 ) 2 ] Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

16 2.1.2 Berechnung der Arbeit Hubarbeit: Ein Massenpunkt der Masse m bewegt sich entlang der Bahn C AB vom Punkt A an den Punkt B. g z B Dabei wirkt auf ihn die Gewichtskraft C AB dr y G= m g e z A G x Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

17 2.1.2 Berechnung der Arbeit Für das Streckenelement gilt: Damit berechnet sich die von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit zu Die von der Gewichtskraft verrichtete Arbeit wird als Hubarbeit bezeichnet. Sie hängt nur von der Höhendifferenz ab. d r=e x dx +e y dy+e z dz W G = AB G d r= ( m g e z ) (e x dx+e y dy+e z dz ) C AB C AB z B = m g dz= m g (z B z A ) z A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

18 2.1.2 Berechnung der Arbeit Beispiel: Die Masse m wird auf der schiefen Ebene reibungsfrei vom Punkt A an den Punkt B verschoben. Dabei greifen an ihr die folgenden Kräfte an: Gewichtskraft G B z g m s B H s A s Horizontalkraft H Federkraft: F F =c s s 0 =0 A α Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

19 2.1.2 Berechnung der Arbeit Zu berechnen ist die gesamte Arbeit aller Kräfte, die an der Masse angreifen. Zahlenwerte: Masse m = 10 kg Weg sa = 0,5 m Weg sb = 2,5 m Federkonstante c = 30 N/m Horizontalkraft H = 400 N Winkel α = 30 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

20 2.1.2 Berechnung der Arbeit Kräfte an der freigeschnittenen Masse: Federkraft FF s Normalkraft N α Gewichtskraft mg Horizontalkraft H Horizontalkraft H : H N α mg F F W H AB =H cos(α)(s B s A )=400 N cos(30 ) 2 m=692,8j Normalkraft N : Die Normalkraft N steht senkrecht auf der Bahn und verrichtet daher keine Arbeit. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

21 2.1.2 Berechnung der Arbeit Federkraft F F : W F AB = 1 2 c (s 2 B s A2 )= 15 N/ m (2,5 2 m 2 0,5 2 m 2 )= 90 J Gewichtskraft G : W G AB = mg (z B z A )= mg (s B s A )sin(α) = 10 kg 9,81 m 2 m (sin 30 )= 98,1J 2 s Gesamte Arbeit: W AB =W AB H +W F AB +W G AB =504,7 J Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

22 2.1.3 Anwendungen Beispiel 1: Bremsendes Fahrzeug Gegeben: Fahrzeugmasse m Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit v eine geneigte Straße hinunter. Geschwindigkeit v Neigungswinkel α Reibungskoeffizient μ Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahrzeug mit blockierten Rädern rutscht. z s AB v g Wie weit rutscht das Fahrzeug? B α A z A - z B Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

23 2.1.3 Anwendungen Kräfte am freigeschnittenen Fahrzeug: F n =0 : N m g cos(α)=0 n α mg N =m g cos(α) R=μ N =μ m g cos(α) s R Hubarbeit: z A z B =s AB sin(α) N W G AB = m g ( z B z A )=m g (z A z B )=m g s AB sin(α) Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

24 2.1.3 Anwendungen Reibungsarbeit: Kinetische Energien: Arbeitssatz: W R AB = R s AB = μ m g cos(α)s AB E A K = 1 2 m v2, E B K =0 E K B E K A =W G R AB +W AB 1 2 m v2 =m g sin(α) s AB μ m g cos(α)s AB =m g s AB (sin(α) μ cos(α)) Ergebnis: s AB = v 2 2 g 1 μ cos(α) sin(α) Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

25 2.1.3 Anwendungen Beispiel 2: Achterbahn Gegeben: A ϕ s R g ψ R B Masse m des Wagens Radius R Anfangsgeschwindig keit v(s=0) = v 0 Gesucht: Geschwindigkeit v(s) Beschleunigung a(s) Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

26 2.1.3 Anwendungen Wagen freigeschnitten: Nur die Gewichtskraft mg verrichtet Arbeit. r Die Normalkraft N steht immer senkrecht auf der Bahn. Allgemein gilt: Führungskräfte Führungskräfte verrichten verrichten keine keine Arbeit. Arbeit. A ϕ N ϕ mg s Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

