Serie 6 - Funktionen II + Differentialrechnung
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- Helene Krüger
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1 Analysis D-BAUG Dr. Meike Akvel HS 05 Serie 6 - Funktionen II + Differentialrechnung. a) Sei Lösung 3, falls < 0, f : R R, f) c +, falls 0, + 8, falls >. Bestimmen Sie c R un R, so ass f überall stetig ist. b) Sei g : R R ie Funktion gegeben urch { b g) b, falls b, 0, falls b. i. Eistiert gb)? ii. Eistiert er Grenzwert lim b g)? iii. Ist g) stetig im Punkt b? a) Polynomfunktionen un ie Wurzelfunktion sin stetig. Daher bleibt Stetigkeit in en Punkten 0 0 un 0 zu prüfen. Es muss jeweils gelten: Wir haben für 0 0 lim 0 f) f 0 ) lim 0 f). lim f) lim lim f) lim c + f0), 0 0 also. Für 0 erhalten wir c + 3 un folglich ist f stetig für c 4 un. b) i. Der Funktionswert ist efiniert urch gb) 0. ii. Wir berechnen b lim g) lim b b b lim + b) b) lim + b b. b b b iii. Die Funktion g ist stetig in b falls lim b g) gb), also nur für b 0.. Zwischenwertsatz) a) Zeigen Sie, ass ie Gleichung eine Lösung in [ π 4, π 4 ] hat. sin sin cos
2 Lösung b) Seien a, b R mit a < b un f : [a, b] [a, b] eine stetige Funktion. Zeigen Sie, ass f einen Fipunkt hat. c) Challenge. Es sei f : [0, ] R stetig mit f0) f). Zeigen Sie: c [0, ] mit fc) fc + ). a) Wir efinieren ie stetige Hilfsfunktion h: [ π 4, π 4 ] R urch h) sin sin. cos Die Hilfsfunktion haben wir so gewählt, ass ie Nullstellen von h genau obige Gleichung erfüllen. Wir müssen also zeigen, ass h minestens eine Nullstelle besitzt. Es gilt h π 4 ) + > 0 un h π 4 ) < 0. Null liegt also in [h π 4 ), h π 4 )] un nach em Zwischenwertsatz gibt es ein [ π 4, π 4 ] mit h) 0. Für ieses gilt nun sin sin cos. b) Wir suchen ein [a, b] mit f). Wieerum konstruieren wir eine passene Hilfsfunktion. Definiere h) f). Da a f) b haben wir ha) fa) a a a 0 hb) fb) b b b 0. Es eistiert also nach em Zwischenwertsatz ein [a, b] mit h) f) 0,.h. f). c) Unsere Hilfsfunktion lautet h) f) f + ). Beachte, ass h nur auf [0, ] efiniert ist. Wir berechnen h0) f0) f) h) f) f) f) f0) h0). Folglich gilt h0) 0 h) oer h) 0 h0) un mit em Zwischenwertsatz gibt es ein c [0, ] mit hc) 0 un somit fc) fc + ). 3. Mittelwertsatz) a) Leiten Sie en Mittelwertsatz aus em Satz von Rolle her: Mittelwertsatz. Sei f : [a, b] R eine stetige Funktion, ie auf a, b) ifferenzierbar ist. Dann eistiert ein c a, b) mit f c) fb) fa).
3 Lösung b) Sei f : [a, b] R eine stetige Funktion, ie auf a, b) ifferenzierbar ist. Beweisen Sie: a, b) : f ) 0 f konstant c) Seien f, g : [a, b] R zwei stetige Funktionen, ie auf a, b) ifferenzierbar sin. Beweisen Sie: a, b) : f ) g ) c R s.. [a, b] : f) g) + c a) Die Gerae urch a, fa)) un b, fb)) ist gegeben urch g) fa) + a fb) fa)). Betrachte nun ie Funktion h) f) g) mit ha) hb) 0. Nach em Satz von Rolle eistiert ein c a, b) mit h c) 0, also f c) g c) fb) fa). b) Falls f nicht konstant ist, so eistieren zwei Punkte c, [a, b] mit c < un fc) f). Nach em Mittelwertsatz eistier also ein [c, ] mit f ) f) fc) c Dies ist ein Wierspruch. Also muss f konstant sein. c) Betrachte ie Hilfsfunktion h) f) g). Für alle [a, b] gilt nach Voraussetzung h ) 0. Aus Teilaufgabe b) folgt nun h) c für ein c R, also f) g) + c Repetition. Berechnen Sie ie Ableitungen er folgenen Funktionen: Lösung a) f) sin b) f) +3 c) f) sin ) f) e e) f) tan ) f) f) ln ) g) f) tan + h) f) + + 3
4 a) b) c) ) e) f) g) sin ) sin + cos Prouktregel) + 3) ) ) + 3) ) cos sin sin e ) e Kettenregel) tan ) ) tan ) ) ln )) + tan + 3) Kettenregel) Kettenregel oer Quotientenregel) cos sin cos 3 ln ln Kettenr.) Quotientenr.) Kettenregel, Abl. von tan ) Kettenregel un Ableitung von ln ) cos + cos + ) ) ) ) cos + ) + ) + ) ) ) }{{ } ) h) + ) Kettenr.) + Kettenr.) ) + ) ) + ) Bestimmen Sie ie Werte er Konstanten a un b so, ass f) a + b im Punkt, ) ein globales Maimum hat. 4
5 Lösung Es muss folgenes gelten: f) a + b f ) a + b 0 f ) a < 0 Aus en ersten beien Gleichungen folgt a < 0) un b 4. Somit hat f) + 4 ein globales Maimum in, ). 6. Skizzieren Sie en Graphen einer zweimal ifferenzierbaren Funktion y f), ie folgene Eigenschaften besitzt: y Ableitungen < y < 0, y > 0 y 0, y > 0 < < 4 y > 0, y > y > 0, y 0 4 < < 6 y > 0, y < y 0, y < 0 > 6 y < 0, y < 0 Markieren Sie nach Möglichkeiten bestimmte Punkte in ihrem Koorinatensystem un ientifizieren Sie ie Intervalle, auf enen ie Funktion monoton, konve oer konkav ist. Lösung Der Graph könnte folgenermassen aussehen: Im Punkt, ) hat ie Funktion ein lokales Minimum, im Punkt 4, 4) einen Wenepunkt un im Punkt 6, 7) ein lokales Maimum. Für < un > 6 ist ie Funktion streng monoton fallen un auf, 6) streng monoton wachsen. Für < 4 ist sie konve un für > 4 konkav. 5
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