Lernspirale zum Thema. Einführung in die Differentialrechnung. 7. Klasse. von Markus Hohenwarter und Evelyn Stepancik

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1 Lernspirale zum Thema Einführung in die Differentialrechnung von Markus Hohenwarter und Evelyn Stepancik zum Lernpfad von Gabriele Jauck und Markus Hohenwarter Themenbereich/Inhalte: Einführung in die Differentialrechnung Fachliche Voraussetzungen: Ziele: Steigung einer Geraden Lineare Funktionen Funktionsgraphen interpretieren können Grenzwert Termumformungen Sicherer Umgang mit Polynomfunktionen Alltägliche Beispiele für die Momentanrichtung nennen können. Wiederholung: Die Gleichung des Graphen einer linearen Funktion angeben können. Den Graph einer linearen Funktion zeichnen können. Die Steigung einer linearen Funktion durch zwei Punkte berechnen können. Die mittlere Änderungsrate aus gegebenen Daten bestimmen können (z.b. Temperatur) Den Differenzenquotient einer Funktion in einem Intervall bestimmen können. Den Zusammenhang zwischen Differenzenquotient und Sekantensteigung kennen. Das Problem des Übergangs von der mittleren Änderungsrate zur momentanen Änderungsrate erkennen. Den Differentialquotient als Grenzwert des Differenzenquotienten definieren können. Den Differentialquotient für ausgewählte Beispiele bestimmen können. Den Begriff der "Tangente an einen Funktionsgraphen" definieren können. Die Tangentensteigung näherungsweise berechnen können. Die Ableitung als Steigungsfunktion beschreiben können. Die Ableitung für ausgewählte Beispiele bestimmen können. Zu einem Funktionsgraphen den Graph der Ableitung angeben können. Seite

2 Methodische Voraussetzungen: Ziele: Informationen selbstständig schriftlich festhalten können mit Partner und in Gruppe arbeiten können Methoden zur Partner- und Gruppenfindung kennen Ergebnisse präsentieren können mathematische Inhalte selbstständig erarbeiten können über mathematische Inhalte sprechen können wichtige Informationen filtern und schriftlich festhalten können Eigenverantwortung beim Lernprozess stärken elektronische Lernhilfen sinnvoll nutzen können Technische Voraussetzungen: Ziele: PC mit Internetzugang oder PC mit dem installiertem Lernpfad Einführung in die Differentialrechnung Internetzugang, damit alle Übungen des Lernpfades verwendbar sind Beamer Dateien öffnen, schließen und speichern können auf einer Webseite navigieren können von Vorteil: Grundfertigkeiten im Umgang mit GeoGebra Funktionen samt Sekanten mit GeoGebra zeichnen können Ableitungen mit GeoGebra oder Derive berechnen können Interaktive Konstruktionen zur Visualisierung von Zusammenhängen und Eigenschaften nutzen können technische Anleitungen (Eingabeanweisungen) selbstständig nutzen können Seite

3 Makrospirale zur Einführung der Differentialrechnung Arbeitsinseln mit grau hinterlegter Nummer sind ausgearbeitet. Vorwissen /Voreinstellungen aktivieren A 00 Einführung: Quiz zum Einstieg (Hammerwerfen, Inline - Parcours) A 0 Wiederholung: Lineare Funktionen Neue Kenntnisse/ Verfahrensweisen erarbeiten A 0 Mittlere Änderungsrate, Differenzenquotient A 0 Sekante, Tangentenbegriff A 0 Differentialquotient, Tangente A 05 Ableitung Komplexere Anwendungs-/Transferaufgaben A 06 Ableitung einer gebrochen-rationalen Funktion (Ableitung, Übungen und ) Ausblick: Hoch- und Tiefpunkt einer Funktion (Extremwertaufgaben) Ableitungsregeln Arbeitsmittel für alle Arbeitsinseln sind PC und der Lernpfad Einführung in die Differentialrechnung sowie Heft für Mitschriften. Seite

