Universität Karlsruhe (TH) Institut für Baustatik

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1 Univerität Karlruhe (TH) Intitut für Bautatik Berechnung der Schubpannungen au Querkraft in dünnwandigen Querchnitten mit einem programmiergerechten Verfahren W. Wagner, F. Gruttmann Mitteilung 5(2002) BAUSTATIK

2 Univerität Karlruhe (TH) Intitut für Bautatik Berechnung der Schubpannungen au Querkraft in dünnwandigen Querchnitten mit einem programmiergerechten Verfahren W. Wagner, F. Gruttmann Mitteilung 5(2002) BAUSTATIK c Prof. Dr. Ing. W. Wagner Telefon: (0721) Intitut für Bautatik Telefax: (0721) Univerität Karlruhe E mail: b@.uni-karlruhe.de Potfach 6980 Internet: Karlruhe

3 Bautatik-Baupraxi 8, cfl 2002 Intitut für Statik, TU Braunchweig Berechnung der Schubpannungen au Querkraft in dünnwandigen Querchnitten mit einem programmiergerechten Verfahren Werner Wagner und Friedrich Gruttmann Intitut für Bautatik, Univerität Karlruhe (TH), Intitut für Statik, Techniche Univerität Darmtadt uammenfaung: Die Schubpannungen in beliebig geformten Querchnitten primaticher Stäbe können für eine gegebene Normalpannungverteilung au der Integration der Gleichgewichtbedingungen gewonnen werden. Die betrachteten dünnwanndigen Querchnitte haben cheibenweie kontante Dicke, ind ont aber beliebig angeordnet. Die Einführung einer Wölbfunktion führt zu einer Differentialgleichung 2. Ordnung mit kontanten Koeffizienten. Die Löung de Randwertproblem liefert eine Elementteifigkeitbeziehung für ein weiknotenelement im Rahmen der Verchiebungmethode. Die damit berechneten Schubpannungen ind im Rahmen der gewählten Theorie exakt. Die Vorgehenweie eignet ich beonder für eine Programmierung. 1 EINLEITUNG Schubpannungen au Biegung in primatichen Stäben können au den Gleichgewichtbedingungen berechnet werden. Die Differentialgleichung enthält die Schubpannungen und die Normalpannungen, iehe z.b. [1, 2, 3]. Für beliebige dickwandige Querchnitte erhält man eine partielle Differentialgleichung, welche näherungweie mit der Methode der Finiten Elemente gelöt werden kann, z.b. [4, 5]. In dünnwandigen Querchnitten werden die Querkraftchubpannungen über die Querchnittdicke al kontant angenommen. Für mehrfach zuammenhängende Querchnitte wird üblicherweie ein Kraftgrößenverfahren angewendet. Der je elle unbekannte umlaufende Schubflu wird au Kontinuitätbedingungen gewonnen. Diee Vorgehenweie it jedoch nicht beonder für eine Programmierung geeignet. In dieem Beitrag bechreiben wir daher ein Verchiebunggrößenverfahren, welche gerade dieen Nachteil behebt und deen Umetzung im Rahmen de Programme Excel. Wir betrachten dabei gerade Stäbe unter torionfreier Biegung. Die Querkraftchubpannungen werden au der Ableitung der Wölbfunktion ermittelt. Auch hier liefert die Gleichgewichtbedingung eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit kontanten Koeffizienten. Deren Löung führt zu einer Steifigkeitmatrix

4 und einem Latvektor für ein weiknotenelement. Die berechneten Löungen ind auf der Bai der verwendeten Stabtheorie exakt und erfüllen die Spannungrandbedingungen an freien Rändern owie die Kontinuitätbedingungen an Verzweigungen von mehrfach zuammenhängenden Querchnitten. 2 TORSIONSFREIE BIEGUNG PRISMATISCHER STÄBE Wir betrachten primatiche Stäbe, unter den Annahmen der technichen Biegetheorie. Mit x oll die Stabache und mit y und z die Querchnittkoordinaten bezeichnet werden. Letztere müen keine Hauptachen ein und auch nicht durch den Schwerpunkt S gehen. Der Urprung de parallelen Koordinatenytem μy = y y und μz = z z liegt in S. Der dünnwandige Querchnitt beteht au m Scheiben und kann einfach oder mehrfach zuammenhängen. Jede Scheibe hat eine kontante Dicke h. Mit ff ei der Winkel zwichen der Scheibe und der y-ache bezeichnet. Weiterhin ei eine lokale Koordinate owie deren partielle Ableitungen nach y und z eingeführt q (μy μy 1 ) 2 +(μz μz 1 ) 2 ; ; y =coff; ; z = in ff: (1) = μy 1 ; μz 1 ind die Anfangkoordinaten der betrachteten Scheibe. Der Stab wird Biegemomenten M y und M z owie Querkräften Q y und Q z augeetzt. Weitere Kräfte bzw. Momente ind nicht vorhanden. Mit fi y (x) und fi z (x) werden nun Drehungen um die y und z w z z z h z 1 z 1 z S S y 1 y y v y S y 1 y Abbildung 1: Koordinatenyteme Achen eingeführt, während v(x) und w(x) die Querverchiebungen dartellen. Weiterhin wird die bekannte Stabkinematik um eine Wölbfunktion ~'(y; z) infolge Querchubverformungen erweitert, iehe z.b. [4]: u x = fi y (x) μz fi z (x) μy + ~'(y; z) u y = v(x) u z = w(x) : (2)