27 2.1.3 Anwendungen Geometrie: Kreis um A: z C z(s) s D s=r ϕ z (ϕ)=r cos(ϕ) ϕ R z (s)=r cos ( s R ) A B ϕ im Bogenmaß! R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

28 2.1.3 Anwendungen Kreis um B: z C s s=r π 2 +R ψ z(ψ)= R sin(ψ) ϕ R z(s)= R sin ( s R π 2 ) A ψ B =R cos ( s R ) R ψ im Bogenmaß! z(s) D Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

29 2.1.3 Anwendungen Hubarbeit: W G CD = mg ( ( z(s) z(0))= mg R cos ( s ) R 1 ) Kinetische Energien: E K C = 1 2 m v 2 0, E K D = 1 2 m v2 (s) Arbeitssatz: E K D E K G C =W CD 1 R( 2 m (v 2 (s) v 02 )= mg cos ( s ) R 1 ) v (s )= v gr( 1 cos ( s )) R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

30 2.1.3 Anwendungen Beschleunigung: Bahnbeschleunigung: a t (s )=v dv ds =1 2 dv 2 ds =g sin ( s R ) Bei einer Kreisbewegung gilt für die Normalbeschleunigung: a n (s)= v2 R = v 2 0 R +2 g ( 1 cos ( s R )) Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

31 2.2 Potenzielle Energie Gewichtskraft: Die Arbeit der Gewichtskraft ist unabhängig von der Bahnkurve. Sie hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn ab: W G AB = G (z B z A ) g z A G B C AB dr y x Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

32 2.2 Potenzielle Energie Federkraft: Die Arbeit, die die Federkraft verrichtet, hängt nur von der Dehnung oder Stauchung der Feder ab, unabhängig davon, wie die Kraft aufgebracht wurde. Für s 0 = 0 gilt: W F AB = 1 2 c (s 2 B s A2 ) s s A s B F F Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

33 2.2 Potenzielle Energie Reibungskraft: Die Arbeit, die die Reibungskraft verrichtet, hängt von der Bahnkurve ab: R d r= μ 1 N L 1 C 1 R d r= μ 2 N L 2 A C 2 z y C 1 B C 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM x

34 2.2 Potenzielle Energie Konservative Kräfte: Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Arbeit, die sie an einem Massenpunkt verrichtet, nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt, aber unabhängig von der Bahnkurve ist. Die Gewichtskraft und die Federkraft sind konservative Kräfte. B W AB = C 1 F d r= C 2 F d r C 2 A C 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

35 2.2 Potenzielle Energie Arbeit einer konservativen Kraft entlang eines geschlossenen Weges: C A B A C F d r=w AA =0 W AB +W BA =0 W BA = W AB Arbeit bleibt erhalten Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

36 2.2 Potenzielle Energie Dissipative Kräfte: Eine Kraft heißt dissipativ, wenn die Arbeit, die sie an einem Massenpunkt verrichtet, nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt, sondern auch von der Bahnkurve. Reibungskräfte sind dissipative Kräfte. C 1 F d r C 2 F d r C 2 B A C 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

37 2.2 Potenzielle Energie Potenzielle Energie: Die potenzielle Energie einer konservativen Kraft im Punkt A ist die Arbeit, die die konservative Kraft an dem Massenpunkt verrichtet, wenn er vom Punkt A in den Bezugspunkt R verschoben wird. Die potenzielle Energie hängt vom gewählten Bezugspunkt ab. E P (A, R)=W = AR F d r= F d r C 1 C 2 C 2 A R C 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

38 2.2 Potenzielle Energie Wird der Massenpunkt vom Ort A an den Ort B verschoben, so lässt sich die von einer konservativen Kraft verrichtete Arbeit W AB aus der Differenz der potenziellen Energien berechnen: B W AB =W AR +W RB =W AR W BR =E P (A,R) E P (B, R) =W AR ' +W R' B =W AR ' W BR ' =E P (A,R ') E P (B, R ' ) =E A P E B P C RB C RB' R' C AR' C AB A R C AR Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

