Technische Universität München. Ferienkurs Lineare Algebra 1. Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen. 21. März 2011.

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1 Technische Universität München Ferienkurs Lineare Algebra 1 Mengenlehre, Aussagen, Relationen und Funktionen 21. März 2011 Tanja Geib Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen 1 2 Mengenlehre Grundlegende Definitionen und Schreibweisen Rechnen mit Mengen Kartesisches Produkt Relationen und Funktionen Binäre Relationen Abbildungen

2 1 1 Aussagen Definition [1.1] Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist, dh die Aussage ist Element der Menge {wahr, falsch}. So eine Aussage kann in normaler Sprache oder auch mathematischer Sprache formuliert sein. Die Aussageform bildet eine beliebige Menge auf diese zweielementige Menge ab. Beispiel [1.2] Man hat die Aussageform A(x) = x ist eine P flanze, die von der Menge der lebenden Organismen auf {wahr, falsch} abbildet. Für x = Blauf lossenthunf isch ist die Aussage falsch. Für x = Gänseblümchen ist die Aussage wahr. Zwei Aussagen A und B lassen sich mit Hilfe von Junktoren zu neuen Aussagen zusammenfügen. Seien zum Beispiel A(x) wie in Bsp 1.1 und B(x) = x ist rot. Junktor Zeichen Bedeutung Beispiel Negation A nicht A x ist keine Pflanze. Konjunktion A B A und B x ist eine rote Pflanze. Disjunktion A B A oder B x ist rot oder eine Pflanze. Implikation A B wenn A, dann B Wenn x durch 6 teilbar ist, dann ist x durch 3 teilbar. Äquivalenz A B A genau dann, wenn B x ist genau dann durch 2 und 3 teilbar, wenn x durch 6 teilbar ist. Tabelle 1: Junktoren Im Fall der Implikation nennt man A die Voraussetzung und B die Behauptung. A ist hinreichende Bedingung für B. B ist notwendige Bedingung für A. Um den Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage zu überprüfen, bietet es sich an, eine Wahrheitstabelle zu erstellen. Mit Hilfe dieser können auch einfache Rechenregeln nachgewiesen werden. A B A A B A B A B A B w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w Tabelle 2: Wahrheitstabelle Satz[1.3] Die De Morganschen Regeln zur Verneinung von Konjunktion und Disjunktion lauten:

3 2 ( (A B)) ( A B) ( (A B)) ( A B) Des weiteren können Quantoren dazu verwendet werden Aussagen zu treffen. Dies funktioniert, wie im folgenden definiert: w Definition[1.4] Aussage mit dem Quantor :( x M : A(x)) f w Definition[1.5] Aussage mit dem Quantor :( x M : A(x)) f Daraus folgt: ( x M : A(x)) = ( x M : A(x)) ( x M : A(x)) = ( x M : A(x)) Satz[1.5] (A B) ( B A) falls f/ A(M) falls f A(M) falls w A(M) falls w / A(M) Zum Beweisen kann man auf verschieden Arten vorgehen: direkt, indirekt (man verwendet dabei, dass Satz[1.5] gilt), Widerspruchsbeweis, vollständige Induktion, und über einen konstuktiven Beweis. Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Instrument, wenn es um das Beweisen bei z. B. Folgen geht. Satz[1.6] Es sei A(n) eine Aussage über alle natürlichen Zahlen n a, wobei a eine festgewählte natürliche Zahl sei. A(n) ist für alle n a richtig, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: (I 1 ) A(a) ist richtig. (I 2 ) Unter der Voraussetzung, dass A(n) bis n richtig ist, muss A(n+1) ebenfalls richtig sein.

