Grundbegriffe für dreiwertige Logik

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1 Grundbegriffe für dreiwertige Logik Hans Kleine Büning Universität Paderborn Syntax und Semantik Die klassische Aussagenlogik mit den Wahrheitswerten falsch und wahr bezeichnen wir im weiteren als AL. In der dreiwertigen Logik gibt es aussagenlogische Variablen, für die wir Kleinbuchstaben benutzen. Griechische Buchstaben bezeichnen Formeln. Eine Bewertung I ist eine Abbildung I : {x 1,..., x n } {0, 1, 2}, die den aussagenlogischen Variablen Wahrheitswerte zuordnet. Durch sie wird auch die Bedeutung der Junktoren festgelegt. Eine dreiwertige Logik wird durch ein Tupel beschrieben. Sei M = ({0, 1, 2}, {0}, {2}, J 1,..., J t ), dann ist {0, 1, 2} die Menge der Wahrheitswerte. 0 steht für falsch und 2 steht für wahr. J 1,..., J t sind die Junktoren, deren Bedeutung durch Wahrheitstafeln (Bewertungen) festgelegt wird. Beispiel: Sei L 3 = ({0, 1, 2}, {0}, {2},, ) mit und Für L 3 führen wir als Abkürzungen die Junktoren und wie folgt ein: 1. α β := (α β) β 2. α β := (α β) Für die Wahrheitstafeln von und ergibt sich dann und

2 Wie man sofort sieht, gelten für alle Bewertungen I(α β) = min{i(α), I(β)} und I(α β) = max{i(α), I(β)}. Im weiteren seien die Wahrheitswerte für die klassische Aussagenlogik 0 für falsch und 2 für wahr. Definition 1. Eine dreiwertige Logik M überdeckt die (klassische) zweiwertige Aussagenlogik, falls es für alle zweiwertigen Formeln α AL eine Formel β aus M gibt, so dass für jede zweiwertige Bewertung I über {0, 2} die Gleichung I(α) = I(β) gilt. Wie man sofort sieht, überdeckt die Logik L 3 die klassische Aussagenlogik. Denn und in L 3 sind, nur über 0 und 2 betrachtet, gerade die klassischen Junkturen und, mit denen man jede klassische aussagenlogische Formel beschreiben kann. Im Allgemeinen entspricht nicht jede dreiwertige Formel reduziert betrachtet auf den Wahrheitswerten 0 und 2 einer Formel in AL. Enthält beipielsweise eine dreiwertige Logik den einstelligen Junktor U definiert durch I(U(x)) = 1 für alle x {0, 1, 2}, dann ist der Junktor reduziert auf 0 und 2 keine klassische Formel. Aus der klassischen Aussagenlogik kennen wir den Begriff der funktionalen Vollständigkeit. Er besagt, dass man jede Boolesche Formel mit einigen Grundfunktionen darstellen kann. So genügen beispielsweise die Junktoren und, um jede Boolesche Funktion zu beschreiben. Jeder Formel α aus M mit den Variablen x 1,..., x n können wir eine Funktion f α wie folgt zuordnen: f α (a 1,..., a n ) := α([x 1 /a 1,..., x n /a n ]) für alle a i {0, 1, 2}. Definition 2. (Funktional vollständig) M ist funktional vollständig gdw. es für alle Funktionen F : {0, 1, 2} n {0, 1, 2} eine Formel α aus M mit f α = F gibt. Fortsetzung Beispiel: Die Logik L 3 ist nicht funktional vollständig. Dies kann man wie folgt beweisen: Wir zeigen durch eine Induktion über den Aufbau der Formeln, dass für alle Formeln α über den Variablen x 1,..., x n die folgende Eigenschaft gilt: 1 i n a i {0, 2} : f α ([x 1 /a 1,..., x n /a n ]) {0, 2}. Induktionsanfang: Für die Formeln x (Variable) gilt offensichtlich die Behauptung. Induktionsschritt: Gelte nach Induktionsvoraussetzung die Behauptung für α und β. Für σ = α gilt dann I 0,2 (σ) = I 0,2 ( α) = 2 I 0,2 (α) {0, 2} für alle Bewertungen I 0,2 über 0 und 2. Sei σ = α β, dann gilt I 0,2 (σ) = I 0,2 (α β) {0, 2}, wie man sofort aus der Wahrheitstafel für ersehen kann. 2

