5 Mengen und Folgen. Themen: Hilberts Hotel Mächtigkeit von Mengen Zahlenfolgen Stellenwertsysteme

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1 5 Mengen und Folgen Themen: Hilberts Hotel Mächtigkeit von Mengen Zahlenfolgen Stellenwertsysteme

2 Hilberts Hotel Hilberts Hotel hat unendlich viele Zimmer, die durch 1, 2, 3,... nummeriert sind.

3 Hilberts Hotel Hilberts Hotel hat unendlich viele Zimmer, die durch 1, 2, 3,... nummeriert sind. Eines Tages kommt ein Gast zum Portier und bittet um ein Zimmer. Das Hotel ist aber komplett ausgebucht.

4 Hilberts Hotel Hilberts Hotel hat unendlich viele Zimmer, die durch 1, 2, 3,... nummeriert sind. Eines Tages kommt ein Gast zum Portier und bittet um ein Zimmer. Das Hotel ist aber komplett ausgebucht. Was macht der Portier?

5 Hilberts Hotel Hilberts Hotel hat unendlich viele Zimmer, die durch 1, 2, 3,... nummeriert sind. Eines Tages kommt ein Gast zum Portier und bittet um ein Zimmer. Das Hotel ist aber komplett ausgebucht. Was macht der Portier? Er quartiert den Gast in Zimmer 1 nach Zimmer 2, den Gast in Zimmer 2 nach Zimmer 3 usw. Den neuen Gast bringt er in Zimmer 1 unter.

6 Hilberts Hotel Eines Tages kommt ein Busfahrer zum Portier. Er hat unendlich viele Personen in seinem Bus, die alle ein Zimmer wollen. Das Hotel ist aber komplett ausgebucht.

7 Hilberts Hotel Eines Tages kommt ein Busfahrer zum Portier. Er hat unendlich viele Personen in seinem Bus, die alle ein Zimmer wollen. Das Hotel ist aber komplett ausgebucht. Was macht der Portier?

8 Hilberts Hotel Eines Tages kommt ein Busfahrer zum Portier. Er hat unendlich viele Personen in seinem Bus, die alle ein Zimmer wollen. Das Hotel ist aber komplett ausgebucht. Was macht der Portier? Er bringt den Gast von Zimmer 1 nach Zimmer 2, den Gast von Zimmer 2 nach Zimmer 4, den Gast von Zimmer 3 nach Zimmer 6 usw.

9 Hilberts Hotel Eines Tages kommt ein Busfahrer zum Portier. Er hat unendlich viele Personen in seinem Bus, die alle ein Zimmer wollen. Das Hotel ist aber komplett ausgebucht. Was macht der Portier? Er bringt den Gast von Zimmer 1 nach Zimmer 2, den Gast von Zimmer 2 nach Zimmer 4, den Gast von Zimmer 3 nach Zimmer 6 usw. Anschließend bringt er die Personen aus dem Bus in den ungeradzahligen Zimmern unter.

10 Hilberts Hotel Eines Tages kommen unendlich viele Busfahrer zum Portier. Sie haben alle unendlich viele Personen in ihrem Bus, die alle ein Zimmer wollen. Das Hotel ist aber komplett ausgebucht.

11 Hilberts Hotel Eines Tages kommen unendlich viele Busfahrer zum Portier. Sie haben alle unendlich viele Personen in ihrem Bus, die alle ein Zimmer wollen. Das Hotel ist aber komplett ausgebucht. Was macht der Portier?

12 Hilberts Hotel Eines Tages kommen unendlich viele Busfahrer zum Portier. Sie haben alle unendlich viele Personen in ihrem Bus, die alle ein Zimmer wollen. Das Hotel ist aber komplett ausgebucht. Was macht der Portier? Er holt David Hilbert, den Besitzer des Hotels.

13 Hilberts Hotel Die Busfahrer stellen sich nebeneinander hin und die Passagiere stellen sich hinter ihren Busfahrer.

14 Hilberts Hotel Hilbert zählt nun alle Passagiere ab!

15 Hilberts Hotel Jeder Passagier hat nun eine Nummer und kann wie vorher in einem Zimmer mit ungerader Nummer untergebracht werden.

16 Mächtigkeiten von Mengen Für den Anfang reicht es, drei Typen von Mengen zu unterscheiden. Endliche Mengen: In diesem Fall gibt es eine natürliche Zahl n, so dass wir die Elemente der Menge von 1 bis n nummerieren können. Beispiel: Das deutsche Alphabet hat 30 Buchstaben.

17 Mächtigkeiten von Mengen Für den Anfang reicht es, drei Typen von Mengen zu unterscheiden. Endliche Mengen: In diesem Fall gibt es eine natürliche Zahl n, so dass wir die Elemente der Menge von 1 bis n nummerieren können. Beispiel: Das deutsche Alphabet hat 30 Buchstaben. Besonderheit: Ist X endlich und f : X X, so gilt f injektiv f surjektiv f bijektiv

18 Mächtigkeiten von Mengen Abzählbare Mengen: In diesem Fall können wir die Elemente der Menge durch die natürlichen Zahlen nummerieren.

19 Mächtigkeiten von Mengen Abzählbare Mengen: In diesem Fall können wir die Elemente der Menge durch die natürlichen Zahlen nummerieren. Beispiel: Æ Æ, das sind die Punkte der Ebene der Form (m, n) mit natürlichen Zahlen m und n. : : 10 : : : : : : : :

20 Mächtigkeiten von Mengen Abzählbare Mengen: In diesem Fall können wir die Elemente der Menge durch die natürlichen Zahlen nummerieren. Beispiel: Æ Æ, das sind die Punkte der Ebene der Form (m, n) mit natürlichen Zahlen m und n. : : 10 : : : : : : : : Hilberts Hotel zeigt: Die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar

21 Mächtigkeiten von Mengen überabzählbare Mengen sind weder endlich noch abzählbar. Hier kann man noch weiter unterscheiden mit Hilfe von Kardinalzahlen, im Moment brauchen wir das nicht (ist nämlich schwer).

22 Strenge Formulierung Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung f : A B gibt.

23 Strenge Formulierung Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung f : A B gibt. Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation. Zu bijektivem f : A B existiert die Umkehrfunktion f ( 1) : B A.

24 Strenge Formulierung Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung f : A B gibt. Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation. Zu bijektivem f : A B existiert die Umkehrfunktion f ( 1) : B A. A heißt endlich, wenn A zu einem Abschnitt {0, 1, 2,...,n 1} von Æ 0 gleichmächtig ist. n heißt die Kardinalität von A, Schreibweise A = n.

25 Strenge Formulierung Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung f : A B gibt. Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation. Zu bijektivem f : A B existiert die Umkehrfunktion f ( 1) : B A. A heißt endlich, wenn A zu einem Abschnitt {0, 1, 2,...,n 1} von Æ 0 gleichmächtig ist. n heißt die Kardinalität von A, Schreibweise A = n. A heißt abzählbar oder abzählbar unendlich, wenn A und Æ gleichmächtig sind.

26 Strenge Formulierung Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung f : A B gibt. Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation. Zu bijektivem f : A B existiert die Umkehrfunktion f ( 1) : B A. A heißt endlich, wenn A zu einem Abschnitt {0, 1, 2,...,n 1} von Æ 0 gleichmächtig ist. n heißt die Kardinalität von A, Schreibweise A = n. A heißt abzählbar oder abzählbar unendlich, wenn A und Æ gleichmächtig sind. A heißt überabzählbar oder überabzählbar unendlich, wenn A weder endlich nach abzählbar ist.

27 Vorsicht Bei unendlichen Mengen gilt keine Implikation in: Ist X endlich und f : X X, so gilt f injektiv f surjektiv f bijektiv

28 Vorsicht Bei unendlichen Mengen gilt keine Implikation in: Ist X endlich und f : X X, so gilt Beispiele für X = Æ 1. f(n) = 2n, f injektiv f surjektiv f bijektiv

29 Vorsicht Bei unendlichen Mengen gilt keine Implikation in: Ist X endlich und f : X X, so gilt Beispiele für X = Æ f injektiv f surjektiv f bijektiv 1. f(n) = 2n, 2. f(2n) = f(n), f(2n 1) = f(n)

30 Minimum und Maximum Endliche Mengen von reellen Zahlen besitzen ein Minimum und ein Maximum.

31 Minimum und Maximum Endliche Mengen von reellen Zahlen besitzen ein Minimum und ein Maximum. Ist M = {x 1, x 2,...,x m }, so können wir das maximale Element durch folgenden Algorithmus finden: y 1 = max{x 1, x 2 } y 2 = max{y 1, x 3 } y 3 = max{y 2, x 4 }. y m 1 = max{y m 2, x m } y m 1 ist dann das Maximum von M und stimmt mit einem Element aus M überein.

32 Minimum und Maximum Ist M eine endliche Menge und f : M Ê eine Abbildung, so nimmt f auf M Maximum und Minimum an. D.h, es gibt x min, x max M mit f(x min ) f(x) x M, f(x max ) f(x) x M. Konstruktion von x min und x max mit dem gleichen Algorithmus wie zuvor.

33 Minimum und Maximum Ist M eine endliche Menge und f : M Ê eine Abbildung, so nimmt f auf M Maximum und Minimum an. D.h, es gibt x min, x max M mit f(x min ) f(x) x M, f(x max ) f(x) x M. Konstruktion von x min und x max mit dem gleichen Algorithmus wie zuvor. Bei unendlichen Mengen wird alles falsch: - Æ besitzt kein Maximum.

34 Minimum und Maximum Ist M eine endliche Menge und f : M Ê eine Abbildung, so nimmt f auf M Maximum und Minimum an. D.h, es gibt x min, x max M mit f(x min ) f(x) x M, f(x max ) f(x) x M. Konstruktion von x min und x max mit dem gleichen Algorithmus wie zuvor. Bei unendlichen Mengen wird alles falsch: - Æ besitzt kein Maximum. - f(n) = 1 n, f : Æ É, besitzt kein Minimum.

35 Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 0, 1, 0, 11, 0, 111, 0, 1111, 0, 11111,... ist 0, 1 das erste Folgenglied, 0, 11 ist das zweite Folgenglied usw.

36 Zahlenfolgen Ein unendliche Folge reeller Zahlen heißt Zahlenfolge. Im Beispiel 0, 1, 0, 11, 0, 111, 0, 1111, 0, 11111,... ist 0, 1 das erste Folgenglied, 0, 11 ist das zweite Folgenglied usw. Allgemein schreiben wir (x k ) k Æ = (x k ) = (x 1, x 2, x 3,...), x k Ê, wobei x 1 das erste Folgenglied ist, x 2 ist das zweite Folgenglied, und x k, k Æ, ist das k-te Folgenglied.

37 Beispiele von Zahlenfolgen 1, 2, 3, 4,... ist die Folge der natürlichen Zahlen. Für das k-te Folgenglied gilt x k = k.

38 Beispiele von Zahlenfolgen 1, 2, 3, 4,... ist die Folge der natürlichen Zahlen. Für das k-te Folgenglied gilt x k = k. Eine andere Schreibweise ist (x k ) = (1, 2, 3,...).

39 Beispiele von Zahlenfolgen 1, 2, 3, 4,... ist die Folge der natürlichen Zahlen. Für das k-te Folgenglied gilt x k = k. Eine andere Schreibweise ist (x k ) = (1, 2, 3,...). x k = 1 oder (x k ) = (1, 1, 1,...) (=konstante Folge).

40 Beispiele von Zahlenfolgen 1, 2, 3, 4,... ist die Folge der natürlichen Zahlen. Für das k-te Folgenglied gilt x k = k. Eine andere Schreibweise ist (x k ) = (1, 2, 3,...). x k = 1 oder (x k ) = (1, 1, 1,...) (=konstante Folge). x k = ( 1) k oder (x k ) = ( 1, 1, 1, 1,...) (=alternierende Folge)

41 Beispiele von Zahlenfolgen 1, 2, 3, 4,... ist die Folge der natürlichen Zahlen. Für das k-te Folgenglied gilt x k = k. Eine andere Schreibweise ist (x k ) = (1, 2, 3,...). x k = 1 oder (x k ) = (1, 1, 1,...) (=konstante Folge). x k = ( 1) k oder (x k ) = ( 1, 1, 1, 1,...) (=alternierende Folge) (x k ) = (3, 3, 1, 3, 14, 3, 141,...)

42 Wie viele Zahlenfolgen gibt es? Wir betrachten nur Zahlenfolgen von natürlichen Zahlen. Sind die abzählbar oder überabzählbar?

43 Wie viele Zahlenfolgen gibt es? Wir betrachten nur Zahlenfolgen von natürlichen Zahlen. Sind die abzählbar oder überabzählbar? Wir zeigen, dass bereits die Zahlenfolgen mit Werten in 0,1 überabzählbar sind. Diese nennen wir kurz 0,1-Folgen.

44 Wie viele Zahlenfolgen gibt es? Wir betrachten nur Zahlenfolgen von natürlichen Zahlen. Sind die abzählbar oder überabzählbar? Wir zeigen, dass bereits die Zahlenfolgen mit Werten in 0,1 überabzählbar sind. Diese nennen wir kurz 0,1-Folgen. Angenommen, wir könnten alle 0,1-Folgen nummerieren. Dann hätten wir eine Liste, die alle 0,1-Folgen umfaßt:

45 Wie viele Zahlenfolgen gibt es? 1: : : : : :

46 Wie viele Zahlenfolgen gibt es? 1: : : : : : Wir konstruieren aus den eingekreisten Diagonalelementen eine neue Folge: neu: Diese ist nicht in der Liste enthalten. Damit sind die 0,1-Folgen überabzählbar.

47 Teilmenge und Potenzmenge A B x (x A x B).

48 Teilmenge und Potenzmenge A B Warum gilt A für jede Menge A? x (x A x B).

49 Teilmenge und Potenzmenge A B Warum gilt A für jede Menge A? x (x A x B). Die Voraussetzung x ist immer falsch, die Implikation daher immer richtig.

50 Teilmenge und Potenzmenge A B Warum gilt A für jede Menge A? x (x A x B). Die Voraussetzung x ist immer falsch, die Implikation daher immer richtig. Die Potenzmenge P(A) einer Menge A besteht aus allen Teilmengen von A.

51 Teilmenge und Potenzmenge A B Warum gilt A für jede Menge A? x (x A x B). Die Voraussetzung x ist immer falsch, die Implikation daher immer richtig. Die Potenzmenge P(A) einer Menge A besteht aus allen Teilmengen von A. Beispiel: Für A = {1, 2, 3} gilt P(A) = {,{1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{1, 2, 3} }.

52 Ein weiteres Resultat mit vorigem Beweis Satz Die Potenzmenge von Æ ist überabzählbar.

53 Ein weiteres Resultat mit vorigem Beweis Satz Die Potenzmenge von Æ ist überabzählbar. Wie kann man die Elemente der Potenzmenge als 0, 1-Folgen schreiben?

54 Ein weiteres Resultat mit vorigem Beweis Satz Die Potenzmenge von Æ ist überabzählbar. Wie kann man die Elemente der Potenzmenge als 0, 1-Folgen schreiben? Ist A Æ so definiere eine 0, 1-Folge x A durch { 1 falls n A x A (n) = 0 falls n / A

55 Ein weiteres Resultat mit vorigem Beweis Satz Die Potenzmenge von Æ ist überabzählbar. Wie kann man die Elemente der Potenzmenge als 0, 1-Folgen schreiben? Ist A Æ so definiere eine 0, 1-Folge x A durch { 1 falls n A x A (n) = 0 falls n / A Dies liefert eine bijektive Abbildung zwischen den 0, 1-Folgen und P(Æ).

56 Wie viele Zahlenfolgen gibt es? Wie viele definierbare 0,1-Folgen gibt es?

57 Wie viele Zahlenfolgen gibt es? Wie viele definierbare 0,1-Folgen gibt es? Dabei ist definierbar hier etwas schwammig. Wir stellen uns vor, dass wir eine Sprache haben, in der wir 0,1-Folgen definieren können, z.b. eine Programmiersprache, in der wir Programme scheiben, die 0,1-Folgen liefern. Wie viele solcher Programme gibt es?

58 Wie viele Zahlenfolgen gibt es? Wie viele definierbare 0,1-Folgen gibt es? Dabei ist definierbar hier etwas schwammig. Wir stellen uns vor, dass wir eine Sprache haben, in der wir 0,1-Folgen definieren können, z.b. eine Programmiersprache, in der wir Programme scheiben, die 0,1-Folgen liefern. Wie viele solcher Programme gibt es? Allgemein können wir höchstens abzählbare Objekte formal definieren. Deshalb ist es wichtig zu wissen, ob eine Menge abzählbar oder überabzählbar ist.

59 Beschränkte Folgen Eine Folge (x k ) k Æ heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit x k M für alle k Æ.

60 Beschränkte Folgen Eine Folge (x k ) k Æ heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit x k M für alle k Æ. Man schreibe dies formal hin. Man formuliere die Aussage, dass eine Folge unbeschränkt ist und schreibe auch dieses formal hin.

61 Beschränkte Folgen Eine Folge (x k ) k Æ heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit x k M für alle k Æ. Man schreibe dies formal hin. Man formuliere die Aussage, dass eine Folge unbeschränkt ist und schreibe auch dieses formal hin. (x k ) beschränkt M k Æ x k M

62 Beschränkte Folgen Eine Folge (x k ) k Æ heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit x k M für alle k Æ. Man schreibe dies formal hin. Man formuliere die Aussage, dass eine Folge unbeschränkt ist und schreibe auch dieses formal hin. (x k ) beschränkt M k Æ x k M Eine Folge ist unbeschränkt, wenn es zu jedem M ein k Æ gibt mit x k > M.

