FORMALE SYSTEME. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2. November Markus Krötzsch
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1 FORMALE SYSTEME 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch TU Dresden, 2. November 2017
2 Rndll Munroe, CC-BY-NC 2.5 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 2 von 32
3 Rückblick Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 3 von 32
4 Wiederholung: Reguläre Ausdrücke Reguläre Ausdrücke ls Syntx für Sprchen, die durch Opertionen us endlichen Sprchen gebildet werden Grundformen:, ɛ, für lle Σ Opertionen: Konktention, Alterntive ( ), Kleene-Stern ( ) Viele weitere Ausdrucksmittel in prktischen RegExps Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 4 von 32
5 Kleene s Theorem Stz ( Kleene s Theorem ): Eine Sprche wird genu dnn von einem regulären Ausdruck beschrieben, wenn sie von einem endlichen Automten erknnt wird. Letzte Vorlesung: regulärer Ausdruck endlicher Automt kompositionelle Methode explizite Methode Heute: endlicher Automt regulärer Ausdruck Ersetzungsmethode Dynmische Progrmmierung Stephen Cole Kleene 1978 * *) Konrd Jcobs, Erlngen, c Mthemtisches Forschungsinstitut Oberwolfch, CC-BY-SA de 2.0 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 5 von 32
6 Die Ersetzungsmethode Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 6 von 32
7 Drstellungen von Typ-3-Sprchen reguläre Grmmtik q 1 q 2 q 1 q2 regulärer Ausdruck 1) Ersetzung 2) Dyn. Prog. 1) komposit. 2) explizit DFA NFA NFA ɛ-nfa DFA NFA ɛ-nfa konstr. ɛ-elim. duler Grph Potenzm.- Syntxdigrmm Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 7 von 32
8 Drstellungen von Typ-3-Sprchen reguläre Grmmtik q 1 q 2 q 1 q2 regulärer Ausdruck 1) Ersetzung 2) Dyn. Prog. 1) komposit. 2) explizit DFA NFA NFA ɛ-nfa DFA NFA ɛ-nfa konstr. ɛ-elim. duler Grph Potenzm.- Syntxdigrmm Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 7 von 32
9 NFA regulärer Ausdruck: Vorbereitung Wir vereinfchen den NFA zunächst wie folgt: Gegeben: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Entferne lle Zustände, die von keinem Zustnd in Q 0 erreichbr sind Entferne lle Zustände, die von denen kein Zustnd in F erreichbr ist Die Menge der von einem Zustnd us erreichbren Zustände knn mit Grphlgorithmen berechnet werden, z.b. Breitensuche. Offensichtlich verändert diese Vereinfchung die Sprche nicht Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 8 von 32
10 NFA regulärer Ausdruck: Vorbereitung Wir vereinfchen den NFA zunächst wie folgt: Gegeben: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Entferne lle Zustände, die von keinem Zustnd in Q 0 erreichbr sind Entferne lle Zustände, die von denen kein Zustnd in F erreichbr ist Die Menge der von einem Zustnd us erreichbren Zustände knn mit Grphlgorithmen berechnet werden, z.b. Breitensuche. Offensichtlich verändert diese Vereinfchung die Sprche nicht Beispiel: A C E G B b D b b F b H b Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 8 von 32
11 NFA regulärer Ausdruck: Vorbereitung Wir vereinfchen den NFA zunächst wie folgt: Gegeben: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Entferne lle Zustände, die von keinem Zustnd in Q 0 erreichbr sind Entferne lle Zustände, die von denen kein Zustnd in F erreichbr ist Die Menge der von einem Zustnd us erreichbren Zustände knn mit Grphlgorithmen berechnet werden, z.b. Breitensuche. Offensichtlich verändert diese Vereinfchung die Sprche nicht Beispiel: A B b C D b b E F b G H b Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 8 von 32
12 Die Ersetzungsmethode Gegeben: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Gesucht: regulärer Ausdruck α mit L(α) = L(M) Anstz: Für jeden Zustnd q Q, berechne einen regulären Ausdruck α q für die Sprche L(α q ) = {w Σ es gibt ein q f F mit q w q f } = {w Σ δ(q, w) F } = L(M q ) mit M q = Q, Σ, δ, {q}, F Dnn gilt: L(M) = L(α q ) q Q 0 = L(α q1 α q2... α qn ) mit Q 0 = {q 1, q 2,..., q n } Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 9 von 32
13 Nottion Wir verwenden ls verllgemeinerte Alterntive: Für eine endliche Menge A = {α 1,..., α n } von regulären Ausdrücken schreiben wir α A α ls Abkürzung für α 1... α n. Wir wenden diese Nottion uch in nderen ähnlichen Fällen n, zum Beispiel für den vorigen Ausdruck: q Q 0 α q = α q1 α q2... α qn Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 10 von 32