39 2.2 Potenzielle Energie Potenzielle Energie der Gewichtskraft: Für die potenzielle Energie der Gewichtskraft gilt: E G (A, R)=W G AR = m g ( z R z A )=m g (z A z R ) Die potenzielle Energie der Gewichtskraft hängt nur von der Höhe des Massenpunktes ab. Sie wird daher auch als potenzielle Energie der Lage oder Lageenergie bezeichnet. Die Lageenergie ist negativ, wenn sich der Massenpunkt unterhalb des Bezugspunktes befindet. Wird als Bezugspunkt der Koordinatenursprung gewählt, so gilt: E G (A,O)=m g z A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

40 2.2 Potenzielle Energie Wenn die Schwerkraft parallel zur z-achse wirkt, hängt die Lageenergie nur von der z-koordinate ab. Alle Bezugspunkte mit gleicher z-koordinate sind gleichwertig. Sie definieren ein Nullniveau. Die Nullniveaus sind Ebenen z = const. Vorzeichen der Lageenergie: z E G > 0 Nullniveau g E G < 0 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

41 2.2 Potenzielle Energie Potenzielle Energie der Federkraft: Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft wird der Zustand der entspannten Feder gewählt. Dann gilt für die potenzielle Energie der Federkraft: E F (s)= 1 2 c s 2 Die potenzielle Energie der Federkraft ist immer positiv. Sie wird als Federenergie bezeichnet. F s C Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

42 2.3 Energieerhaltungssatz Arbeitssatz: Der Arbeitssatz lautet: E K B E K A =W AB Die Arbeit W AB setzt sich zusammen aus der Arbeit K =E P P A E B der konservativen Kräfte, und D W AB W AB der Arbeit der dissipativen Kräfte. Einsetzen in den Arbeitssatz ergibt: E K B E K A =E P A E P D B +W AB (E K B +E BP ) ( E K D A +E AP )=W AB Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

43 2.3 Energieerhaltungssatz Die Änderung der Summe aus kinetischer und potenzieller Energie eines Massenpunktes ist gleich der Arbeit der an ihm angreifenden dissipativen Kräfte. Die Arbeit der dissipativen Kräfte ist immer negativ. Energieerhaltungssatz: Wenn an einem Massenpunkt nur konservative Kräfte angreifen, dann bleibt die Summe der kinetischen und der potenziellen Energie konstant: E B K +E B P =E A K +E A P Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

44 2.3 Energieerhaltungssatz Beispiel 1: Bremsendes Fahrzeug Ein Fahrzeug der Masse m fährt mit konstanter Geschwindigkeit v eine geneigte Straße hinunter. Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahrzeug mit blockierten Rädern rutscht. Wie weit rutscht das Fahrzeug? z v g s AB B α A z A - z B Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

45 2.3 Energieerhaltungssatz Reibungsarbeit: Reibungskraft: F n =0 : N m g cos(α)=0 n α mg N =m g cos(α) s R=μ N =μ m g cos(α) R Reibungsarbeit: N W R AB = R s AB = μ m g cos(α)s AB Bezugspunkt für die Lageenergie: Ort bei Bremsbeginn Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

46 2.3 Energieerhaltungssatz Ort A: Bremsbeginn Kinetische Energie: E K A = 1 2 m v 2 Lageenergie: E G A =0 Ort B: Bremsende Kinetische Energie: E K B =0 Lageenergie: E G B = m g s AB sin (α) Arbeitssatz: (E K B +E BG ) ( E K R A +E AG )=W AB m g s AB sin(α) 1 2 mv 2 = μ m g s AB cos(α) s AB (μ cos(α) sin(α))= 1 2 v 2 g s AB = v 2 2 g 1 μ cos(α) sin(α) Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

47 2.3 Energieerhaltungssatz z Gegeben: Beispiel 2: Achterbahn C z(s) ϕ s R D Masse m des Wagens Radius R Anfangsgeschwindig keit v(s=0) = v 0 B Gesucht: A Geschwindigkeit v(s) R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

