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1 Bildverarbeitung Bildvorverarbeitung - Fourier-Transformation - 1

2 Themen Methoden Punktoperationen / Lokale Operationen / Globale Operationen Homogene / Inhomogene Operationen Lineare / Nichtlineare Operationen Affine Transformationen Faltung / Fouriertransformation Weitere Betrachtungen zur Bildverbesserung durch Punktoperationen Kontrastverbesserung Intensitätslinearisierung Beleuchtungskorrektur Rauschreduktion Kantenerstärkung / -extraktion Normierung von Größe, Form und Farbe Geometrische Verzerrung (Morphing) 2

3 Reading Recommended Burger, Burge; Digitale Bildverarbeitung; Kap , 13, 14 Advanced study Butz; Fouriertransformation für Fußgänger; Kap. 1-4 Tönnies; Grundlagen der Bildverarbeitung; Kap. 4 Minimal standard Steinbrecher; Bildverarbeitung in der Praxis; Kap. 8, 9 Abmayr; Einführung in die Bildverarbeitung; Kap. 3 Hermes; Digitale Bildverarbeitung; Kap. 11 3

4 Lineare Faltung, die Verallgemeinerung lokaler Operatoren Lokale Operatoren sind ein Spezielfall der linearen Faltung H* heißt Faltungskern Rechenregeln Kommutativität Linearität Assoziativität Distributivität aber nicht bzgl. Skalaren 4

5 Folgerungen Separierbarkeit x/y Separierbarkeit mit weil Beispiel Gauß-Filter Neutrales Element: Dirac-Funktion 5

6 Neutrales Element: Dirac-Funktion Point Spread Function Formal Aussehen Verwendung: Bestimmung einer unbekannten Filterfunktion Bspw. bei der Bildaufnahme 6

7 Das Faltungsintegral Vereinfachendes Beispiel mit einer Veränderlichen Bild Filter Anwenden der Funktion: ξ = f ( x) = b( ξ ) h( x ξ ) dξ = b( x) h( x) 7

8 Graphische Auswertung des Faltungsintegrals Spiegelung von h(ξ) an der Ordinatenachse -> h(-ξ) Für alle Stellen x im Definitionsbereich von b(x) und h(x): Verschiebung von h(-x) um x -> h(x-ξ) Multiplikation der verschobenen Funktion h(x-ξ) mit b(x) Integration der Flächen unter dem Produkt h(x-ξ) b(x) Das Ergebnis ist der Wert des Faltungsintegrals an der Stelle x 8

9 Problemtransformierbarkeit i.d. Mathematik Multiplikation durch Addition von Logarithmen Verwendet im Rechenstab 9

10 Fourier-Transformationen: Zerlegen einer Funktionen in Sinus-Schwingungen -> Andere Phasenlagen durch Addition der Cosinus-Funktionen Darstellung in Polarkoordinaten 10

11 11 Fourier-Transformation in einem Punkt x dx e x f u F du e u F x f t i t i t i it e t t t t t t t t t du xu u b xu u a x f iux iux it = = = + + = + + = + = π π π π ) ( ) ( ) ( ) (... 4! 3! 2! 1! ! 5! 3! ) sin(... 6! 4! 2! 1 ) cos( )) )sin( ( ) )cos( ( ( ) ( bzw. und somit ergibt sich zusammen und da

12 Diskrete Fourier-Transformation (DFT) Mit N als Stützstellenzahl wird W e 2πi / N definiert. Dann kann DFT als F u N 1 x= 0 for(u=0; u<n; u++) { F(u) = (0,0); phi = 0; phiinc = 2*PI*u/(float)N; for(x=0; x<n; x++) { F(u).r+=f(x)*cos(phi); F(u).i+=f(x)*sin(phi); phi -=phiinc; } } = Dies ist eine Matrixmultiplikation mit : O( N) = N W ux f x formuliert werden. 2 Aus N Stützstellen können N/2 Frequenzen berechnet werden (Abtasttheorem) 12

13 Konvergenz (A): sin(2πf X0 x) (B): 1/3 sin(2π3f X0 x) (C): 1/5 sin(2π5f X0 x) (D): A + B + C 13

14 Effiziente Berechnung FFT und 2D DFT F F N / 2 1 x= 0 F u u, F Da F ist effektiver berechenbar durch rekursive Zerlegung: N 1 x= 0 e 2πiux /( N / 2) e{... e e 2πixu / N, F f f f 2x, F N / 2 1 x= 0 + W, usw. müssen die 2πiu(2x)/ N N / 2 1 u 2πiux /( N / 2) x= 0 Durch weitere Zerlegung von F ee k = k eo k n mal = oe k n x = oo k 2x 2x+ 1 bzw. F Der Aufwand reduziert sich damit auf Nachteil N muß Potenz von 2 sein. e e f n f e k + f N / 2 1 2πiu(2x+ 1) / N x= 0 e = F o k e k + W F 2x entstehen "nur" umsortiert werden. k O( N) = N * ld( N) f o k = Zerlegbarkeit der 2D DFT : uv M 1 N 1 F = e y= 0 x= 0 2πiyv / M e 2πixu / N f xy = DFT ( DFT x y ( f xy )) = DFT y ( DFT x ( f xy )) Da f xy bei Bildern reel ist, ist F uv complex. 14

15 FT - DFT - Faltung FT DFT Zerlegung der Ortfunktion in eine unendliche Reihe von Frequenzen Zerlegung in N-1 Frequenzen Effiziente Berechenbarkeit durch FFT: O(N)=N*ld(N) Darstellung Die Angabe zweier Amplituden von Sinus- und Cosinus- Funktionen mit gleicher Frequenz stellt den Realund Imagnäranteil dar. Anschaulicher ist die Amplitude einer Cosinusfunktion und deren Phasenverschiebung. Die Amplitude (Powerspektrum) stellt die informative Komponente dar. 15

16 Filterkonstruktion Bei Kenntnis des Verhaltens im Frequenzraum sind komplexe Filter im Ortsraum konstruierbar. Manche Filter (Motion debluring) sind nur im Frequenzraum realisierbar. 16

17 Orts- und Frequenzraum (1) Periodische Funktionen verschiedener Frequenz 17

18 Orts- und Frequenzraum (2) Offset der Ortsfunktion; Linearität 18

19 Ausgewählte Funktionen (1) Rechteck-Funktion <-> Sinc-Funktion: sinc(x) = sin(π * x) / (π * x) 19

20 Ausgewählte Funktionen (2) 20

21 Ausgewählte Funktionen (3) 21

22 2D DFT von Bildern (1) Einfluss der Größe im Ortsraum 22

23 2D DFT von Bildern (2) Verschiebungsunabhängigkeit im Ortsraum 23

24 2D DFT von Bildern (3) Einfluss von Drehungen im Ortsraum 24

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