Normierte Vektorräume

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1 Normierte Vektorräume Wir betrachte im Folgede ur Vektorräume über R 1. Sei also V ei Vektorraum. Wir möchte Metrike auf V betrachte, die im folgede Sie mit der Vektorraumstruktur verträglich sid:, y, z V : d, y =d z, y z ud, y V, R : d, y = d, y Ma sagt auch, so eie Metrik sei ivariat bezüglich der Vektorraumoperatioe. Z.B. ist die atürliche euklidische Metrik im R ivariat; d, y =d z, y z bedeutet gerade, daß die beide rote Parallelogrammseite gleichlag sid. y+z +z z y Offebar ist eie ivariate Metrik auf V bereits dadurch bestimmt, daß ma die Abstäde vo Null ket, de ach obiger Regel gilt ja d, y =d, y =d 0, y. Setzt ma jetzt :=d, 0, so folgt aus de Metrikeigeschafte ud der Ivariaz: V : 0 ud =0 =0, y V, R : =, y V : y y Eie Abbildug V R, mit diese Eigeschafte et ma eie Norm auf V. Umgekehrt sieht ma sofort, daß zu eier Norm durch d, y := y eie ivariate Metrik defiiert wird, d.h. Norm ud ivariate Metrik ist letztlich dasselbe. Eie Vektorraum zusamme mit eier Norm et ma eie ormierte Vektorraum. Beispiele ormierter Vektorräume 1. R ist i atürlicher Weise Vektorraum ud der Absolutbetrag ist eie Norm auf diesem Vektorraum. 1 Die Theorie ließe sich geauso für Vektorräume über dem Körper der komplee Zahle etwickel.

2 . Auf dem R werde durch Norme defiiert. a) 1 := i b) := i c) := ma i 1 i Die Norm beschäftige. et ma auch die Euklidische Norm, mit der wir us weiter ute geauer Die obige Norme a), b), c) stehe i Beziehug zu folgeder Kostruktio: Sid V 1, 1,, V, ormierte Vektorräume, = 1,, V 1 V ud a) 1 := b) := c) := ma 1 i so erhalte wir drei Norme auf V 1 V. Die Dreiecksugleichug für die Norm b) zeigt ma übriges, idem ma Vektore 1 1,, R betrachtet ud die Dreiecksugleichug für die Norm im R beutzt, die weiter ute bewiese wird. Noch allgemeier: Sid M 1, d 1,, M, d metrische Räume ud = 1,,, y= y 1,, y M 1 M, so werde durch a) d, y := 1 d i i, y i b) d, y := d i i, y i c) d, y := ma d i i, y i 1 i Metrike auf dem Produkt M 1 M defiiert. Die afags defiierte Norme auf dem R der Absolutbetragsorm auf R. etstehe da durch solche Produktbilduge aus Es sid offebar auch zahlreiche Mischforme möglich: Z.B. köte ma de Vektorraum V 1 V V 3 darstelle als V 1 V V 3 ud eie Norm durch de Ausdruck 1,, 3 :=ma { 1 1, 3 3 } defiiere. Usere bisherige Beispiele für ormierte Vektorräume sid sämtlich edlichdimesioal. Iteressate uedlichdimesioale Beispiele folge später.

3 Skalarprodukt ud Euklidische Norm Seie U,V,W Vektorräume über eiem Körper K. Eie bilieare Abbildug U V W u, v uv ist liear i jeder der beide Variable, d.h. u 1, u U, v V : u 1 u v=u 1 v u v u U, v 1, v V : u v 1 v =uv 1 uv K,u U, v V : u v= uv =u v Die eifachste bilieare Abbildug ist die Körpermultiplikatio K K K. Eie Skalarprodukt auf eiem reelle Vektorraum V ist eie bilieare Abbildug V V R, y <, y > mit de zusätzliche Eigeschafte, y V : <, y >=< y, > (Symmetrie) V <, > 0 ud <, >=0 =0 (positive Defiitheit) Das sogeate kaoische Skalarprodukt auf dem R ist gegebe durch <, y >= i y i. Eie Vektorraum mit eiem Skalarprodukt et ma auch eie Euklidische Vektorraum. Offebar ist jeder Uterraum eies Euklidische Vektorraum selbst ei Euklidischer Vektorraum, de ma ka das Skalarprodukt ja auf Vektore des Uterraums eischräke, ohe daß die Eigeschafte Biliearität, Symmetrie ud positive Defiitheit verloregehe. I eiem Euklidische Vektorraum defiiert ma die Norm eies Vektors durch : <, >. Dies ist eie Norm im Sie der Theorie der ormierte Vektorräume, d.h. es gilt V : 0 ud =0 =0 R, V : =, y V : y y (Dreiecksugleichug der Norm) Die erste dieser Eigeschafte ist ur eie Umformulierug der positive Defiitheit, die zweite ist äquivalet zu R, V : =, ud ma rechet tatsächlich sofort ach, daß =<, >= <, >= =. Die Dreiecksugleichug ist eie direkte Kosequez der Cauchy-Schwarzsche Ugleichug, y V : <, y > y, de y =< y, y >=<, > <, y > < y, y > y y = y. Beweis der Cauchy-Schwarzsche Ugleichug Sid, y V, so ist die Aussage der Cauchy-Schwarzsche Ugleichug trivial, we oder y der Nullvektor ist. Sid sowohl wie y Eiheitsvektore, d.h. Vektore mit der Norm 1, so besagt die Cauchy-Schwarzsche Ugleichug daß <, y > 1 ; daraus folgt ihre Gültigkeit für beliebige Vektore ugleich Null, de mit der Notatio := 1 ud der Tatsache, daß jedefalls ei Eiheitsvektor ist, errechet ma das Ergebis <, y > =<, y y >= y <, y > y. y