4 3 2 Mengenlehre 2.1 Grundlegende Definitionen und Schreibweisen Definition[2.1.1] nach Cantor. Eine Menge ist jede Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche die Elemente dieser Menge genannt werden, zu einem Ganzen. Beispiele[2.1.2] zur Notation von Mengen. M = {0, 1, 2} M = {x : x isst gerne Snickers} M = {x R : x 10} Definition[2.1.3] Seien A und B Mengen. A heißt Teilmenge von B bzw B Obermenge oder auch Grundmenge von A, in Zeichen A B, wenn A B : x A : x B A und B heißen gleich, in Zeichen A = B, wenn gilt A = B : A B B A Definition[2.1.4] Für endliche Mengen M bezeichnet man die Anzahl der Elemente als ihre Mächtigkeit oder auch Kardinalität, in Zeichen M. Bei nicht endlicher Anzahl ist die Mächtigkeit M =. Beispiel[2.1.5] Für M = {1, 2, {3, 4}} ist die Mächtigkeit M = 3. Definition[2.1.6] Sei eine Menge M gegeben. Die Menge aller Teilmengen von M heißt Potenzmenge und wir geschrieben als P(M) = {A : A M} = {A : A ist T eilmenge von M} Beispiel[2.1.7] Sei M = {1, 2}. Dann ist P(M) = {, {1}, {2}, {1, 2}}.

5 2.2 Rechnen mit Mengen Rechnen mit Mengen Um sich das Rechnen mit Mengen zu veranschaulichen, ist es nützlich die jeweilige Aufgabe anhand von Eulerschen Kreisen darzustellen. Dies ist jedoch kein Ersatz für einen formalen Beweis. Dieser muss mit Hilfe der Junktoren oder Wahrheitstabellen durchgeführt werden. Zu Beginn noch ein paar Grundlagen: Jede Menge enthält die leere Menge und sich selbst. Dies sind die sog. trivialen Teilmengen. {a} / {a}, es ist jedoch {a} {a}. a {a}. Wichtig ist, dass {a} {{a}}!! und sind transitiv (transitiv wird bei den Relationen nochmals ausführlicher erklärt). Nun zu einigen Definitionen rund um das Rechnen mit Mengen: Definition[2.2.1] Der (Durch-)Schnitt zweier Mengen A und B ist A B := {x : x A x B} Definition[2.2.2] Die Vereinigung zweier Mengen A und B ist A B := {x : x A x B} Definition[2.2.3] Die Differenz zweier Menge A und B ist A\B := {x : x A x / B} Definition[2.2.4] Ist A Teilmenge einer Grundmenge G, so wird die Differenz G\A als Komplement bezeichnet. In Zeichen schreibt man für das Komplement auch CA oder Ā. Definition[2.2.5] Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B ist A B := (A\B) (B\A) Zum Rechnen mit Regeln werden die folgenden Sätze benötigt. Es sind hier immer A, B und C beliebige Teilmengen der Grundmenge G. Satz[2.2.6] Assoziativgesetze: (A B) C = A (B C)

6 2.2 Rechnen mit Mengen 5 (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Satz[2.2.7] Kommutativgesetze: A B = B A A B = B A A B = B A Satz[2.2.8] Distributivgesetze: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Satz[2.2.9] Idempotenzgesetze: A A = A A A = A C(C(A)) = A = A Satz[2.2.10] Rechengesetze bei Differenzen: (A\B) C = (A C)\(B C) A\(B C) = (A\B) (A\C) (A\B) B = A B A\(B C) = (A\B) (A\C) Satz[2.2.11] De Morgansche Regeln: A B = A B A B = A B

7 2.3 Kartesisches Produkt Kartesisches Produkt Definition[2.3.1] Es seien A 1, A 2,..., A n mit n N und n 2 nichtleere Mengen. Man betrachtet n-tupel (a 1, a 2,..., a n ) von Elementen a i A i für i=1,..., n. Zwei solche n-tupel heißen gleich, wenn sie in elementeweise übereinstimmen, i.z. (a 1, a 2,..., a n ) = (a 1, a 2,..., a n) : a i = a i i {1,..., n} Definition[2.3.2] Die Menge aller geordneteten n-tupel (a 1, a 2,..., a n ) heißt n- faches kartesiches Produkt oder n-faches Kreuzprodukt der Mengen A 1, A 2,..., A n, i. Z. A 1 A 2... A n := {(a 1, a 2,..., a n ) : a i A i i {1, 2,..., n}} Im 2-dimensionalen heißen die Tupel auch geordnete Paare und werden folgendermaßen geschrieben: (a,b), a A und b B. Es ist zu beachten, dass es im Gegensatz zu bei Mengen hier auf die Reihenfolge ankommt, dh im Allgemeinen (a, b) (b, a). Beim n-fachen kartesichen Produkt schreibt man anstelle von A... A kürzer A n. Satz[2.3.3] Sind A 1, A 2,..., A n nichtleere Mengen, so gilt A 1 A 2... A n = A 1 A 2... A n