5 Die Verzerrungen werden au den partiellen Ableitungen erhalten, wobei (:::) die Ableitung bezüglich der Stabkoordinate x 0 bezeichnet " x = u x ; x = fi 0 y μz fi 0 z μy fl xy = u x ; y +u y ; x = fi z + v 0 + ~'; y fl xz = u x ; z +u z ; x = fi y + w 0 + ~'; z : (3) Die Spannungen folgen direkt au dem linearelatichen iotropen Stoffgeetz zu ff x = E i " x = E i (fi 0 y μz fi 0 z μy) fi xy = G i fl xy = G i ( fi z + v 0 + ~'; y ) fi xz = G i fl xz = G i ( fi y + w 0 + ~'; z ) : Hierin ind E i und G i der Elatizität- und Schubmodul der betrachteten Scheibe i. Weitere Spannungkomponenten ff y, ff z und fi yz werden im Rahmen der Stabtheorie zu Null geetzt. Die Einführung der Wölbfunktion ' in Verbindung mit den Subtitutionen '; y = fi z + v 0 + ~'; y '; z = fi y + w 0 + ~'; z ; (5) liefert nach Anwendung der Kettenregel mit (1) (4) fi xy = G i '; y = G i '; ; y = fi co ff fi xz = G i '; z = G i '; ; z = fi in ff: (6) Hierin tellt fi () die über den Querchnitt kontante Schubpannung dar, während mit t() der Schubflu definiert it. fi () =G i '; t() =fih: (7) Die Gleichgewichtbedingungen, formuliert in den Spannungen, können der Literatur, z.b. [1], entnommen werden. An den freien Rändern = a müen die Schubpannungen verchwinden. Hierau kann da Randwertproblem folgendermaßen definiert werden: fi; +ff 0 = G x i '; +ff 0 =0 x (8) fi ( a ) = 0 mit ff 0 = E x i (fi μz fi μy) :=n y z i (a y μy + a z μz) : (9) wobei n i = E i =E gilt und E ein Bezugmodul it. Für die Berechnung der Kontanten a y und a z werden zunächt die Querkräfte über die Biegemomente definiert Q y = M 0 = ff 0 μy da z x Q z = M 0 y = (10) ff 0 μz da; x

6 i owie mit Gl. (9) Q y = Q z = mx mx [n i (A i ) [n i (A i ) (a y μy 2 + a z μyμz) da] (a z μz 2 + a y μyμz) da] ; wobei A i die Elementfläche dartellt. Werden nun die ideellen Flächenträgheitmomente mx mx mx = [n i μz 2 da] ; I n = [n μz i μy 2 da] ; I n = [n μyμz i μyμz da] ; (12) I n μy (A i ) (A i ) (A i ) (11) eingeführt, kann da Gleichungytem (11) für die unbekannten Parameter a y gelöt werden: und a z a Q yi n μy y = Q zi n μy μz I n I n I n μy μz μy μzi n μy μz ; a Q zi n μz z = Q yi n μyμz I n I n I n μy μz μyμzi n μyμz : (13) Da Integral der Schubpannungen (6) liefert die Querkräfte mit Q y Q R z = fi xz da: = R fi xy da und 3 VERSCHIEBUNGSMETHODE Der Querchnitt wird mit m wei Knoten Elementen dikretiiert, iehe Abbildung 2. Knoten müen nur an Verzweigungen, an freien Rändern und bei Dickenprüngen angeordnet werden. Die Elementkoordinaten ind r 1 = fy 1 ;z 1 g und r 2 = fy 2 ;z 2 g. Die Länge wird mit l bezeichnet und die Dicke h it für jede Element kontant. Weiterhin wird die lokale normaliierte Koordinate 0» ο = =l» 1 eingeführt. z 2 z 2 t 2 z 1 z t 1 1 = l l y r n y 1 y 2 y Abbildung 2: wei Knoten Element Die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung (8) 1 kann exakt gelöt werden ' = ' h + ' p = c 1 + c 2 ο + c 3 ο 2 + c 4 ο 3 : (14)