4 Seie also, y V Eiheitsvektore. Ma setze =<, y > ud rechet 0 < y, y > = <, > <, y > < y, y > = 1 <, y > woraus sich <, y > 1 ergibt. Im R ud R 3 ist die Norm eies Vektors = 1 bzw. = 1 3 offebar gleich seier Läge, d.h. gleich dem euklidische Abstad zwische Fußpukt ud Edpukt. I diesem Sie beutzt ma die Worte Norm ud Läge syoym. Im R kee wir ebe der euklidische Norm auch die Norme 1 ud. Die euklidische Norm reihe wir hier uter dem Name ei. Für diese Familie vo Norme im R gelte die Ugleichuge R = 1. Ist ämlich =ma i = i0, so ist 1 i i0 = i0 i =, also. Die ächste Ugleichug 1 ist trivial, we =0. Ist 0, so ist =, also = u, wobei u Eiheitsvektor bzgl. der euklidische Norm ist. We wir zeige köe, daß u u 1, so folgt daraus = u = u u 1 = u 1 = 1. u i Nu ist i der Summe 1= u = 1= u = u i u i = u 1. jeder Summad 1, daher jedes u i u i ud somit Isgesamt gilt also für jedes V : 1 Schließlich habe wir och 1 = somit die gesamte Ugleichugskette. i ma i =, 1 i Äquivalez vo Norme Sid 1, Norme auf eiem Vektorraum V ud gibt es Kostate c 1, c 1 0, so daß V : 1 c 1 ud c 1 1 so et ma die Norme äquivalet. I diesem Sie sid die drei Norme 1,, auf R äquivalet.

5 I aaloger Weise defiiert ma ma Äquivalez vo Metrike, we es zu zwei Metrike d 1, d auf M Kostate c 1, c 1 0 gibt mit, y M : d 1, y c 1 d, y ud d, y c 1 d 1, y Offebar iduziere äquivalete Norme äquivalete Metrike. Die wesetliche (ud leicht zu beweisede) Eigeschaft äquivaleter Metrike ist die, daß eie Cauchyfolge bezüglich eier Metrik auch Cauchyfolge bezüglich jeder äquivalete Metrik ist ud daß eie Folge, die bezüglich eier Metrik kovergiert, auch bezüglich jeder äquivalete Metrik kovergiert ud deselbe Grezwert besitzt. We es um Cauchyfolge ud Grezwerte geht, kommt es also z.b. im R welcher der äquivalete Norme ma rechet. icht darauf a, mit Baachräume ud Hilberträume Ma eriere sich, daß ei metrischer Raum vollstädig geat wird, we i ihm jede Cauchyfolge kovergiert. Das wesetliche Beispiel eies vollstädige Raums war bisher die Mege der reelle Zahle mit der Metrik d, y = y. Nu ist ei ormierter Vektorraum ja i atürlicher Weise ei metrischer Raum. Ist er vollstädig, so spricht ma vo eiem Baachraum. Der R ist ei Baachraum bezüglich jeder der äquivalete Norme 1,,. Vo eier Cauchyfolge z.b. bezüglich der Metrik im R zeigt ma ämlich leicht, daß auch die zugehörige Folge der Kompoete Cauchyfolge i R ud damit koverget sid, ud daß die Ausgagsfolge im R gege de aus de Grezwerte der Kompoetefolge gebildete Vektor kovergiert. Ist ei Vektorraum mit Skalarprodukt bezüglich der durch dieses iduzierte Norm ei Baachraum, so et ma ih eie Hilbertraum. Also sid R ud die R mit dem kaoische Skalarprodukt Hilberträume. Wir werde im Laufe der Zeit och wichtige adere Beispiele keelere.