8 7 3 Relationen und Funktionen 3.1 Binäre Relationen Im Allgemeinen ist eine Relation eine Beziehung die zwischen Dingen besteht. Im mathematischen ist eine Relation eindeutig, dh sie besteht oder eben nicht. Das führt dazu, dass die Relation R eine Menge ist und all die n-tupel enthält, die in Relation R zueinander stehen. Die formale Definition lautet folgendermaßen: Definition[3.1.1] Es seien A 1, A 2,..., A k, k N, Mengen. Eine Teilmenge R A 1... A k heißt k-stellige oder auch k-näre Relation auf A 1... A k. Am häufigsten verwendet werden binäre Relationen. Man schreibt diese auch so: (a,b) R oder arb (dh: a steht in Relation zu b). Für R kann ein spezielles Zeichen verwendet werden, dass die Relation näher angibt. Beispiele hierfür sind,,,, =,,... Beispiel[3.1.2] Für A = A 1 = A 2 = {1, 2, 3} ist R = {(a, b) A 2 : a < b} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} eine binäre Relation. Definition[3.1.3] Es sei A eine Menge und R A 2 eine binäre Relation. Man legt folgende Zusatzbezeichnungen für R fest: reflexiv : a A : (a, a) R irreflexiv : a A : (a, a) / R symmetrisch : a, b A : (a, b) R (b, a) R antisymmetrisch : a, b A : (a, b) R (b, a) / R a = b asymmetrisch : a, b A : (a, b) R (b, a) / R transitiv : a, b, c A : (a, b) R (b, c) R (a, c) R Definition[3.1.4 Eine binäre Relation R A 2 heißt Äquivalenzrelation auf A, genau dann, wenn R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Definition[3.1.5] Es sei a A und R ist Äquivalenzrelation auf A. Die Menge [a] R = {b A : (a, b) R}

9 3.1 Binäre Relationen 8 (dh die Menge aller Elemente aus A, die in Relation R zu a stehen) heißt Äquivalenzklasse von a bezüglich R. Satz[3.1.6] Sei R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A. Dann gilt: (1) a A [a] R = A (2) a, b A ist [a] R = [b] R (a, b) R (3) a, b A ist [a] R [b] R = [a] R = [b] R (dh Äquivalenzklassen sind disjunkt). Es ist also immer möglich eine Menge A mit Hilfe einer Äquivalenzrelation R in disjunkte Äquivalenzklassen zu zerlegen. Auf jeder Menge A existieren zwei triviale Äquivalenzklassen. Diese sind R 0 = {(a, a) : a A} und R 1 = A A. Beispiel[3.1.7] Sei A die Menge der Schüler einer Schule. Die Relation R = {(a, b) A 2 : a und b gehen in dieselbe Klasse} ist eine Äquivalenzrelation, da reflexiv: Schüler x geht mit sich selbst in die Klasse symmetrisch: Wenn x mit y in der Klasse, dann auch y mit x transitiv: Wenn x mit y und y mit z in einer Klasse ist, dann auch x mit z. In diesem Fall entspricht eine Äquivalenzklasse [Gigi] R gerade der Schulklasse, in die Gigi geht. Alle Schulklassen zusammen ergeben die Menge aller Schüler. Ein Schüler kann nur in einer Klasse sein. Definition[3.1.8] Eine Partition P (auch Zerlegung oder Klasseneinteilung) einer Menge M ist eine Menge, deren Elemente nichtleere, disjunkte Teilmengen von M sind. Es muss dabei jedes Element von M in genau einem Element von P enthalten sein. Man schreibt formal: M sei eine nichtleere Menge. P P (M)\{ } heißt Partition von M, wenn gilt (1) X P = M und (2) X, Y P : X Y X Y = Es ist also M eine disjunkte Vereinigung der Mengen X P. Definition[3.1.9] Es sei R eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A. Die Menge A /R := {[a] R : a A} heißt Faktormenge von A nach R.