7 Die Kontanten c 3 und c 4 der Partikularlöung werden mit zu berechnet. μy = μy 1 + yο μy 1 = y 1 y y = y 2 y 1 μz = μz 1 + zο μz 1 = z 1 z z = z 2 z 1 (15) c 3 = l2 2 G i n i (a y μy 1 + a z μz 1 ) c 4 = l2 6 G i n i (a y y + a z z) (16) Die Kontanten c 1 und c 2 werden durch die Freiheitgrade ' 1 = '(0) und ' 2 = '(1) c 1 = ' 1 c 2 = ' 2 ' 1 c 3 c 4 (17) auf Elementebene augedrückt. Anchließend kann der Schubflu t(ο) mit (7) und (14) wie folgt betimmt werden: t(ο) =G i h'; G ih = (c 2 +2c 3 ο +3c 4 ο 2 ) : (18) l Die Auwertung de Schubflue t(ο) an den Stellen ο =0und ο =1liefert mit (17) die Werte an den Knoten t 1 = t(0) und t 2 = t(1) " # G " # " # t1 ih 1 1 '1 = t 2 l 1 1 ' 2 t i = k i v i f i : G ih l " # c 3 c 4 c 3 2 c 4 Mit der Topologiematrix a i werden, wie in der Finite Element Methode üblich, die Beziehungen zwichen den Einzelelementen und dem Geamtytem hergetellt (19) v i = a i V T i = a T i t i : (20) Die Anzahl der Elemente von V entpricht der Anzahl der Knoten. T i bezeichnet den globalen Schubfluvektor de Element i. Da Gleichgewicht in Stablängrichtung fordert, da die Summe der Schubflüe an jedem Knoten Null ergibt. Mit Gl. (19) und (20) folgt hierau mx T i = KV F = 0 : (21) Die globale Steifigkeitmatrix K und der Latvektor F ergeben ich au bekannten Aemblierungprozeduren K = mx a T i k i a i F = mx a T i f i : (22) Da Gleichungytem (21) kann gelöt werden, wenn einem beliebigen Knoten eine Randbedingung V I =0geetzt wird. Unterchiedliche Knoten liefern jeweil andere Löungen für V, welche ich jedoch nur um eine Kontante untercheiden. Die bechreibt eine Starrkörperbewegung, die keinen Einflu auf die Schubpannungen hat.

8 Die Rückrechnung liefert mit (18) den Schubflu und mit fi (ο) = t(ο)=h die Schubpannungen für jede Element. E kann nun eine Einheitverwölbung mit R μ' da =0 durch μ' = ' 1 ' da; (23) A eingeführt werden, wobei A P m = A i gilt. Da Integral kann in einer Summe über die Elemente wie folgt berechnet werden: ' da = mx» Damit hat der beliebige Punkt I mit V I Schließlich kann ' mit (5) in der Form hl (c c c c 4) i : (24) = 0 keinen Einflu auf da Ergebni für μ'. '(y; z) =( fi z + v 0 )μy +(fi y + w 0 )μz + ~'(y; z) (25) dargetellt werden. Hierin bechreibt ~' den nichtlinearen Anteil der Wölbfunktion und deren Ableitung den nichtlinearen Teil der Schubpannungen. 4 SCHUBMITTELPUNKT Die Lage de Schubmittelpunkte M mit den Koordinaten fy M ;z M g kann au der Bedingung Q z y M Q y z M = (fi xz y fi xy z) da = fi (y in ff z co ff) da; (26) mit den Querkraftchubpannungen gemäß Gl. (6) betimmt werden. Die Integration liefert mx fiy in ff da = G i»h in ff f y 1 (c 2 + c 3 + c 4 )+ y( 1 c c c 4) g (27) owie einen analogen Audruck für R fizco ff da. ur Betimmung von M müen zwei eparate Berechnungen durchgeführt werden. So erhält man y M au Q y = 0 und Q z =1während z M au der umgekehrten Belatung folgt. Unter Verwendung der Betti Maxwell chen Reziprozitätbeziehungen hat Weber in [6] gezeigt, da die Koordinaten von Schubmittelpunkt und Drillruhepunkt identich ind, iehe auch Trefftz [7]. Darauf aufbauend können die Koordinaten y M und z M auch wie folgt ermittelt werden i I y M = Rn n I μy μz Rn n μz μyμz I n I n I n μy μz μy μzi n μy μz I z M = Rn n I μz μy Rn n μy μy μz I n I n I n μy μz μyμzi n μyμz : (28) Im Folgenden werden nun die Wölbmomente unter Verwendung der Wölbfunktion!(y; z) der Saint Venant chen Toriontheorie eingeführt: mx mx := [n i!μz da]; R n := [n μz i!μy da] : (29) R n μy (A i ) (A i )

