Digitale Signalverarbeitungssysteme II: Praktikum 2

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1 Digitale Signalverarbeitungssysteme II: Praktikum 2 Emil Matus 10. Dezember 2010 Technische Universität Dresden Mobile Communications Systems Chair Tel.: Fax : Mail: matus@ifn.et.tu-dresden.de WEB : 1

2 1 Der digitale harmonische Oszillator (DHO) 1.1 Einführung Digitaler harmonischer Oszillator ist ein Grundbaustein der Signalverarbeitung. Für die Generierung der harmonischen Signalen kann man an viele Verfahren zurückgreifen wobei die einzelne Methoden unterschieden sich in: Algorithmischer Komplexität z.b. Anzahl der Operationen, die für die Berechnung eines Abtastwertes erforderlich sind, Ressource-Anforderungen z.b. Speicheranforderungen, typ der arithmetischen Einheiten Frequenzgenauigkeit d.h. Signals ist wie genau die Frequenz des generierten Frequenzsauberkeit (Klirrfaktor) d.h. in wie weit das generierte Signal frei von Störkomponenten ist z.b. harmonischen Wellen, Rauschen Frequenzstabilität Jede Applikation erfordert bezüglich obengenannten Kriterien ein anderen Verfahren Liste einiger Verfahren: 1. Polynomaproximation mittels Taylorsche Reihe im Punkt t = t 0 : sin(t) = a 0 + a 1 (t t 0 ) + a 2 (t t 0 ) Beispiel für t 0 = 0: sin(t) = t t 3 /6 + t 5 /120 t 7 / Look-up Tabelle: Abgetastete sin() Funktion liegt im Speicher und die gewünschte Signalwerte werden aus den gespeicherten Werten Interpoliert 3. Komplexe Oszillator: Rekursive Berechnung der Punkten auf dem Einheitskreis in Komplexer Ebene z n = e jt Die Rotation des Vectors z n = e jt um Phase t erzielt man durch komplexe Multiplikation mit der Konstante e j t, also z n+1 = e jt.e j t = e j(t+ t) = z n.e j t 4. IIR Filter 2-Ordnung: IIR Filter mit konjugiert komplexen PST auf dem Einheitskreis p 1 = e jω0 = p 2 Übertragungsfunktion: H(z) = 1 cos(ω 0 )z cos(Ω 0 )z 1 + z 2 (1.1) 1.2 Aufgaben A1.1: Übertragungsfunktion H(z) Ableitung der Übertragungsfunktion (1.1) für DHO mit der Kreisfrequenz Ω 0 2

3 DHO ist modeliert als IIR System, der nach der Anregung mit einem Einheitsimpuls δ(n) am Eingang ein Ausgangssignal y(n) = cos(ω 0 n) generiert d.h. y(n) = x(n) h(n) = δ(n) h(n) = cos(ω 0 n) Es folgt, dass h(n) = cos(ω 0 n) die Impulsantwort des IIR Filter ist. 1. Beschreiben Sie h(n) als Überlagerung zwei exponentielen Folgen e jω0n und e jω0n : h(n) = f(e jω0n, e jω0n ) = (1.2) 2. Wie lautet die Z-Transformation von (1.2). Bemerkung: nutzen Sie dabei die Formel für die Summe unendlicher geometrischer Reihe s=1/(1-q) aus. Verifizieren Sie ihr Ergebniss mit (1.1). H(z) = h(n)z 1 = (1.3) n=0 3. Bestimmen Sie die Filterkoeffizienten aus H(z) in (1.3) a 0 = (1.4) a 1 = a 2 = b 0 = b 1 = 4. Bestimmen Sie aus (1.3) die Differenzengleichung des Systems: y(n) = 5. Zeichnen Sie Signalflussgraph (Kanonische Form) für die Realisierung vom IIR Filter (1.3) 6. Wie viele Operationen sind fuer die Berechnung eines Ausgangswertes notwendig? (a) Multiplikationen: (b) Additionen: A1.2: DHO Entwurf Entwerfen Sie nun DHO mit der Frequenz f 0 = 697 Hz wobei die Abtastfrequenz f A = 8 khz ist. 1. Berechnen Sie normierte Kreisfrequenzen und Abtastperiode Ω 0 = π. Ω A = 2π T A = [ms] 3

4 2. Bestimmen Sie die Filterkoeffizienten mit (1.4) b 0 = b 1 = a 0 = a 1 = a 2 = 3. Bestimmen Sie die NST und PST des Systems und Zeichnen Sie NST-PST Plan mit der Funktion zplane(). p 1 = p 2 = n 1 = n 2 = 4. Geben Sie die Formel für die Bestimmung der Anzahl der Abtastwerten in einer Periode des generierten Signals an und Berechnen Sie den Wert L = 5. Mit dem entworfenen DHO System generieren Sie jetzt im Matlab harmonisches Signal mit dem Dauer T = 40ms. (a) Geben Sie die Formel und Wert für die Anzahl der Abtastwerten N im Zeitinterval T N= (b) Erzeugen Sie Einheitsimpuls-Eingangssignal x(n) = δ(n): x=zeros(1,n);x(1)=1; (c) Erstellen Sie die Koeffizientenvektoren: a=[a0 a1 a2]; b=[b0 b1]; (d) Berechnen Sie Ausgangsignal y(n) = h(n) x(n): y=filter(b,a,x); (e) Darstellen Sie Signal y(n) : n=0:(length(y)-1); plot(n,y); oder stem(n,y); (f) Beschriften Sie die Achsen: xlabel, ylabel 6. Berechnen Sie DFT Y (k) von y(n) und darstellen Sie den Amplitudengang: W=2*(0:N-1)/N; % Freq. Axis Y=abs(fft(y)); stem(w,y); xlabel( \Omega/\pi ); ylabel( Y(e^{j\Omega}) ); 4

5 Figure 2.1: Zuordnung der Frequenz-paaren bei DTMF 7. Laut Theorie sollte Amplitudengang des harmonischen Signals im Interval Ω (0, 2π) nur zwei Linien bei Frequenzen Ω 0 und 2π Ω 0 aufweisen und bei anderen Frequenzen sollten die Amplituden gleich Null sein. (a) Erklären Sie, warum ist es in Ihrem Fall nicht so. (Leck-Effekt) (b) Wie viele Zeitpunkte M vom Signal y(n) sollte man für DFT Berechnung nehmen um nur 2 Linien im Spektrum zu bekommen? M= (c) Welche Bedingung bezüglich M, f 0, f A, für diesen Fall gelten soll: M = (d) Berechnen und Darstellen Sie den Amplitudengang für den von Ihen ausgewählten Parameter M so, dass kein Leck-Effekt auftritt. W=2*(0:M-1)/M; % Freq. Axis stem(w,abs(fft(y(1:m)))); % Signal Laenge M xlabel( \Omega/\pi ); ylabel( Y(e^{j\Omega}) ); 2 Spektralanalyse 2.1 Einführung Bei analoger Telefonie wird das Mehrfrequenzwahlverfahren (DTMF) angesetzt (Abb.2.1). Nach betätigen einer Taste wird die Taste als Tonpaar kodiert und ein Zwei-Frequenzen-Signal mit Mindestdauer 40ms wird gesendet. Eine maximale Frequenzabweichung soll nicht kleiner als 1,8% sein. Nehmen wir an, das DTMF Signal wird Erzeugt mit der Abtastfrequenz f A = 8kHz und T A = 1/f A. Bei der Detektion ist es notwendig die einzelnen Frequenzen zuverläsig zu unterscheiden. Ziel dieser Aufgabe ist es die Eigenschaften der DFT bei Frequenzanalyse der DTMF Signalen zu analysieren. 5

6 2.2 Aufgaben A2.1: DTMF Signale Nehmen wir an ein Testsignal der aus zwei harmonischen Folgen mit Frequenzen f 0 = 697 Hz und f 1 = 770 Hz besteht: x(nt A ) = cos(2πf 0 nt A )+ cos(2πf 1 nt A ) 1. Berechnen Sie normierte Kreisfrequenzen und Abtastperiode Ω 0 = π. Ω 1 = π. Ω A = π.2 T A = [ms] 2. Generieren Sie im Matlab harmonische Signalfolge die dem Zeitdauer T = 40ms entspricht. (a) Geben Sie Formel und berechnen Sie die Anzahl der Abtastwerten N im Zeitinterval T N= (b) Mit dem Verfahren in A1.2-4 erzeugen sie die Signalfolgen y 0 (n) = cos(ω 0 n), y 1 (n) = cos(ω 1 n) und y(n) = y 0 (n) + y 1 (n) der Länge N i. Bestimmen Sie die Filterkoeffizientenvektoren der zwei DHO mit den Frequenzen f 0 und f 1 : - DHO 0: - DHO 1: a0 = [...] = b0 = [...] = a1 = [...] = (c) Berechnen Sie die Ausgangsignale x= y0=filter(b0,a0,x); y1=filter(b1,a1,x); y=y0+y1; b1 = [...] = (d) Darstellen Sie die Signale y 0 (n), y 1 (n), y(n) = y 0 (n) + y 1 (n): n= subplot(3,1,1); stem(n,y0); subplot(3,1,2); stem(n,y1); subplot(3,1,3); stem(n,y); 6

7 3. Frequenzgang des Signals y(n) wird mit der DFT der Länge N bestimmt (a) Vervollständigen Sie die Formel und berechnen Sie den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien - DFT Spektralauflösung Ω = 2π. (b) Wie gross muss die DFT-Mindestlänge N min sein (Formel und Wert) damit man den Abstand zwischen zwei DTMF-Tönen nicht unterschreitet N min = (c) Wie groß muss die kleinste DFT-Länge N max, N min < N max < N, wenn man die DFT mit radix-2 FFT und zero-padding realisieren würde N max = (d) Bestimmen und darstellen Sie den Amplitudengang von y(n) mit der DFTs der Längen N, N min und N max subplot(3,1,1); Y=abs(fft(y)); W=2*(0:N-1)/N; stem(w,y); subplot(3,1,2); Ymin=...; W=2*(0:Nmin-1)/Nmin; stem(w,ymin); subplot(3,1,3); Ymax=...; W=2*(0:Nmax-1)/Nmax; stem(w,ymax); 4. Fensterung bei der Kurtzzeit-Spektralanalyse y(n).w(n) führt zum Verschmieren des zu messenden Spektrums (Faltung im Frequenzbereich Y W ) und somit wird die spektrale Auflösung beeinflußt. Grad der Verschmierung ist von den Eigenschaften der Fenstrungfunktion abhängig. Nehmen wir an, dass der Maß für spektrale Auflösung Ω w ist definiert als die halbe Breite der Hauptschwinge des Amplitudenganges W (e jω ) der Fensterfunktion w(n). (a) Berechnen und darstellen Sie den Amplitudengang des Blackmanfensters ( w=blackman(...) ) (b) Bestimmen Sie die spektrale Auflösung des Blackmanfensters für Fensterlänge N, N min und N max N : Ω w = π. N min : Ω w = π. N max : Ω w = π. 5. Wiederholen Sie die Berechnung der DFT im Punkt-3 für N, N min und N max mit der Signalgewichtung mit einem Blackman-Fenster. (a) Erklären Sie, welche Auswirkung ergeben sich durch die Fensterung? Wird die Erkennung der Töne mit Fensterung erleichtert? 7

8 (b) Bestimmen Sie dafür Frequenzabstatnd der Töne Ω 01 = Ω 1 Ω 0, Frequenzauflösung der DFT Ω und vergleichen Sie es mit der Spektralauflösung des Blackmanfensters Ω w Ω 01 = π. Ω = π. (c) Untersuchen Sie wie ändert sich die 2-Tonerkennung wenn man DFT der Länge N z = 1024 (mit zero-padding) ohne und mit Fensterung (Blackman-Fenster) anwendet. Darstellen Sie die Amplitudengänge. 8