10 3.2 Abbildungen Abbildungen Definition[3.2.1] Es seien A und B Mengen. Eine binäre Relation f A B heißt Funktion oder Abbildung von A nach B, wenn gilt (1) F ür jedes a A gibt es ein b B mit (a, b) f, (2) Ist (a, b 1 ) f und (a, b 2 ) f, dann ist b 1 = b 2. Man schreibt f(a)=b, da durch (1) die Existenz und durch (2) die Eindeutigkeit gegeben sind. Die Menge A =: D(f) heißt Definitionbsbereich. B ist der Bildbereich. Die Menge W (f) = {b B : a A : (a, b) f} heißt Wertebereich von f. Definition[3.2.2] Eine Funktion f heißt injektiv, wenn aus f(a 1 ) = b und f(a 2 ) = b stets folgt, dass a 1 = a 2 sein muss. In anderen Worten: es gibt keine zwei verschiedenen Elemente aus A, die auf denselben Wert in B abbilden. Definition[3.2.3] Eine Funktion heißt surjektiv, wenn W (f) = B, dh Werte- und Bildbereich übereinstimmen. In anderen Worten: Der gesamte Bildbereich wird getroffen. Definition[3.2.4] Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Die Menge der Tupel der Abbildung wird als Graph bezeichnet. Definition[3.2.5] Ist f : M N eine Abbildung und U M, so heißt f(u) := {f(u) : u U} N die Bildmenge von U unter f. Insbesondere ist f(m)=w(f). Zum weiteren Umgang mit Abbildung ist noch von Nutzen, dass: M 1, M 2 M gilt, dass f(m 1 M 2 ) = f(m 1 ) f(m 2 ), und dass das Entsprechende im Allgemeinen jedoch nicht für (den Schnitt) gilt. Es gilt nur: f(m 1 M 2 ) (f(m 1 ) f(m 2 )). Definition[3.2.6] Für zwei Abbildungen f : M N und g : N R heißt g f : M R, m g(f(m)) die Produktabbildung oder Komposition von f und g. Wichtig dabei ist die Reihenfolge, in der die Funktionen angewendet werden: g f(m) = g(f(m)), dh erst wird f angewendet und auf das Resultat dann g.

11 3.2 Abbildungen 10 Definition[3.2.7] Jede bijektive Abbildung f : M N, m n kann umgekehrt werden. Diese inverse Abbildung wird auch Umkehrfunktion genannt: f 1 : N M, f(m) m Es gilt, dass f f 1 = id N und f 1 f = id M die Identität jeweils auf N bzw M ergeben. Injektive Abbildungen können auf ihrem Bild umgekehrt werden, dh es existiert eine inverse Abbildung f 1 : W (f) M. Definition[3.2.8] Die Einschränkung oder Restriktion einer Abbildung f : M N auf eine Teilmenge U M ist die Abbildung f /U : U N, u f(u) Definition[3.2.9] Es sei f : M N eine Abbildung und P N. Das Urbild von P unter f ist die Menge f 1 (P ) := {m M : f(m) P } Achtung: die Schreibweise f 1 meint hier nicht zwangläufig die Umkehrabbildung, da Bijektivität nicht vorausgesetzt ist. Mit Hilfe von bijektiven Abbildungen können Aussagen über die Mächtigkeit von Mengen gemacht werden. Definition[3.2.10] Eine Menge M hat die Mächtigkeit n N, i.z. M =n, wenn es eine Bijektion f : {1,..., n} M gibt. Zwei beliebige Mengen M und N sind gleichmächtig, dh dass sie die gleiche Anzahl an Elementen haben, falls es eine Bijektion f : M N gibt.