14 Ersetzungsmethode Schwierigkeit Wie knn mn die regulären Ausdrücke α q finden? Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 11 von 32
15 Ersetzungsmethode Schwierigkeit Wie knn mn die regulären Ausdrücke α q finden? Beispiel: ohne Rekursion ist es einfch... A C E α A =, α C =, α E = ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 11 von 32
16 Ersetzungsmethode Schwierigkeit Wie knn mn die regulären Ausdrücke α q finden? Beispiel: ohne Rekursion ist es einfch... A C E α A =, α C =, α E = ɛ Beispiel: mit Rekursion ist es weniger klr... A B b α A =? b b C Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 11 von 32
17 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b b C α A =? α B =? α C =? Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32
18 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B... α B =? α C =? b C Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32
19 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C α B =? α C =? b C Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32
20 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C α B =? α C =? b C Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32
21 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C α B = α A... α C =? b C Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32
22 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C α B = α A α C... α C =? b C Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32
23 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C b C α B = α A α C bα B α C =? Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32
24 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C b C α B = α A α C bα B α C =? Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32
25 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C b C α B = α A α C bα B α C = bα B... Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32
26 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A = α B bα C b C α B = α A α C bα B α C = bα B ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32
27 Ersetzungsmethode Rekursion Idee: rekursiver Automt rekursive Definition von α q Beispiel: A B b b α A α B bα C b C α B α A α C bα B α C bα B ɛ Ein Gleichungssystem von regulären Ausdrücken! Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 12 von 32
28 Ersetzungsmethode Gleichungen Allgemein knn mn ds Gleichungssystem wie folgt beschreiben: Für einen NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F betrchten wir die folgenden Gleichungen für Ausdrücke α q mit q Q. Für jeden Zustnd q Q \ F: α q Σ p δ(q,) α p Für jeden Zustnd q F: α q ɛ Σ p δ(q,) α p Jetzt müssen wir diese Gleichungen lediglich lösen... Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 13 von 32
29 Gleichungssysteme Lösen α A α B bα C α B α A α C bα B α C bα B ɛ Wie können wir solche Gleichungssysteme lösen? Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 14 von 32
30 Gleichungssysteme Lösen α A α B bα C α B α A α C bα B α C bα B ɛ Wie können wir solche Gleichungssysteme lösen? Methode 1: Gleichungen ineinnder Einsetzen und ds Ergebnis vereinfchen Beispiel: Setzen wir die Definition von α C in die Gleichung für α A ein, so erhlten wir α A α B b(bα B ɛ) α B bbα B b ( bb)α B b. Problem: rekursive Gleichungen lssen sich so nicht vereinfchen... Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 14 von 32
31 Gleichungssysteme Lösen α A α B bα C α B α A α C bα B α C bα B ɛ Wie können wir solche Gleichungssysteme lösen? Methode 1: Gleichungen ineinnder Einsetzen und ds Ergebnis vereinfchen Beispiel: Setzen wir die Definition von α C in die Gleichung für α A ein, so erhlten wir α A α B b(bα B ɛ) α B bbα B b ( bb)α B b. Problem: rekursive Gleichungen lssen sich so nicht vereinfchen... Methode 2: Rekursive Gleichungen direkt Lösen Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 14 von 32
32 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32
33 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b (1) α 1 α 2 cα 3 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32
34 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32
35 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ (3) α 3 ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32