48 2.3 Energieerhaltungssatz Nur die Gewichtskraft verrichtet Arbeit. Da die Gewichtskraft eine konservative Kraft ist, gilt der Energieerhaltungssatz. Als Bezugspunkt für die Lageenergie wird Punkt A gewählt. Energien: Ort C Ort D Kinetische Energie E K C = 1 2 m v 2 0 E D K = 1 2 m v2 (s) Lageenergie E C G =m g R E D G =m g z(s) Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

49 2.3 Energieerhaltungssatz Geometrie: z(s)=r cos ( s R ) Energieerhaltungssatz: E D K +E D G =E C K +E C G 1 2 mv2 (s)+m g R cos ( s ) R = 1 2 m v 2 0+m g R R( v(s)= v g 1 cos ( s )) R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

50 2.4 Massenpunktsysteme Arbeitssatz für einen Massenpunkt: Für jeden einzelnen Massenpunkt mit Index i gilt der Arbeitssatz E K Bi E K Ai =W ABi Für die kinetische Energie des Massenpunktes gilt: E K Ai = 1 2 m i v 2 Ai, E K Bi = 1 2 m 2 i v Bi W ABi ist die von den am Massenpunkt angreifenden äußeren und inneren Kräften verrichtete Arbeit: W ABi =W (X) (I ) ABi +W ABi Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

51 2.4 Massenpunktsysteme Für die Arbeit der äußeren Kräfte gilt: Für die Arbeit der inneren Kräfte gilt: W (X) = ABi F i d r C i (I W ) = ABi ( C i j F ij ) d r Die Summe erstreckt sich über alle inneren Kräfte F ij, die am Massenpunkt mit Index i angreifen. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

52 2.4 Massenpunktsysteme Arbeitssatz für das Massenpunktsystem: Summation über die einzelnen Massenpunkte ergibt: i (E K Bi E K )= Ai i W (X) + ABi i ( I ) W ABi Kinetische Energie des Massenpunktsystems: 1 2 m 2 i v i E K = i E i K = i Arbeit der äußeren Kräfte: Arbeit der inneren Kräfte: W (X) = AB i (I W ) = AB i ( X) W ABi (I W ) = ABi ( i C i j F ij ) d r Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

53 2.4 Massenpunktsysteme Damit lautet der Arbeitssatz für das Massenpunktsystem: E K B E K A =W (X) ( I ) AB +W AB Der Weg C i, den der Massenpunkt i beschreibt, stimmt im Allgemeinen nicht mit dem Weg C j überein, den der Massenpunkt j beschreibt. Daher ist trotz F ij + F ji = 0 die von den inneren Kräften verrichtete Arbeit im Allgemeinen nicht null. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

54 2.4 Massenpunktsysteme Starre Bindung: Liegt zwischen zwei Massenpunkten eine starre Bindung vor, so beschreiben sie bei einer Translation den gleichen Weg. Für die Arbeit der inneren Kräfte folgt daraus: m 2 dr A F 21 F 12 dr C C B (I W ) = AB (F 12 +F 21 ) d r=0 C m 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

55 2.4 Massenpunktsysteme Bei einer Rotation steht das Wegelement dr senkrecht auf der Verbindungslinie der beiden Massenpunkte. Wegen F 12 d r 1 =0, F 21 d r 2 =0 m 2 F 21 dr 2 gilt also ebenfalls: Ergebnis: m 1 (I W ) AB =0 dr 1 F 12 Bei Bei einem einem Massenpunktsystem mit mit starren starren Bindungen Bindungen verrichten verrichten die die inneren inneren Kräfte Kräfte keine keine Arbeit. Arbeit. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

56 2.4 Massenpunktsysteme Für Systeme mit starren Bindungen vereinfacht sich der Arbeitssatz zu E K B E K (X) A =W AB Wenn die äußeren Kräfte konservativ sind, dann kann die von ihnen verrichtete Arbeit aus der Differenz der potenziellen Energien berechnet werden: W (X) AB =E P A E P = B (E P A i E P B i ) i Dann folgt aus dem Arbeitssatz der Energieerhaltungssatz: E B K +E B P =E A K +E A P Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

