Leistungskurs Physik (Bayern): Abiturprüfung 2000 Aufgabe III Atomphysik

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1 Leistungskurs Physik (Bayern): Abiturprüfung 000 Aufgabe III Atomphysik 1. Laserbremsung eines Atomstrahls In einem Atomofen befindet sich Cäsium-Gas der Temperatur T. Die mittlere m Geschwindigkeit der Teilchen beträgt v = 300. Durch ein kleines Loch in der s Ofenwand tritt ein Strahl von Atomen in einen evakuierten Raum ein. a) Skizzieren und erläutern Sie eine Versuchsanordnung, mit der die Geschwindigkeit der Cäsium-Atome nach Verlassen des Ofens bestimmt werden kann. 7 BE b) Welche Temperatur ergibt sich für den Ofen? 5 BE Die Atome sollen nun durch Resonanzabsorption von Photonen abgebremst werden. Dabei geht ein Atom in einen angeregten Zustand über und übernimmt gleichzeitig den Photonenimpuls. Zur Abbremsung wird der Atomstrahl entgegen seiner Bewegungsrichtung mit einem gebündelten Laserstrahl der Wellenlänge λ = 85 nm beleuchtet (siehe Zeichnung). c) Welche Geschwindigkeitsänderung v erfährt ein Cäsium-Atom bei der Absorption eines Photons? [zur Kontrolle: v = 3,5mm/s] 4 BE Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Cäsium-Atome den Ofen mit der einheitlichen Geschwindigkeit v = 300 m/s verlassen. Die Teilchen werden innerhalb der Strecke s = 100 cm auf die Endgeschwindigkeit v' = 50 m/s abgebremst. Der Einfluss der Gravitation ist zu vernachlässigen. Nach einer mittleren Lebensdauer von τ = 30 ns geht ein angeregtes Cäsium-Atom unter Aussendung eines Photons wieder in den Grundzustand über und kann erneut ein Photon absorbieren. d) Erklären Sie, warum trotz des dabei auftretenden Rückstoßes nach Mittelung über viele Absorptions- und Emissionszyklen eine Abbremsung des Atoms erfolgt. Wie viele Photonen werden für die Abbremsung eines Atoms benötigt? [zur Kontrolle: N = 7, ] e) Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung und die Zeit für die Abbremsung eines Atoms längs der Strecke s auf die Geschwindigkeit v' = 50 m/s [zur Kontrolle: t= 5,7 ms] 7 BE 6 BE

2 f) Mit einem Bremslaser der Leistung 10 m W (λ = 85 nm) werden 10 7 Atome (praktisch gleichzeitig) abgebremst. Berechnen Sie, welcher Prozentsatz der vom Laser in der Bremszeit ausgesandten Photonen von den Atomen absorbiert wird. g) Ermitteln Sie unter Berücksichtigung der mittleren Lebensdauer τ des angeregten Zustands, ob man mit entsprechend intensiverer Laserstrahlung bei gleich bleibender Wellenlänge die Cäsium-Atome schon innerhalb der Strecke s' = 10 cm abbremsen könnte. Begründen Sie Ihre Antwort. 6 BE 6 BE. Eindimensionaler Potentialtopf In dem organischen Molekül β-carotin können sich Elektronen praktisch frei entlang einer Kohlenwassserstoffkette bewegen, das Molekül aber nicht verlassen. Das Verhalten dieser Elektronen kann näherungsweise durch das quantenmechanische Modell des eindimensionalen Potentialtopfs der Länge a beschrieben werden. a) Leiten Sie einen Ausdruck für die möglichen Energien eines Elektrons in einem solchen Potentialtopf her und erklären Sie den Begriff Nullpunktsenergie. h [zur Kontrolle: E n = n ] 7 BE 8m ea b) Beschreiben Sie mit einer Skizze den Verlauf der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Zustand n =. 5 BE c) Im Grundzustand sind die tiefsten der in Teilaufgabe a berechneten Energieniveaus mit jeweils Elektronen besetzt. Im Absorptionsspektrum von β-carotin findet man eine Linie mit der Wellenlänge λ = 451 nm. Diese Linie entspricht dem Übergang vom Grundzustand des Moleküls in den ersten angeregten Zustand. Berechnen Sie die Länge der Kohlenwasserstoffkette. 7 BE