3 Wir erweitern nun die Logik L 3 um einen einstelligen Junktor T zu der Logik T 0 1 L 3 S = {{0, 1, 2}, {0}, {2},,, T ). Der Junktor T ist definiert durch Die Logik L 3 S überdeckt weiterhin die klassische Aussagenlogik, aber wegen T ist nicht jede Formel beschränkt auf die Werte 0 und 2 eine aussagenlogische Formel. Lemma 1. Die Logik L 3 S ist funktional vollständig. 2 Äquivalenz, Erfüllbarkeit und Folgerung Die Begriffe Tautologie, widespruchsvoll und erfüllbar aus der klassischen Logik können direkt auf die dreiwertige Logik übertragen werden. Wir ergänzen sie um eine weitere Definition für die Erfüllbarkeit. Definition 3. (Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit) 1. (Tautologie) Eine Formel α ist eine Tautologie gdw. für alle Bewertungen I gilt I(α) = (erfüllbar) Eine Formel α ist erfüllbar gdw. es eine Bewertungen I gibt mit I(α) = ({1, 2}-erfüllbar) Eine Formel α ist {1, 2}-erfüllbar gdw. es eine Bewertungen I gibt mit I(α) {1, 2}. 4. (widerspruchsvoll) Eine Formel α ist eine widerspruchsvoll gdw. für alle Bewertungen I gilt: I(α) = 0. Die aus der zweiwertigen Aussagenlogik bekannten Zusammnhänge, wie zum Beispiel - α ist eine Tautologie gdw. α widerspruchsvoll ist -, müssen nicht unbedingt mehr gelten, da sie stark von der Definition der Negation ( ) abhängen. Ebenso gilt in einer dreiwertigen Logik nicht immer die Aussage, dass α α eine Tautologie ist. Beispielweise ist für L 3 S die Formel T x T x keine Tautologie, da T immer den Wert 1 liefert, die Negation für 1 wieder 1 ergibt und der oder-junktor dann den Wert 1 besitzt. 3

4 Übungsaufgabe 1: Bitte beweisen oder widerlegen sie die folgenden Aussagen: Für jede dreiwertige Logik mit der in L 3 definierten Negation gilt: 1. α ist eine Tautologie gdw. α widerspruchsvoll ist. 2. α ist widerspruchsvoll gdw. α {1, 2}-erfüllbar ist 3. α ist {1, 2}-erfüllbar, falls α erfüllbar ist. Definition 4. (Äquivalenz) Zwei Formeln α und β sind (logisch) äquivalent gdw. für alle Bewertungen I die Beziehung I(α) = I(β) gilt. Sind zwei Formeln α und β äquivalent, dann schreiben wir dafür α β. Übungsaufgabe: Konstruieren Sie bitte zu einigen einstelligen Junktoren der dreiwertigen Logik eine äquivalente Formel in L 3 S. Mit Hilfe des Äquivalenzbegriffes können wir zeigen, dass die Logik L 3 auch über den Junktoren und eingeführt hätte sein können. Um dies zu zeigen, sei L 1 3 := ({0, 1, 2}, {0}, {2},, ). Lemma 2. α L 3 β L 1 3 : α β und α L 1 3 β L 3 : α β. Beweis. Dass L 1 3 in L 3 enthalten ist, folgt sofort, da als Abkürzung mit Hilfe von und eingeführt worden ist. Für die andere Richtung - jede Formel aus L 3 besitzt eine äquivalente Formel in L genügt es zu zeigen, dass mit Hilfe von und repräsentiert werden kann. Wie man sofort an Hand der Wahrheitstafeln erkennt, gilt α β (α β). q.e.d. Eine Einschränkung des Vollständigkeitsbegriffes betrifft nur die in der entsprechenden Logik vorkommenden Formeln. Definition 5. Sei M eine dreiwertige aussagenlogische Logik mit Junktoren J 1,..., J r. Eine Menge von Junktoren J = {J i1,..., J im } ist vollständig für M gdw. es zu jeder Formel in M eine äquivalente Formel in M gibt, die nur nit Hilfe der Junktoren aus J aufgebaut ist. Sei beispielsweise die Logik L 3 ergänzt um den Junktor, also L 2 3 := ({0, 1, 2}, {0}, {2},,, ). Dann sind die Mengen der Junktoren {, } und {, } vollständig für L 2 3. Für die klassische Logik ist bekannt, dass das Erfüllbarkeitsproblem SAT NPvollständig ist. Wie schwierig für eine dreiwertige Logik das Tautologieproblem, das Erfüllbarkeitsproblem etc. sind, muss im Einzelfall entschieden werden. So gibt es durchaus interessante Beispiele einer dreiwertigen Logik, für die das Tautologieproblem einfach zu lösen ist. 4

5 Betrachten wir beispielsweise die Logik L 3. Dann gilt die folgende Behauptung Lemma 3. Das Erfüllbarkeitsproblem SAT (L 1 3) := {α α ist erfüllbar} ist NPvollständig. Beweis. Dass das Problem in NP liegt, sieht man sofort, da nur eine Bewertung zu raten ist und dann die Erfüllbarkeit überprüft werden muss. Dies kann in polynomialer Zeit geschehen. Die NP-Vollständigkeit, d.h. das Problem gehört zu den harten Problemen in NP, kann man durch eine Reduktion auf das klassische SAT-Problem zeigen. Wir ordnen jetzt jeder Formel α aus L 1 3 die Formel α aus AL zu. D.h. in L 3 ist sie dreiwertig und in AL ist sie zweiwertig. Dann gilt: Ist I eine zweiwertige, erfüllbare Bewertung in AL, dann ist sie auch eine erfüllende Bewertung für L 1 3. Sei nun I eine Bewertung für α in L 1 3. Dann kann für einige Variablen I(x) = 1 gelten. Da I(α) = 2 ist, die Negation den Wert 1 wieder in 1 überführt und die Konjunktion nur den Wert 2 liefert, falls beide Werte 2 sind, können wir die Interpretation I verändern. Wir setzen I(x) = 0, falls I(x) = 1 war. Dann ist die so modifizierte Bewertung eine erfüllende Bewertung für α in AL. q.e.d. Übungsaufgabe: Beweisen oder widerlegen Sie bitte die Behauptung: Das {1, 2}-Erfüllbarkeitsproblem für L 3 is NP-vollständig. 2.1 Normalformen und Umformungsgesetze In der klassischen Aussagenlogik spielen Normalformen, wie die Negationsnormalform und die konjunktive Normalform eine wichtige Rolle, da sie für eine übersichtliche Darstellung und für Deduktionsverfahren, z.b. Resolution, benötigt werden. Für die dreiwertige Logik muss in jedem Einzelfall darüber nachgedacht werden, wie solche Normalformen definiert sein sollen. Für L 3 können wir die Negationsnormalform wie in der klassichen Aussagenlogik definieren; also jedes Negationszeichen steht direkt vor einer Variablen. Übungsaufgabe: Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptungen: 1. Zu jeder Formel α L 1 3 := ({0, 1, 2}, {0}, {2},, ) gibt es eine äquivalente Formel β in Negationsnormalform. 2. Zu jeder Formel α L 3 S gibt es eine äquivalente Formel β L 3 S in Negationsnormalform. In der klassischen Logik haben wir für die Transformationen in Normalformen äquivalenzerhaltende Umformsregeln zu Hilfe genommen. Diese waren unter anderem das Distributivgesetz, die de Morgansche Regel (α β) ( α β) 5

6 und die Regel α α. Für jede dreiwertige Logik müssen wir im Einzelfall überprüfe, welche Regeln weiterhin gelten. Wie wir später noch sehen werden, gibt es interessante Beispiele in der dreiwertigen Logik, die verschiedene Versionen der Negation verwenden. In diesem Fall gibt es oftmals verschiedene Definitionen der Negationsnormalform und der konjunktiven Normalform. 3 Folgerung Ein ganz zentraler Begriff für die Deduktion ist der Folgerungsbegriff. Wir stellen hier zuerst zwei Versionen vor, um einige Varianten aufzuzeigen. Definition 6. (Folgerung) 1. = 1 Für zwei Formeln α und β gilt α = 1 β gdw. für alle Bewertungen I gilt: Falls I(α) = 2, dann auch I(β) = = Für zwei Formeln α und β gilt α = β gdw. für alle Bewertungen I die Beziehung I(α) I(β) gilt. Die beiden Definitionen der Folgerung stimmen auf der klassischen Aussagenlogik überein. Für die beiden Folgerungsbegriffe und jede dreiwertige Logik M gelten aber die folgende Beziehungen. Lemma α, β M : Falls α = β, dann auch α = 1 β. 2. Es gibt eine dreiwertige Logik M für die gilt: α, β : α = 1 β und α = β. Beweis. Ad 1: Gelte α = β. Dann gilt auf Grund der Definition von =, dass für I(α) = 2 auch I(β) = 2 gelten muss. D.h. wir erhalten α = 1 β. Ad 2: Sei M = L 3 S, dann gilt T x = 1 x aber nicht T x = x wie man für I(x) = 0 sieht. Ein weiterer wichtiger Zusammnhang in der klasischen Lgik ist der Zusammenhang zwischen der Folgerung und der Äquivalenz: α β gdw. (α = β und β = α). Übungsaufgabe: Beweisen oder widerlegen Sie, dass für jede dreiwertige Logik M gilt: α, β M : α β gdw.(α = β) und β = α) Die Frage ist nun, ob der aus der klassichen Aussagenlogik bekannte Zusammenhang (α = β gdw. (α β) widerspruchsvoll ist) weiterhin gilt. 6