36 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ (3) α 3 ɛ Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32
37 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 (4) α 2 b ɛ b Arden (2) (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ (3) α 3 ɛ Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32
38 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 (4) α 2 b ɛ b Arden (2) (5) α 1 b cα 3 (4) in (1) (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ (3) α 3 ɛ Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32
39 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 (4) α 2 b ɛ b Arden (2) (5) α 1 b cα 3 (4) in (1) (6) α 1 b c (3) in (5) (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ (3) α 3 ɛ Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32
40 Beispiel: Gleichungssysteme Lösen 1 2 c b 3 (4) α 2 b ɛ b Arden (2) (5) α 1 b cα 3 (4) in (1) (6) α 1 b c (3) in (5) (1) α 1 α 2 cα 3 (2) α 2 bα 2 ɛ (3) α 3 ɛ Regel von Arden: Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. regulärer Ausdruck für NFA ist q Q 0 α q = α 1, lso b c Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 15 von 32
41 Korrektheit der Ersetzungsregel (1) Regel von Arden : Aus α βα γ mit ɛ L(β) folgt α β γ. Beweis: Wir behupten: Wenn L(α) = L(β) L(α) L(γ) mit ɛ L(β) dnn gilt L(α) = L(β) L(γ). Wir zeigen: dies gilt nicht nur für L(α), L(β) und L(γ), sondern für beliebige Sprchen L, K und H: Wenn L = KL H und ɛ K dnn L = K H Wir zeigen die beiden Richtungen der geforderten Gleichheit einzeln. nch Den N. Arden der ds Resultt 1961 publizierte; uch beknnt ls Lemm von Arden Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 16 von 32
42 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32
43 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32
44 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32
45 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Wegen L = KL H gilt KL L und H L Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32
46 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Wegen L = KL H gilt KL L und H L Wegen v H und H L gilt v L Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32
47 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Wegen L = KL H gilt KL L und H L Wegen v H und H L gilt v L Wegen v L, u n K und KL L gilt u n v L Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32
48 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Wegen L = KL H gilt KL L und H L Wegen v H und H L gilt v L Wegen v L, u n K und KL L gilt u n v L Wegen u n v L, u n 1 K und KL L gilt u n 1 u n v L Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32
49 Korrektheit der Ersetzungsregel (2) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 1: K H L Sei w K H beliebig Dnn ht w die Form u 1 u n v mit n 0, u 1,..., u n K und v H Wegen L = KL H gilt KL L und H L Wegen v H und H L gilt v L Wegen v L, u n K und KL L gilt u n v L Wegen u n v L, u n 1 K und KL L gilt u n 1 u n v L... Wegen u 2 u n v L, u 1 K und KL L gilt u 1 u n v L } {{ } w Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 17 von 32
50 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32
51 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Sei w L beliebig. Wir beweisen w K H durch Induktion über n = w. Induktionsnfng: sei n = 0 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32
52 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Sei w L beliebig. Wir beweisen w K H durch Induktion über n = w. Induktionsnfng: sei n = 0 Dnn ist w = ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32
53 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Sei w L beliebig. Wir beweisen w K H durch Induktion über n = w. Induktionsnfng: sei n = 0 Dnn ist w = ɛ Weil ɛ K gilt ɛ KL Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32
54 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Sei w L beliebig. Wir beweisen w K H durch Induktion über n = w. Induktionsnfng: sei n = 0 Dnn ist w = ɛ Weil ɛ K gilt ɛ KL D w = ɛ L und L = KL H gilt lso ɛ H Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32
55 Korrektheit der Ersetzungsregel (3) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Sei w L beliebig. Wir beweisen w K H durch Induktion über n = w. Induktionsnfng: sei n = 0 Dnn ist w = ɛ Weil ɛ K gilt ɛ KL D w = ɛ L und L = KL H gilt lso ɛ H Also gilt w K H. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 18 von 32