3 Lösungen 1. a) Ein Cäsium-Atom kann beide Schlitze ungestört durchfliegen, wenn es zum Zurücklegen der Strecke s zwischen den beiden Scheiben die gleiche Zeit t benötigt, die für die Drehung einer Scheibe um den Winkel ϕ erforderlich ist. Für die Drehung gilt: ϕ = ω t = πf t Bewegung längs der Strecke s: s s v = ; t = eingesetzt: t v s πfs ϕ= πf ;v = v ϕ Alternativ: Versuch von Stern. b) Mittlere kinetische Energie der Atome: 3 1 mv Ekin = kt = m v ;T = 3k Die Beziehung v = 0,9 v war nicht gefordert. mv T = 3k 133 1, T = K = 480K 31, c) Die Absorption eines Photons führt zu einer Geschwindigkeitsänderung v. h p Ph = ; pcs = m v λ

4 Impulserhaltung (Beträge): h h pph = p Cs ; = m v; v = ; λ λm 6, m 3 m mm v = = 3,5 10 = 3, , s s s d) Bei Rückkehr in den Grundzustand werden die Photonen von den angeregten Atomen allseitig (isotrop) emittiert. Bei sehr vielen Zyklen treffen im Mittel auf jede Raumrichtung gleich viele emittierte Photonen. Durch die Emission gibt es deshalb im Mittel keine Geschwindigkeitsänderung. Eine Abbremsung erfolgt nur in Strahlrichtung. Anzahl N der zur Abbremsung benötigten Photonen: vges v v' N = = v v N = , ,5 10 = = 3 e) Bewegungsgleichung für das Atom: v' v v' v = as;a = s m 4 m a = = 4, s s Zeit t für die Abbremsung: v v 50 a = ; t = ; t = s= 5,7ms t a 4,4 104 f) Die Leistung des Lasers beträgt P = 10 mw Emittierte Energie in 1 s: E P = ;E = P t;e = J t Energie eines emittierten Photons: h c EPh = λ Anzahl N der pro s emittierten Photonen: E E λ N = = ; EPh h c N = = 4, ,

5 Anzahl n der in der Bremszeit t = 5,7 ms emittierten Photonen: n = N t; n = 4, ,0057 =, Zur Abbremsung von einem Atom braucht man nach 1.d) 7, Photonen. Zur Abbremsung von 10 7 Atomen braucht man also: n' = , = 7, Photonen. Prozentualer Anteil: n' 7, = =,8 10 3,8 = 0, 8% n, g) Neue Beschleunigung a' = 10 a, da die Beschleunigungsstrecke s' = s beträgt. Die jetzt benötigte Zeit t' beträgt: 10 1 t' = t; t' =5, s 10 In dieser Zeit erfolgen N Stöße mit N = 7, aus Teilaufgabe 1.d). Mittlere Zeit τ' zwischen Stößen: t 5,7 10 τ= ' ; τ= ' 4 s = 8ns< 30ns N 7,1 104 Die mittlere Lebensdauer im angeregten Zustand beträgt τ = 30 ns. Da τ' < τ bleiben die Atome zu lange im angeregten Zustand. Eine Abbremsung innerhalb der kürzeren Strecke s' ist also nicht möglich.. a) Für die Länge a des linearen Potentialtopfs gilt ( stehende Welle ): λ n h nh a = n = ;p= p a 1 p mit Eges = Ekin = mv = gilt : m nh h E ges = = n 4a m 8ma Der niedrigste Wert für E ges ergibt sich für den kleinstmöglichen Wert von n, nämlich n = 1, und heißt Nullpunktsenergie: h Eges = 8ma b) Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons ist bei a x = gleich Null, bei a 3 x = und x = a am größten

6 b) c) Wegen der Besetzung mit jeweils zwei Elektronen sind die untersten 11 Niveaus besetzt. Die Anregung erfolgt also von n = 11 auf n = 1: hc h E 1 E 11 = = (1 11 ) λ 8ma a = hλ (1 11 ) 8mc a = 6, (1 11 ) m = 1, m = 1,77 nm 8 9,