9 u dieem weck werden die Schubpannungen au der Saint-Venant chen Torion in den Ableitungen von!(y; z) und der Verdrillung dargetellt, iehe z.b. [1] ~fi xy = G i (!; y z) = ~fi co ff ~fi xz = G i (!; z +y) = ~fi in ff: (30) Die Schubpannungen ~fi () und der zugehörige Schubflu ~t() folgen au ~fi () =G i (!; r n ) ; ~t() =~fih: (31) Die Elementkoordinaten y; z können auch in der Form y = r n in ff und z = r n co ff angegeben werden. Hierin lät ich der orthogonale Abtand r n au den Elementkoordinaten betimmen, iehe Abbildung 2 r n = ign (z n y y n z) jr n j mit r n = fy n ;z n g r n = r 1 + ο n n ; ο n = r 1 n ; n =(r 2 r 1 )=l : (32) Da Gleichgewicht in Längrichtung mit ff x 0 und die Spannungrandbedingungen der Saint Venant chen Toriontheorie lauten ~fi; = G i!; =0 ~fi ( a )=0: (33) Die Löung dieer Differentialgleichung it nun wiederum!(ο) = ~c 1 +~c 2 ο. Die Kontanten werden durch die Elementfreiheitgrade! 1 =!(0) und! 2 =!(1) in der Form ~c 1 =! 1 und ~c 2 =! 2! 1 betimmt. Au Gl. (31) 2 und mit einem linearen Verlauf von! folgt, da ~t() in jedem Element kontant it. Au der Randbedingung (33) 2 folgt für offene Teile de Querchnitt ~t 0. Daher tragen nur die gechloenen Teile de Querchnitt zur Abtragung eine Torionmomente bei. Die Berechnung von (31) 2 liefert den Schubflu an den Knoten ~t 1 = ~t(0) und ~t 2 = ~t(1) " # ( " # " # " #) ~t1 Gi h 1 1!1 r = G ~t 2 l 1 1! i h n 2 r n (34) ~t i = ~ k i ~v i ~ f i : Da weitere Vorgehen it analog zu den Gl. (20) - (22). Ohne Bechränkung der Allgemeinheit kann =1geetzt werden. Die Einheitverwölbung it al μ! =! R! da=a definiert. Au dem Verlauf!() können nun die Wölbmomente betimmt werden. E folgt R n μz = mx n i» hl f μy 1 (~c ~c 2)+ y ( 1 2 ~c ~c 2) g und ein analoger Audruck für R n μy. Daher können nun beide Koordinaten au Gl. (28) in einem Schritt berechnet werden. i (35)

10 5 BEISPIELE Die entwickelten Beziehungen wurden unter Viual Baic programmiert und laen ich al Macro unter Excel aufrufen. E werden zwei Beipiele präentiert. Während im erten Beipiel bei den Ergebnien die Umetzung in Excel präentiert wird, it im zweiten Beipiel der Einflu unterchiedlicher Materialien gezeigt. 5.1 weizelliger Querchnitt Da erte Beipiel, iehe Abbildung 3, it [2] entnommen. Da betrachtete unymmetriche Profil hat offene und zwei gechloene Bereiche. 9 Knoten und 10 Elemente ind für eine Dikretiierung notwendig. Die Berechnung erfolgt für Q z = 1000 kn und G = 1 kn/cm 2. In den nachfolgenden Abbildungen 4 und 5 ind zunächt die Programmhaupteite und die Elementierung de Sytem dargetellt. Die berechneten Ergebnie ind in den Abbildungen 6,7 und 4 angegeben. unächt zeigt Abbildung 6 die berechneten Schubpannungen. Hierbei ind jeweil auch die Maximalwerte in den Stegen ermittelt. Die Löung it exakt und timmt mit der Handrechnung in [2] überein. Die zugehörige Wölbfunktion μ' it in Abbildung 7 dargetellt, während die berechneten Querchnittwerte in Abbildung 4 folgen. z h=1,2 h=2,0 h=1,6 h=1,2 z y h=1,0 h=1,0 h=2,0 S 31, y h=1,6 h=1,0 A = 1780; 0 cm 2 I μy = ; 2 cm 4 μy M = 35; 144 cm I μz = cm 4 μz M = 19; 614 cm I μyμz = ; 9 cm 4 65, Maße in cm Abbildung 3: weizelliger Querchnitt