4 Mikrospirale A0: Voreinstellungen aktivieren Schritt Lernaktivitäten der SchülerInnen Sozialform Zeit Arbeitsmittel Quiz zum Einstieg, Übung : Die beiden Rätsel zum Einstieg werden in Einzelarbeit durchgearbeitet und die Ergebnisse werden im Heft festgehalten. EA 6 Übung : Die Schüler/innen überlegen eigene Beispiele und notieren diese im Heft. EA 7 Zu zweit werden die Ergebnisse der Übung diskutiert. PA 5 Mikrospirale A: Wiederholung linearer Funktionen Schritt Lernaktivitäten der SchülerInnen Sozialform Zeit Arbeitsmittel Wiederholung linearer Funktionen: Die Übungsbeispiele und werden in Partnerarbeit durchgearbeitet und die Ergebnisse im Heft notiert. PA 0 Wettbewerb: Übung in Partnerarbeit. Zeitlimit von der Lehrperson vorgegeben. Highscore im Heft notieren. PA 0 Wettbewerb: Übung in Partnerarbeit. Zeitlimit von der Lehrperson vorgegeben. Highscore im Heft notieren. PA 8 Die Highscore Punkte der Paare und die Fehlerarten werden im Plenum verglichen. Plenum Seite

5 5 Als Hausübung kann die Übung 5 Quiz zu linearen Funktionen gegeben werden. Die Schüler/innen notieren die benötigte Zeit und den erreichten Punktestand. Mikrospirale A: Mittlere Änderungsrate, Differenzenquotient Beginn der. Unterrichtseinheit Expertenrunde: Die Schüler/innen bilden Dreiergruppen. Jede Gruppe bearbeitet eines der drei Beispiele zur mittleren Änderungsrate. Mixrunde: Die Gruppen werden neu gebildet, sodass in jeder Gruppe ein Experte für jedes Beispiel sitzt. Die verschiedenen Beispiele werden erklärt und auf Gemeinsamkeiten untersucht. Internet-Recherche mit Wikipedia: Neue Begriffe zur Differentialrechnung werden im Heft notiert. GA 0 GA 5 EA 0 Brainstorming: die gefundenen Begriffe werden mit Hilfe der Lehrperson strukturiert. Plenum 5 5 Die Definition und Ergebnisse werden im Heft notiert. EA 5 6 Übung zum Differenzenquotienten: Ergebnisse werden im Heft notiert (eventuell als Hausübung fertig machen). EA 0 Seite 5

6 Mikrospirale A: Sekante, Tangentenbegriff Beginn der. Unterrichtseinheit Ein Schüler / eine Schülerin präsentiert die Ergebnisse der Übung zum Differenzenquotient. Plenum 5 Beamer Informationssuche mit Bewegung zum Begriff Sekanten und Kurvensekante. Pro ausgehängter Information eine Gruppe. Hinweis: Die Arbeitsblätter der Schüler/innen müssen stets verdeckt hingelegt werden. EA 7 Definition Sekante, Kurvensekante x aufhängen (S. ) Lückentext (S. 0) kopieren. Übung zur Sekante: die Schüler/innen lernen GeoGebra anhand der Kurzanleitung kennen und bearbeiten die Aufgabenstellung zum Thema Sekante. PA 0 Übung: Sprung über Rampe wird mit Hilfe von GeoGebra bearbeitet. Die Datei wird gespeichert und ausgedruckt, die Ergebnisse werden im Heft notiert. PA 0 5 Ein Paar wird per Zufall gelost und stellt ihr Ergebnis der Übung vor. Plenum 5 Beamer Beginn der. Unterrichtseinheit 6 Übung: Bogen von St. Louis wird mit Hilfe von GeoGebra bearbeitet. Die Datei wird gespeichert und ausgedruckt, die Ergebnisse werden im Heft notiert. PA Ein Paar wird per Zufall gelost und stellt ihr Ergebnis der Übung vor. Tangentenbegriff: Jeder Partner bearbeitet eines der beiden Beispiele (Tangente eines Kreises / Tangente eines Funktionsgraphen). Anschließend besprechen sie ihre Ergebnisse. Plenum Beamer EA / PA 7 Seite 6