56 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32
57 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32
58 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32
59 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32
60 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Fll 2 w KL Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32
61 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Fll 2 w KL: Dnn gibt es u K und v L mit w = uv Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32
62 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Fll 2 w KL: Dnn gibt es u K und v L mit w = uv Wegen ɛ K ist u ɛ und lso v < w = n Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32
63 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Fll 2 w KL: Dnn gibt es u K und v L mit w = uv Wegen ɛ K ist u ɛ und lso v < w = n Lut IH gilt lso v K H Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32
64 Korrektheit der Ersetzungsregel (4) Annhme: L = KL H und ɛ K Teilbehuptung 2: L K H Induktionshypothese: Die Aussge gilt für lle Wörter v mit v < n, d.h., für jedes solches v L gilt uch v K H Induktionsschritt: sei w = n Wegen L = KL H gilt (1) w H oder (2) w KL Fll 1 w H: dnn ist w = ɛw K H Fll 2 w KL: Dnn gibt es u K und v L mit w = uv Wegen ɛ K ist u ɛ und lso v < w = n Lut IH gilt lso v K H Wegen u K gilt lso uch uv = w K H Dmit ist der Beweis bgeschlossen. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 19 von 32
65 Zusmmenfssung Ersetzungsmethode Die Umwndlung NFA regulärer Ausdruck ist lso wie folgt: (1) Vereinfche den Automten (entferne offensichtlich unnötige Zustände) (2) Bestimme ds Gleichungssystem (eine Gleichung pro Zustnd) (3) Löse ds Gleichungssystem (durch Einsetzen und Ardens Regel) (4) Gib den Ausdruck für die Sprche des NFA n (Alterntive der Ausdrücke für lle Anfngszustände) Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 20 von 32
66 Ermittlung regulärer Ausdrücke durch dynmische Progrmmierung Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 21 von 32
67 Drstellungen von Typ-3-Sprchen reguläre Grmmtik q 1 q 2 q 1 q2 regulärer Ausdruck 1) Ersetzung 2) Dyn. Prog. 1) komposit. 2) explizit DFA NFA NFA ɛ-nfa DFA NFA ɛ-nfa konstr. ɛ-elim. duler Grph Potenzm.- Syntxdigrmm Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 22 von 32
68 Idee Gegeben: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Gesucht: regulärer Ausdruck α mit L(α) = L(M) Anstz: Für jedes Pr von Zuständen q, p Q, berechne einen regulären Ausdruck α q,p für die Sprche L(α q,p) = {w Σ q w p} = {w Σ p δ(q, w)} = L(M q,p) mit M q,p = Q, Σ, δ, {q}, {p} Dnn gilt: L(M) = L(α q,p) = L q Q 0 p F q Q 0 p F α q,p Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 23 von 32
69 Dynmische Ermittlung von α q,p Gegeben: NFA M = Q, Σ, δ, Q 0, F Annhme: Zustände sind nummeriert: Q = {q 1,..., q n } (o.b.d.a.) Gegeben M, Zhlen i, j {1,..., n} und eine Zhl k {0, 1,..., n} definieren wir die Sprche L k [i, j] ls die Menge ller Wörter w = 1 l für die gilt: 1 2 l 1 l es gibt einen Luf q i p1... pl 1 qj, wobei für jeden Zwischenzustnd p i mit i {1,..., l 1} gilt p i {q 1,..., q k } Gesucht: Reguläre Ausdrücke α k [i, j] mit L(α k [i, j]) = L k [i, j]. Wir wollen dynmische Progrmmierung nwenden, um α k [i, j] für immer größere Werte k zu berechnen. Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 24 von 32
70 Der Fll k = n Gegeben M, Zhlen i, j {1,..., n} und eine Zhl k {0, 1,..., n} definieren wir die Sprche L k [i, j] ls die Menge ller Wörter w = 1 l für die gilt: 1 2 l 1 l es gibt einen Luf q i p1... pl 1 qj, wobei für jeden Zwischenzustnd p i mit i {1,..., l 1} gilt p i {q 1,..., q k } Für k = n ist die zweite Bedingung immer erfüllt, d {q 1,..., q n } = Q L n [i, j] ist die Menge ller Wörter zwischen q i und q j α n [i, j] = α qi,q j sind die regulären Ausdrücke, us denen wir letztlich die Lösung ermitteln wollen Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 25 von 32