7 Übungsaufgabe Beweisen oder widerlegen Sie bitte für L 3 und L 3, S die folgenden Aussagen: 1. Für L 3 : α = 1 β gdw. α β ist widerspruchsvoll. 2. Für L 3, S: α = 1 β gdw. α β ist widerspruchsvoll. 3. Für L 3 : α = β gdw. α β ist widerspruchsvoll. 4. Für L 3, S: α = β gdw. α β ist widerspruchsvoll. 5. Für L 3 : α β gdw. (α = β und β = α). 6. Für L 3, S: α β gdw. (α = β und β = α). 4 Axiome und Schlussregeln Wie in der klassischen Logik beruhen eine Reihe von Deduktionsverfahren auf der Anwendung von Schlussregeln. Das Ziel der Deduktion kann sein, dass man entscheiden möchte, ob eine Formel eine Tautologie ist oder ob α = β gilt. Für die Überprüfung, ob α eine Tautologie ist, kann man den Ansatz verfolgen, der ausgehend von Axiomen mit Hilfe von Schlussregeln versucht α zu erzeugen. Wir können die Begriffe Axiom und Schlussregeln nun auf die dreiwertige Logik übertragen. Definition 7. (Formelschema) Seien φ 1,..., φ n, φ n+1,... Variable für Formeln. Ein Ausdruck gebildet mit diesen Formelvariablen und den Junktoren der Logik wird als Formelschema bezeichnet. Beispielsweise enthalte die Logik die Junktoren and, dann ist φ 1 φ 2 ein Formelschema. Sei F ein Formelschema mit den Formelvariablen φ 1,..., φ r, dann ist für konkrete Formeln σ 1,..., σ r aus M, F [φ 1 /σ 1,..., φ r /σ r ] die konkrete Formel, die durch die Substitution von φ i durch σ i entsteht. Definition 8. (Axiom, Schlussregel) 1. Ein Axiom ist ein Formelschema, für das alle Substitutionen mit konkreten Formeln eine Tautologie liefern. 2. Seien F, F 1,..., F n Formelschemata, dann ist S =< {F 1,..., F n }, {F } > eine Schlussregel gdw. für alle tautologischen Formeln F 1,..., F m die Formel F eine Taulogie ist. Es stellt sich nun die Frage, ob für jede dreiwertige Logik M, Axiome A i und Schlussregeln φ1,...,φn φ auch die Beziehungen = A i und φ 1,..., φ n = φ gelten. Übungsaufgabe: Beweisen oder widerlegen Sie bitte die Behauptung: Für die Axiome A1,..., A 4 und den Modus Ponens (MP) gilt für L 3 : 1 i 4 : = A i und α, α β = β. 7

8 Definition 9. (Endlich axiomatisierbar) M ist endlich axiomatisierbar gdw. wenn es endlich viele Axiome A 1,..., A k und Schlussregeln S 1,..., S t gibt, so dass sich genau alle tautologischen Formel aus M mit Hilfe der Axiome und der Schlussregeln herleiten lassen. Für L 3 sind die folgenden Ausdrücke Axiome, da für alle Substitutionen mit konkreten Formelnd die so erzeugten Formeln Tautologien sind: 1. A 1 : α (β α) 2. A 2 : (α β) ((β γ) (α γ)) 3. A 3 : ( β α) (α β) 4. A 4 : ((α α) α) α Eine Schlussregel ist der Modus Ponens (MP), der wie in der klassischen Logik definiert ist durch α, α β β (MP ) Für die Axiome A 1,..., A 4 und die Schlussregel MP gilt, dass jede tautologische Formel aus L 3 erzeugt werden kann. Man sagt dazu auch, dass die Axiome und die Schlussregel vollständig für L 3 sind. Da wir nur vier Axiome verwenden, ist L 3 auch endlich axiomatisierbar. Will man Schlussregeln für die Deduktion verwenden, um zum Beispiel zu entscheiden, ob α = β gilt, dann muss man näher auf den Zusammenhang zwischen der syntaktischen Herleitung von Formeln und der logischen Folgerung ( =) eingehen. Zum Beispiel können wir die Frage stellen, ob für L 3 die folgende Aussage gilt: α = β gdw. ausgehend von α die Formel β mit Hilfe des Modus Ponens (MP) hergeleitet werden kann. Ebenso kann man versuchen, die Resolution auf die jeweilige dreiwertige Logik zu übertragen. Abhängig von der definierten Logik gibt es oftmals verschiedene Definitionen der Resolution, die von der Definition der jeweiligen konujunktiven Normalform abhängig sein können. 8