7 9 Allenfalls: Die Lehrperson erklärt die Probleme bei der Definition einer Tangente anhand der Seite im Lernpfad. Plenum 5 Beamer Mikrospirale A: Differentialquotient, Tangente Aktivierung des Begriffs Grenzwert. Schritt Lernaktivitäten der SchülerInnen Sozialform Zeit Arbeitsmittel Die Lernschritte Differentialquotient und Tangente werden in Einzelarbeit durchgeführt, dabei erarbeiten die Schüler/innen die Definitionen und Schreibweisen. Die Ergebnisse werden im Heft notiert. EA 0 In Vierergruppen werden die Definition des Differentialquotienten wiederholt und eine Stafettenpräsentation in jeder Gruppe vorbereitet. Dazu fertigen die Schüler/innen Kärtchen mit Stichwörtern (+ Skizzen) an. Eine Gruppe wird per Los gewählt und beginnt mit der Präsentation, wobei sich die Schüler/innen im Halbkreis um eine Pinwand aufstellen, an der die Kärtchen dann befestigt werden. Abschließend wird von der Lehrperson die Stafettenpräsentation ergänzt oder kommentiert. GA 5 Eventuell die beiden Schreibweisen zum Differenzund Differentialquotienten ausdrucken und mehrmals kopieren. Beginn der 5. Unterrichtseinheit Differentialquotient: Übung a in Einzelarbeit durcharbeiten und alle wichtigen Erkenntnisse im Heft festhalten. Differentialquotient: Übung a die Teilschritte abwechselnd einander gegenseitig erklären und anschließend Übung b in Partnerarbeit absolvieren. EA 0 PA 5 5 Differentialquotient: Ergebnisse der Übung b mit einem anderen Paar vergleichen. GA 5 Seite 7

8 5 Differentialquotient: Übung c anhand der Seite im Lernpfad durchführen und alle Lösungsschritte mit ihren Begründungen im Heft festhalten. Differentialquotient: Übung d in Partnerarbeit im Heft erarbeiten. Ergebnis mit einem anderen Paar vergleichen. EA 7 PA 0 6 Differentialquotient: Übung in der Unterrichtsstunde beginnen und als Hausübung fertig machen. EA 0 7 Hausübung in Partnerarbeit vergleichen eventuell kurze Präsentation PA 5 Seite 8

9 Mikrospirale A5: Ableitung Beginn der 6. Unterrichtseinheit Schritt Lernaktivitäten der SchülerInnen Sozialform Zeit Arbeitsmittel Ableitung: Definition in Einzelarbeit durcharbeiten und im Heft notieren. EA 5 Ableitung: Übung a in Partnerarbeit. Arbeitsteilung bei b (positiv / negativ). Diskussion über den Fall Steigung = 0 und c. Lernplakate werden von 6 Gruppen zu den Themen Mittlere Änderungsrate, Differenzenquotient, Sekante, Tangente, Differentialquotient, Ableitung gestaltet. Museumsrundgang: Die Gruppen mischen sich (ein Experte zu jedem Plakat in jeder Gruppe) und wandern von einem Plakat zum nächsten. Der jeweilige Experte erklärt das Plakat. PA 0 GA 5 GA 0 Hausübung: Ableitungspuzzle, eventuell auch die Übungen a/b und zur Ableitung Seite 9

10 Lückentext: Sekante Kurvensekante aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Das Wort _ (von lat. secare = schneiden) bezeichnet in der ebenen Geometrie und in der Analysis eine Gerade durch einer. Kurvensekante Allgemeiner nennt man auch eine Gerade, die durch (mindestens) zwei verschiedene Punkte einer, z.b. eines _ geht, eine Sekante. Sekantensteigung: Die der Sekante durch zwei verschiedene Punkte ( _) und ( _) des Graphen der Funktion f ist gegeben durch. Dieser Rechenausdruck wird auch als _ bezeichnet. Er spielt eine wichtige Rolle bei der Definition der _ in der Differentialrechnung. Seite 0

11 Sekante Kurvensekante aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Das Wort Sekante (von lat. secare = schneiden) bezeichnet in der ebenen Geometrie und in der Analysis eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte einer Kurve. Kurvensekante Allgemeiner nennt man auch eine Gerade, die durch (mindestens) zwei verschiedene Punkte einer Kurve, z.b. eines Funktionsgraphen geht, eine Sekante. Sekantensteigung: Die Steigung der Sekante durch zwei verschiedene Punkte (a f(a)) und (b f(b)) des Graphen der Funktion f ist gegeben durch f ( b) f ( a). b a Dieser Rechenausdruck wird auch als Differenzenquotient bezeichnet. Er spielt eine wichtige Rolle bei der Definition der Ableitung in der Differentialrechnung. Seite