11 Abbildung 4: Haupteite de Excel-Programm und berechnete Querchnittwerte Abbildung 5: weizelliger Querchnitt: Sytem Abbildung 6: weizelliger Querchnitt: Schubpannungen fi () in kn/cm 2

12 Abbildung 7: weizelliger Querchnitt: Wölbfunktion μ' in cm 5.2 Verbundquerchnitt Der in Abbildung 8 dargetellte Verbundquerchnitt beteht au Stahl und Beton und it [3] entnommen. Die Verhältnie der Elatizitätmoduli und Schubmoduli ind E =E c = 5; 7 und G =G c = 5; 4. Al Bezugmodul wird E = E gewählt. Um Überchneidungen zu vermeiden wurde in [3] zwichen Betonplatte und Stahltegen ein wichenraum der Länge l = 12; 5 cm und verchwindender Dicke h eingeführt, iehe Abbildung 8. Ohne Berückichtigung der Symmetrie wird eine Dikretiierung mit 8 Knoten und 6 Elementen gewählt. Für die Knoten am Übergang wird dabei die gleiche Wölbordinate erzwungen. Die Querkraft wird zu Q y = ; 9 kn angenommen, o da ich eine Kontante a y = 1 ergibt. Die Schubmittelpunktkoordinaten werden wiederum mit Gl h= [cm] 80 h=2.5 z y h= E = kn/cm 2 I n μz = ; 9 cm 4 z S = 66; 37 cm G = kn/cm 2 z M = 71; 78 cm Abbildung 8: Verbundquerchnitt

13 (26) oder (28) ermittelt. Wegen der Symmetrie folgt y M =0. Die berechneten Schubflüe ind in Abbildung 9 dargetellt und timmen mit denen in [3] überein. Weiterhin it die Wölbfunktion μ' in Abbildung 10 dargetellt Abbildung 9: Verbundquerchnitt: Schubflu t() in kn/cm Abbildung 10: Verbundquerchnitt: Wölbfunktion μ' in cm 6 SCHLUSSFOLGERUNGEN E it ein Verchiebunggrößenverfahren für die numeriche Berechnung der Schubpannungen au Querkraft in beliebigen dünnwandigen Querchnitten entwickelt worden. Da Verfahren führt zu einfachen weiknotenelementen und lät ich ehr leicht auf einer beliebigen Programmierplattform umetzen. Die ermittelten Spannungen ind im Rahmen der zugrunde liegenden Theorie exakt. Bei mehrfach zuammenhängenden Querchnitten werden die Kontinuitätbedingungen an Verzweigungen automatich erfüllt. Weiterhin werden die Schubmittelpunktkoordinaten berechnet. Da entwickelte Verfahren wurde an au der Literatur bekannten Beipielen überprüft.

14 LITERATUR [1] Timohenko, S. P., Goodier, J. N Theory of Elaticity. London: McGraw Hill. [2] Peteren, C Stahlbau. Braunchweig, Wiebaden: Vieweg. [3] Friemann, H Schub und Torion in geraden Stäben. Düeldorf: Werner. [4] Gruttmann, F., Wagner, W., Sauer, R ur Berechnung der Schubpannungen au Querkräften in Querchnitten primaticher Stäbe mit der Methode der finiten Elemente. Bauingenieur 73: [5] Gruttmann, F., Wagner, W Shear correction factor in Timohenko beam theory for arbitrary cro-ection. Computational Mechanic 27: [6] Weber, C Übertragung de Drehmoment in Balken mit doppelflanchigem Querchnitt. AMM 6: [7] Trefftz, E Über den Schubmittelpunkt in einem durch eine Einzellat gebogenen Balken. AMM 15: