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Transkript

1 Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 $Id: komplex.tex,v.2 206/04/3 5:09:53 hk Exp $ Komplexe Zahle I diesem Kapitel wolle wir erst eimal zusammestelle was aus de vorige Semester über die komplexe Zahle bekat ist. Wir begie mit der Arithmetik der komplexe Zahle, komme da zur Kovergez komplexer Folge ud Reihe ud schließlich zur Stetigkeit ud Differezierbarkeit komplexer Fuktioe. Außerdem wolle wir die komplexe Grudfuktioe eiführe.. Die komplexe Zahle Die komplexe Zahle wurde bereits im erste Semester i I. 4.3 defiiert, ud wir wiederhole jetzt kurz was damals gemacht wurde. Als Mege der komplexe Zahle verwede wir die Ebee R 2, dabei wird der Pukt (a, b) mit x-koordiate a ud y-koordiate b als die komplexe Zahl z = a + ib aufgefasst, d.h. C = R 2 = {a + ib a, b R}. Ma et a de Realteil der komplexe Zahl z = a+ib, geschriebe als a = Re(z), ud b de Imagiärteil vo z, geschriebe als b = Im(z). Die reelle Zahle sid da streg geomme keie Teilmege der komplexe Zahle, ud um dies zu behebe deke wir us der x-achse als die reelle Zahlegerade, wir mache also keie Uterschied zwische der reelle Zahl x ud dem Pukt (x, 0) beziehugsweise der komplexe Zahle x + i 0. Damit ist eie komplexe Zahl z geau da reell we Im(z) = 0 ist. Die Additio komplexer Zahle wird da als die Additio vo Vektore der Ebee defiiert, also (a, b) + (a, b ) = (a + a, b + b ) beziehugsweise (a + ib) + (a + ib ) = a + a + i(b + b ) für alle a, b, a, b R. I adere Worte habe wir also Re(z + w) = Re(z) + Re(w) ud Im(z + w) = Im(z) + Im(w) für alle z, w C. Die reelle Zahl 0 ist auch die komplexe Null ud additive Iverse sid durch (a + ib) = ( a) + i( b) für a, b R gegebe. Die komplexe Multiplikatio ist komplizierter ud wird durch die Formel (a, b) (a, b ) = (aa bb, ab + ba ) -

2 Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 für alle a, b, a, b R defiiert. Da wird die Multiplikatio mit reelle Zahle zur gewöhliche Multiplikatio eies Skalars mit eiem Vektor, d.h. für alle a, b, c R gilt (c, 0) (a, b) = (ca, cb) = c (a, b). Die imagiäre Eiheit i ist defiiert als i := (0, ) ud wir habe i 2 = (0, ) (0, ) = (, 0) =. Außerdem passt diese Multiplikatio zur Schreibweise (a, b) = a + ib, de für alle a, b R habe wir a + ib = (a, 0) + (0, ) (b, 0) = (a, 0) + (0, b) = (a, b). Mit dieser Additio ud Multiplikatio ka ma mit komplexe Zahle ormal reche, es gelte all die gewohte Formel. Das multiplikative Iverse der komplexe Zahl 0 z = a + ib ist dabei a + ib = a ib (a + ib) (a ib) = a ib a 2 i 2 b = 2 a a 2 + b 2 i b a 2 + b 2. Diese Formel kote ma och etwas kompakter schreibe, defiiert ma de Betrag vo z als de Abstad des Puktes z = (a, b) R 2 zum Nullpukt 0 = (0, 0) ud die zu z kojugiert komplexe Zahl als so wird z := a 2 + b 2 z := a ib z = z z 2. Die komplexe Kojugatio verträgt sich mit Additio ud Multiplikatio, d.h. für alle z, w C gilt z + w = z + w ud z w = z w. Schreibe wir die Formel für de Kehrwert um, so ergibt sich auch z z = z 2 für alle z C, erst eimal für z 0 ud für z = 0 ist es ebefalls wahr. Für z, w C erhalte wir weiter zw 2 = zw zw = zw z w = zz ww = z 2 w 2 ud dies bedeutet z w = z w, bei der Multiplikatio komplexer Zahle werde ihre Beträge also miteiader multipliziert. -2

3 Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch Folge ud Reihe komplexer Zahle Kovergez ud Grezwerte komplexer Zahlefolge hatte wir auch bereits i I. eigeführt, eie komplexe Folge (z ) N kovergiert gege eie komplexe Zahl z, die da der Grezwert dieser Folge geat wird, we sie sich für ausreiched große Idizes beliebig gut a z aähert, oder i Quatoreschreibweise (ɛ > 0) ( 0 N) ( 0 ) : z z < ɛ. Kovergez ud Grezwerte kote ma a Real- ud Imagiärteil ablese, wie scho i I..2 festgehalte gilt z = z Re(z ) = Re(z) ud Im(z ) = Im(z). Wir wolle us zwei Beispiele zur Kovergez komplexer Folge aschaue. Zuächst wolle wir de Grezwert i utersuche. Hier gibt es zwei mögliche Vorgehesweise. Zum eie köe wir die Folge i ihre Real- ud ihre Imagiärteil aufteile, für jedes N reche wir mit userer obige Formel für Kehrwerte komplexer Zahle i = () () 2 + = i = i 2 + 2, die Realteile kovergiere also gege ud die Imagiärteil gege 0 ud wir habe i =. Alterativ köe wir de Erweiterugstrick auch gleich mit dem komplexe Zähler ud Neer durchführe, ohe die Folge i Real- ud Imagiärteil aufzuteile. Hier habe wir da die Rechug i + i i Dabei verwede wir das die Recheregel für Folgegrezwerte im komplexe Fall geau wie im reelle Fall gelte, geauer habe wir I..Satz 2 verwedet. Wir bespreche och ei zweites Beispiel, dieses wird sich im folgede als wichtig herausstelle. Gegebe sei eie komplexe Zahl z C ud wir betrachte die Folge (z ) N der Poteze vo z. Die Kovergez dieser Folge hägt da vo z, ud meist sogar ur vom Abstad vo z zum Nullpukt, ab. Im erste Fall ist dieser Abstad größer als, also z >. Da ist für jedes N auch z = z ud da die Poteze eier reelle Zahl größer als gege + kovergiere, ist die Folge (z ) N icht beschräkt ud damit auch icht koverget. Im zweite Fall sei z <. Da -3 =.

4 Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 ist wieder für jedes N stets z = z ud da die Poteze eie reelle Zahl 0 r < eie Nullfolge bilde ist auch (z ) N eie Nullfolge, d.h. koverget mit dem Grezwert Null. Es verbleibt der Radfall z =. Im Fall z = ist die Folge kostat ud kovergiert damit auch gege. Ist dagege z, so ist für jedes N stets z + z = z z = z > 0 ud damit ka (z ) N icht kovergiere, de aderfalls wäre (z + z ) N eie Nullfolge. Komplexe Reihe lasse sich geau wie die reelle Reihe auf de Folgebegriff zurückführe, zu eier Reihe a = a 0 + a + a 2 + bildet ma die Folge der Partialsumme s 0 = a 0, s = a 0 + a, s 2 = a 0 + a + a 2, s 3 = a 0 + a + a 2 + a 3 ud so weiter ud et die Reihe koverget we die Folge (s ) N der Partialsumme kovergiere. I diesem Fall schreibt ma da a : s. Wir bei Folge ist eie komplexe Reihe geau da koverget we die aus ihre Real- ud Imagiärteile gebildete reelle Reihe kovergiere, also z = z Re(z ) = Re(z) ud Im(z ) = Im(z). Ist sogar z < so ate ma die Reihe absolut koverget, hieraus folgte die gewöhliche Kovergez. Eies der wichtigste Beispiele eier komplexe Reihe ist dabei die sogeate geometrische Reihe, es wird eie komplexe Zahl z C vorgegebe ud die zu z gehörede geometrische Reihe ist da z. Hier lasse sich die Partialsumme explizit bereche, für jedes N erfüllt s := z k = + z + z z + z k=0 die Gleichug also habe wir ud somit wird für z z s = z + z 2 + z z + z + ( z)s = s z s = z + s = z+ z. -4

5 Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 Kovergez liegt geau da vor we (z ) N kovergiert ud da z = bereits ausgeschlosse wurde ist dies geau für z < der Fall. Bei z = ist dagege s = + diverget. Die geometrische Reihe kovergiert also geau im Fall z < ud da gilt z z + z = z. Die geometrische Reihe ist eie sogeate Potezreihe, dies meit Reihe der Form a (z z 0 ), wobei die komplexe Zahle a 0, a,... als die Koeffiziete der Potezreihe ud z 0 C als ihr Etwicklugspukt bezeichet werde. Die geometrische Reihe hat da de Etwicklugspukt z 0 = 0 ud die Koeffiziete a 0 = a = a 2 = =. Die geometrische Reihe kovergiert für alle Pukte im Iere des Kreises mit Radius r = um de Etwicklugspukt z 0 = 0 ud dieses Verhalte stellt sich als typisch für Potezreihe heraus. Ist f(z) wie obe eie beliebige Potezreihe so ka ma de Kreis mit Mittelpukt z 0 ud Radius r := sup{q 0 Die Folge ( a q ) N ist beschräkt} betrachte, de sogeate Kovergezkreis der Potezreihe f(z). Dabei köe auch die Radfälle r = 0 oder r = auftrete, im letztere Fall wird der Kovergezkreis als die gaze komplexe Ebee iterpretiert. Ist da z C eie beliebige komplexe Zahl, so kovergiert f(z) im Fall z z 0 < r, we also z im Iere des Kovergezkreises liegt, ud divergiert im Fall z z 0 > r, we also z außerhalb des Kovergezkreises liegt. Falls z geau auf dem Kovergezkreis ist, also im Fall z z 0 = r, ka f(z) kovergiere oder divergiere ud es komme beide Möglichkeite vor. Da der Radius r damit die Greze des Kovergezbereichs festlegt et ma r = r(f) auch de Kovergezradius der Potezreihe f(z). Zum Beispiel hat die geometrische Reihe auf Grud userer obige Überleguge de Kovergezradius r =. Wie wolle us och kurz a zwei Beispiele aschaue, dass die beide Radfälle r = 0 ud r = + tatsächlich auftrete köe. Dabei hat ma de Kovergezradius r = 0 we die Koeffiziete der Potezreihe zu schell wachse, zum Beispiel bei z. Ist z 0 irgedeie vo Null verschiedee komplexe Zahl, so ist für / z auch z ud somit z = ( z ), die Summade der Reihe f(z) kovergiere also icht gege Null ud f(z) ka icht kovergiere. Kovergez liegt also ur für z = 0 vor, ud der Kovergezradius vo f ist damit r = 0. -5

6 Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch 3.4 Komme wir u zum gute Radfall, bei diesem werde Koeffiziete der Potezreihe schell klei. Als ei solches Beispiel betrachte wir Zu Utersuchug der Kovergez vo f(z) bei gegebee z C verwede wir das Quotietekriterium I. 2.Satz 6 ud reche, streg geomme für z 0, z+ (+)! z z + = 0,! die Reihe f(z) ist also koverget. Damit muss der Kovergezkreis die gaze komplexe Ebee sei ud wir habe de Kovergezradius r =. Es gibt auch eie direkte Formel für de Kovergezradius z!. r(f) = sup a wobei /0 als ud / als 0 iterpretiert werde muss. Diese Formel hatte wir i I. 2.Satz 8 festgehalte. Falls a 0 für alle N gilt, oder auch a 0 für alle 0, ud falls die Folge ( a / a + ) N i R 0 kovergiert, so läßt sich der Kovergezradius auch über die Formel a a + bereche. Wir schaue us auch hierfür eiige Beispiele a, zuächst reche wir die bisherige Beispiel och eimal mit dieser Formel durch ud daach behadel wir zwei eue Potezreihe.. Betrachte die geometrische Reihe z mit de Koeffiziete a =. Die obige Formel besagt da wie scho früer eigesehe. =, 2. Nu sei z also a =. Hier ist die Wurzelformel bequemer, also r(f) = sup = 0, wie bereits obe bereche. -6

7 Mathematik für Igeieure IV, SS 206 Mittwoch Bei der Potezreihe z /! ist a = /! ud wir reche wie obe.! (+)! ( + ) = + 4. Komme wir u zu eiem eue Beispiel, der Potezreihe ( ) (z ). = Dass die Summatio hier bei = startet ist dabei kei Problem, wir köe us eie erste Summade 0 dazudeke, d.h. es sid a 0 = 0 ud a = ( ) / für. Usere Quotieteformel liefert de Kovergezradius ( ) ( ) + + =. 5. Ud ei letztes Beispiel bei dem eimal ei vo 0,, + verschiedeer Wert herauskommt 2 + z. Der Kovergezradius berechet sich als = 2. Die Potezreihe verwede wir u dafür die für usere Zwecke wichtigste Sorte komplexer Fuktioe eizuführe, hierzu fasse wir de Parameter z userer Potezreihe als ei Fuktiosargumet auf, betrachte also die Fuktio f : B r (z 0 ) C; z wobei r = r(f) der Kovergezradius vo f ist. a (z z 0 ) -7