71 Der Fll k = 0 Gegeben M, Zhlen i, j {1,..., n} und eine Zhl k {0, 1,..., n} definieren wir die Sprche L k [i, j] ls die Menge ller Wörter w = 1 l für die gilt: 1 2 l 1 l es gibt einen Luf q i p1... pl 1 qj, wobei für jeden Zwischenzustnd p i mit i {1,..., l 1} gilt p i {q 1,..., q k } Für k = 0 knn die zweite Bedingung für keinen Zustnd p i erfüllt werden L 0 [i, j] beruht nur uf Läufen ohne Zwischenzustände Flls i j, dnn kommen nur Läufe q i qj in Frge Flls i = j, dnn kommen Läufe q i qi (w = ) oder q i (w = ɛ) in Frge reguläre Ausdrücke α 0 [i, j] können direkt us M bgelesen werden Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 26 von 32
72 Die regulären Ausdrücke α 0 [i, j] Für k = 0 können wir α 0 [i, j] direkt us M blesen: Sei { 1,..., m } = { Σ q i Übergängen von q i zu q j. qj } die Menge der Beschriftungen von direkten Flls i j, dnn ist α 0 [i, j] = 1... m Flls i = j, dnn ist α 0 [i, j] = 1... m ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 27 von 32
73 Die regulären Ausdrücke α k+1 [i, j] Zur Bestimmung von α k+1 [i, j] verwenden wir Ausdrücke α k [i, j ] 1 2 l 1 l es gibt einen Luf q i p1... pl 1 qj, wobei für jedes p i mit i {1,..., l 1} gilt p i {q 1,..., q k } zwei Möglichkeiten für Läufe bei k + 1: (1) kein p i ist q k+1, d.h. p i {q 1,..., q k } (2) einige p i sind q k+1 ; dnn ht der Luf die Form: q i {q 1,..., q k } q k+1 ( {q1,..., q k } q k+1 ) {q 1,..., q k } q j Teilläufe: q i q k+1 ( q k+1 q k+1 ) q k+1 q j Dher gilt: α k+1 [i, j] = α k [i, j] ( α k [i, k + 1](α k [k + 1, k + 1]) α k [k + 1, j] ) } {{ }} {{ } Fll (1) Fll (2) Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 28 von 32
74 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 Fll k = 0: c b 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32
75 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32
76 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b 3 Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32
77 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32
78 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32
79 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32
80 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ α 0 [2, 3] = 3 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32
81 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b 3 Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ α 0 [2, 3] = α 0 [3, 1] = α 0 [3, 2] = α 0 [3, 3] = ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32
82 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b 3 Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ α 0 [2, 3] = α 0 [3, 1] = α 0 [3, 2] = α 0 [3, 3] = ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32
83 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b 3 Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ α 0 [2, 3] = α 0 [3, 1] = α 0 [3, 2] = α 0 [3, 3] = ɛ Fll k = 1: α 1 [1, 1] = α 0 [1, 1] } {{ } ɛ (α 0 [1, 1](α 0 [1, 1]) α 0 [1, 1]) ɛ } {{ } ɛɛ ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32
84 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b 3 Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ α 0 [2, 3] = α 0 [3, 1] = α 0 [3, 2] = α 0 [3, 3] = ɛ Fll k = 1: α 1 [1, 1] = α 0 [1, 1] } {{ } ɛ α 1 [1, 2] = α 0 [1, 2] } {{ } (α 0 [1, 1](α 0 [1, 1]) α 0 [1, 1]) ɛ } {{ } ɛɛ ɛ (α 0 [1, 1](α 0 [1, 1]) α 0 [1, 2]) } {{ } ɛɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32
85 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (1) 1 2 c b 3 Fll k = 0: α 0 [1, 1] = ɛ α 0 [1, 2] = α 0 [1, 3] = c α 0 [2, 1] = α 0 [2, 2] = b ɛ α 0 [2, 3] = α 0 [3, 1] = α 0 [3, 2] = α 0 [3, 3] = ɛ Fll k = 1: α 1 [1, 1] = α 0 [1, 1] } {{ } ɛ α 1 [1, 2] = α 0 [1, 2] } {{ } (α 0 [1, 1](α 0 [1, 1]) α 0 [1, 1]) ɛ } {{ } ɛɛ ɛ (α 0 [1, 1](α 0 [1, 1]) α 0 [1, 2]) } {{ } ɛɛ... syntktische, ber keine semntische Änderungen α 1 [i, j] α 0 [i, j] (Grund: es gibt keine Pfde zu 1 oder von 1 zu 1) Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 29 von 32
86 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (2) 1 2 c b 3 Fll k = 1: α 1 [1, 1] ɛ α 1 [1, 2] α 1 [1, 3] c α 1 [2, 1] α 1 [2, 2] b ɛ α 1 [2, 3] α 1 [3, 1] α 1 [3, 2] α 1 [3, 3] ɛ Fll k = 2: Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 30 von 32
87 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (2) 1 2 c b 3 Fll k = 1: α 1 [1, 1] ɛ α 1 [1, 2] α 1 [1, 3] c α 1 [2, 1] α 1 [2, 2] b ɛ α 1 [2, 3] α 1 [3, 1] α 1 [3, 2] α 1 [3, 3] ɛ Fll k = 2: α 2 [1, 1] = α 1 [1, 1] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 1]) = ɛ (b ) ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 30 von 32
88 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (2) 1 2 c b 3 Fll k = 1: α 1 [1, 1] ɛ α 1 [1, 2] α 1 [1, 3] c α 1 [2, 1] α 1 [2, 2] b ɛ α 1 [2, 3] α 1 [3, 1] α 1 [3, 2] α 1 [3, 3] ɛ Fll k = 2: α 2 [1, 1] = α 1 [1, 1] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 1]) = ɛ (b ) ɛ α 2 [1, 2] = α 1 [1, 2] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 2]) = ((b ɛ) (b ɛ)) b Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 30 von 32
89 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (2) 1 2 c b 3 Fll k = 1: α 1 [1, 1] ɛ α 1 [1, 2] α 1 [1, 3] c α 1 [2, 1] α 1 [2, 2] b ɛ α 1 [2, 3] α 1 [3, 1] α 1 [3, 2] α 1 [3, 3] ɛ Fll k = 2: α 2 [1, 1] = α 1 [1, 1] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 1]) = ɛ (b ) ɛ α 2 [1, 2] = α 1 [1, 2] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 2]) = ((b ɛ) (b ɛ)) b α 2 [1, 3] = α 1 [1, 3] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 3]) = c (b ) c Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 30 von 32
90 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (2) 1 2 c b 3 Fll k = 1: α 1 [1, 1] ɛ α 1 [1, 2] α 1 [1, 3] c α 1 [2, 1] α 1 [2, 2] b ɛ α 1 [2, 3] α 1 [3, 1] α 1 [3, 2] α 1 [3, 3] ɛ Fll k = 2: α 2 [1, 1] = α 1 [1, 1] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 1]) = ɛ (b ) ɛ α 2 [1, 2] = α 1 [1, 2] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 2]) = ((b ɛ) (b ɛ)) b α 2 [1, 3] = α 1 [1, 3] (α 1 [1, 2](α 1 [2, 2]) α 1 [2, 3]) = c (b ) c... α 2 [2, 1] α 2 [2, 2] b α 2 [2, 3] α 2 [3, 1] α 2 [3, 2] α 2 [3, 3] ɛ Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 30 von 32
91 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (3) 1 2 c b 3 Fll k = 2: α 2 [1, 1] ɛ α 2 [1, 2] b α 2 [1, 3] c α 2 [2, 1] α 2 [2, 2] b α 2 [2, 3] α 2 [3, 1] α 2 [3, 2] α 2 [3, 3] ɛ Fll k = 3: Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 31 von 32
92 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (3) 1 2 c b 3 Fll k = 2: α 2 [1, 1] ɛ α 2 [1, 2] b α 2 [1, 3] c α 2 [2, 1] α 2 [2, 2] b α 2 [2, 3] α 2 [3, 1] α 2 [3, 2] α 2 [3, 3] ɛ Fll k = 3: syntktische, ber keine semntische Änderungen: α 3 [i, j] α 2 [i, j] (Grund: es gibt keine Pfde von 3 zu 3) Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 31 von 32
93 Beispiel: Dynmische Progrmmierung (3) 1 2 c b 3 Fll k = 2: α 2 [1, 1] ɛ α 2 [1, 2] b α 2 [1, 3] c α 2 [2, 1] α 2 [2, 2] b α 2 [2, 3] α 2 [3, 1] α 2 [3, 2] α 2 [3, 3] ɛ Fll k = 3: syntktische, ber keine semntische Änderungen: (Grund: es gibt keine Pfde von 3 zu 3) α 3 [i, j] α 2 [i, j] Dmit sind lle α 3 [i, j] = α n [i, j] bestimmt und wir erhlten den folgenden regulären Ausdruck für den Automten: α 3 [1, 2] α 3 [1, 3] b c Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 31 von 32
94 Zusmmenfssung und Ausblick Reguläre Ausdrücke sind eine prktisch wichtige Methode zur Beschreibung (beliebiger) regulärer Sprchen Die Ersetzungsmethode definiert und löst ein Gleichungssystem, um us einem NFA einen regulären Ausdruck zu erzeugen Die Methode der dynmischen Progrmmierung berechnet reguläre Ausdrücke für Wörter zwischen Zustndspren, wobei immer größere Teilmengen von Zwischenzuständen verwendet werden dürfen Offene Frgen: Wie ufwändig sind diese Umformungen im schlimmsten Fll? Welche Sprchen sind nicht regulär? Wie knn mn Automten systemtisch vereinfchen? Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme Folie 32 von 32
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Quadratische Funktionen
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![Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.](/thumbs/74/70413961.jpg "Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.")
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
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Reguläre Sprachen. Reguläre Ausdrücke NFAs
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Minimalität des Myhill-Nerode Automaten
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7-1 Elementare Zahlentheorie. 1 a ist quadratischer Rest modulo p, 1 falls gilt a ist quadratischer Nichtrest modulo p, 0 p a. mod p, so ist.
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