57 2.4 Massenpunktsysteme Dabei kann für jeden Massenpunkt ein eigenes Nullniveau gewählt werden. Beispiel: Flaschenzug Aufgabenstellung: Die beiden Massen m1 und m 2 sind durch ein masseloses dehnstarres Seil verbunden, das über masselose Rollen läuft. Wie groß sind die Beschleunigungen, wenn das System aus der Ruhe losgelassen wird? m 1 g m 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

58 2.4 Massenpunktsysteme Wahl der Freiheitsgrade: Die Lagekoordinaten s1 und s 2 der beiden Massen werden ab der Ausgangslage nach unten gemessen. Kinematische Bindung: 2 s 1 + s 2 =0 ṡ 2 = 2 ṡ 1 Innere Kräfte: m Da eine starre Bindung vorliegt, verrichten die inneren Kräfte keine Arbeit. 1 s 1 s 2 m 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

59 2.4 Massenpunktsysteme Äußere Kräfte: Als äußere Kraft wirkt die Gewichtskraft. Sie ist eine konservative Kraft. Das Nullniveau der Lageenergie wird jeweils in die Ausgangslage der Massen gelegt. Der Ausgangszustand wird als Zustand A und der ausgelenkte Zustand als Zustand B bezeichnet. Dann gilt für die Lageenergien: Zustand A Zustand B Masse 1 Masse 2 E A 1 =0 E A 2=0 E B 1 = m 1 g s 1 E B 2 = m 2 g s 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

60 2.4 Massenpunktsysteme Kinetische Energie: Da das System am Anfang in Ruhe ist, gilt: E A K =0 Für die kinetische Energie im ausgelenkten Zustand gilt: E K B = 1 2 m 1 ṡ m 2 2 s 2 Energieerhaltungssatz: 1 2 m 1 ṡ m 2 ṡ 2 2 m 1 g s 1 m 2 g s 2 =0 Mit der kinematischen Bindung folgt daraus: 1 2 m 1 ṡ m 2 ṡ 1 2 m 1 g s 1 +2 m 2 g s 1 =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

61 2.4 Massenpunktsysteme Geschwindigkeit: Mit ṡ 1 =v 1 (s 1 ) folgt aus dem Energieerhaltungssatz: v 1 (s 1 )=± 2 m 1 2 m 2 m 1 +4 m 2 g s 1 Für m1 > 2m 2 muss s 1 positiv sein. Die Masse m 1 bewegt sich nach unten. Es ist das positive Vorzeichen der Wurzel zu nehmen. Für m1 < 2m 2 muss s 1 negativ sein. Die Masse m 1 bewegt sich nach oben. Es ist das negative Vorzeichen der Wurzel zu nehmen. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

62 2.4 Massenpunktsysteme Beschleunigungen: Die Geschwindigkeit v1 ist als Funktion des Weges s 1 bekannt. Daraus berechnet sich die Beschleunigung a1 zu a 1 = 1 2 dv 1 2 ds 1 = m 1 2 m 2 m 1 +4 m 2 g Aus der kinematischen Bindung folgt: a 2 = 2 a 1 = 2 m 1 2 m 2 m 1 +4 m 2 g Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

63 2.5 Leistung und Wirkungsgrad Leistung: Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeiteinheit: P= dw dt Die Einheit der Leistung ist: Aus der Definition der Arbeit folgt: 1 J s =1 N m s P=F v P= dw dt =1W (Watt) = F d r dt =F d r dt Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

64 2.5 Leistung und Wirkungsgrad Wirkungsgrad: Der mechanische Wirkungsgrad η einer Maschine ist definiert als das Verhältnis der abgegebenen Nutzleistung P N zur aufgewendeten Leistung P A : η= P N P A Wegen der stets auftretenden Verluste ist η < 1. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

65 2.5 Leistung und Wirkungsgrad Beispiel: Ein PKW fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit v von 60 km/h auf ebener Straße. Die Motorleistung P A beträgt 30 kw. Der Wirkungsgrad η hat einen Wert von 0,8. Wie groß ist die Antriebskraft F? Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM

66 2.5 Leistung und Wirkungsgrad Für die Nutzleistung gilt: Daraus folgt: P N =F v η= F v P A η P A v =F Zahlenwert: F = 0, Nm/s 60/3,6 m /s =1,44 kn Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM