Was ist eine Gleichung?

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1 Was ist eine Gleichung? Eine Gleichung ist eine Behauptung. Allerdings nicht irgendeine Behauptung, sondern die Behauptung, dass zwei Dinge gleich sind. Die zwei ''Dinge'' enthalten ein oder mehrere Symbole ( Buchstaben = Variablen), die für Zahlen stehen, auf die man sich vorerst nicht festlegen will. Einfache Gleichungen können durch Anwendung systematischer Methoden gelöst werden. Eine Gleichung in einer Variablen (= Unbekannten) x ist eine ''Behauptung'' der Form Linke Seite = Rechte Seite wobei Linke Seite und Rechte Seite Terme sind, die von x abhängen. Dabei steht die Variable x für ein - zunächst beliebiges - Element einer Menge G (Grundmenge), die zusätzlich zur Gleichung angegeben sein kann. Eine Lösung der Gleichung ist ein Element x Î G, für welches die ''Behauptung'' Linke Seite = Rechte Seite eine wahre Aussage ergibt. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heisst Lösungsmenge und wird üblicherweise mit L bezeichnet. Sie kann ein oder mehrere (sogar unendlich viele) Elemente enthalten oder auch leer sein. Achtung: Die Variable (Unbekannte) wird zwar oft x genannt, kann aber auch mit anderen Buchstaben bezeichnet werden. 1. Beispiel: x + 2 = 5 Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn x eine Zahl ist, deren Summe mit der Zahl 2 die Zahl 5 ergibt. Es gibt nur eine Zahl x, die diese Eigenschaft hat, nämlich die Zahl 3. Sie ist daher die (einzige) Lösung. Die Lösungsmenge ist L = {3}. (Die kurze Schreib- oder Sprechweise dafür ist: ''Die Lösung der Gleichung ist x = 3.'') 2. Beispiel: n + 1 = n Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn n eine natürliche Zahl ist, deren Summe mit der Zahl 1 wieder sie selbst ist. Das ist natürlich für keine Zahl der Fall: die ''Behauptung'' ist immer falsch. Folglich hat die Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer, L = { }. Manche Gleichungen lassen sich leicht lösen. Die wichtigste Lösungstechnik besteht darin, Gleichungen so verändern, dass die ''Behauptung'', die sie darstellen, bestehen bleibt. Solche Veränderungen heißen Äquivalenzumformungen. Eine Äquivalenzumformung besteht darin, die linke und die rechte Seite einer Gleichung auf gleiche Weise abzuändern. Diese Änderung muss allerdings umkehrbar sein: es muss möglich sein, die ursprüngliche Gleichung durch eine weitere Umformung zurück zu gewinnen. Dann enthalten die ursprüngliche und die veränderte Gleichung dieselbe Information (sie sind zueinander ''äquivalent'') und haben dieselbe Lösungsmenge.

2 In der Praxis werden Äquivalenzumformungen benützt, um Gleichungen Schritt für Schritt zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern. Bei linearen Gleichungen gelingt es immer, nach wenigen Schritten zu einer Gleichung zu gelangen, welche die Lösung unmittelbar angibt. Die wichtigsten Äquivalenzumformungen sind: Zu beiden Seiten einer Gleichung denselben Term addieren. (Spezialfall: auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren). Beide Seiten mit demselben Term (der immer von Null verschieden sein muss) multiplizieren. (Spezialfall: beide Seiten mit einer von Null verschiedenen Zahl multiplizieren oder durch eine solche zu dividieren). Alle diese Umformungen können wieder rückgängig gemacht werden und verändern den Informationsgehalt einer Gleichung nicht. Zur Dokumentation des Lösungswegs ist es üblich, die Veränderungen, die an einer Gleichung im nächsten Schritt vorgenommen werden, rechts davon, nach einem senkrechten Strich, zu notieren. Beispiel: Gegebene Gleichung: 2 x - 3 = x Lösungsweg: 2 x - 3 = x + 3 (zu beiden Seiten wird die Zahl 3 addiert) 2 x = x x (von beiden Seiten wird der Term x subtrahiert) x = 3 (hier haben wir die Lösung!) Dieser Lösungsweg fördert also zusätzlich zur gegebenen Gleichung noch zwei andere Gleichungen zutage, die dieselbe Lösungsmenge besitzen. Alle drei Gleichungen sind gewissermaßen nur ''Versionen'' voneinander. Die letzte Gleichung ist so einfach, dass sie uns die Lösung direkt angibt. Damit haben wir die gegebene Gleichung gelöst. Die Lösungsmenge ist L = {3}. Warnung: Das Quadrieren beider Seiten einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung! Beispiel: x = 2 ist eine sehr einfache Gleichung mit Lösungsmenge L = {2}. Werden beide Seiten quadriert, ergibt sich die Gleichung x 2 = 4. (Diese haben wir oben in der Form r 2 = 4 bereits als Beispiel angeführt). Sie hat die Lösungsmenge L = {-2, 2}. Also: die Gleichungen x = 2 und x 2 = 4 haben nicht dieselbe Lösungsmenge! Warnung: Beide Seiten einer Gleichung mit Null zu multiplizieren ist keine Äquivalenzumformung, denn dies macht aus jeder Gleichung die Aussage 0 = 0, woraus die ursprüngliche Gleichung nicht wieder zurückgewonnen werden kann. Aus ihr kann auch keinerlei Rückschluss auf die Lösung(en) der ursprünglichen Gleichung gezogen werden.