63 Beschränkte Folgen Eine Folge (x k ) k Æ heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit x k M für alle k Æ. Man schreibe dies formal hin. Man formuliere die Aussage, dass eine Folge unbeschränkt ist und schreibe auch dieses formal hin. (x k ) beschränkt M k Æ x k M Eine Folge ist unbeschränkt, wenn es zu jedem M ein k Æ gibt mit x k > M. Formal ist eine Folge unbeschränkt, wenn M k Æ x k > M.

64 Beschränkte Folgen Ist die folgende Aussage zu (x k ) ist beschränkt äquivalent? Es gibt ein K Æ, so dass die Folge (x k ) k K = (x K, x K+1, x K+2,...) beschränkt ist.

65 Beschränkte Folgen Ist die folgende Aussage zu (x k ) ist beschränkt äquivalent? Es gibt ein K Æ, so dass die Folge (x k ) k K = (x K, x K+1, x K+2,...) beschränkt ist.

66 Beschränkte Folgen Ist die folgende Aussage zu (x k ) ist beschränkt äquivalent? Es gibt ein K Æ, so dass die Folge (x k ) k K = (x K, x K+1, x K+2,...) beschränkt ist. Ja. Sei M eine Schranke der Folge (x k ) k K. Dann ist M ges = max{ x 1, x 2,..., x K 1, M} eine Schranke für die Ausgangsfolge.

67 Folgerung Die Beschränktheit ist ein einfaches Beispiel für einen Begriff, der nur vom Verhalten der Folgenglieder im Unendlichen abhängt:

68 Folgerung Die Beschränktheit ist ein einfaches Beispiel für einen Begriff, der nur vom Verhalten der Folgenglieder im Unendlichen abhängt: Die Beschränktheit oder Unbeschränktheit einer Folge ändert sich nicht, wenn man endlich viele Folgenglieder weglässt,

69 Folgerung Die Beschränktheit ist ein einfaches Beispiel für einen Begriff, der nur vom Verhalten der Folgenglieder im Unendlichen abhängt: Die Beschränktheit oder Unbeschränktheit einer Folge ändert sich nicht, wenn man endlich viele Folgenglieder weglässt, wenn man endlich viele Folgenglieder der Folge hinzufügt.

70 Konvergente Folgen Eine Folge (x k ) konvergiert gegen ein x Ê, wenn es zu jedem ε > 0 ein K Æ gibt mit x k x < ε für alle k K.

71 Konvergente Folgen Eine Folge (x k ) konvergiert gegen ein x Ê, wenn es zu jedem ε > 0 ein K Æ gibt mit x k x < ε für alle k K. x+ε x x-ε K k Ab einem Index K liegen alle Folgenglieder im Schlauch {y : y x < ε}.

72 Beispiele zur Konvergenz 1. Die konstante Folge x k = 1 konvergiert gegen x = 1 wegen x k x = 1 1 = 0 < ε k Æ.

73 Beispiele zur Konvergenz 1. Die konstante Folge x k = 1 konvergiert gegen x = 1 wegen x k x = 1 1 = 0 < ε k Æ. 2. Die Folge x k = 1 k konvergiert gegen x = 0. Zu jedem ε > 0 gibt es ein K Æ mit 1 K < ε.

74 Beispiele zur Konvergenz 1. Die konstante Folge x k = 1 konvergiert gegen x = 1 wegen x k x = 1 1 = 0 < ε k Æ. 2. Die Folge x k = 1 k konvergiert gegen x = 0. Zu jedem ε > 0 gibt es ein K Æ mit 1 K < ε. Für k K gilt daher x k x = 1 k 1 K < ε.

75 Beispiele zur Konvergenz 3. Die alternierende Folge x k = ( 1) k konvergiert nicht. Wir wählen ε = 1 2.

76 Beispiele zur Konvergenz 3. Die alternierende Folge x k = ( 1) k konvergiert nicht. Wir wählen ε = 1 2. x+1/2 x x-1/2 k Gleichgültig, welches x Ê wir wählen, es liegen immer unendlich viele Folgenglieder außerhalb des Schlauchs.

77 Beispiele zur Konvergenz 4. Sei x k der k te Abschnitt in der Dezimaldarstellung von π, also x 1 = 3, 1, x 2 = 3, 14, x 3 = 3, 141, x 4 = 3, 1415,... Dann gilt π x k 0, } {{} k+1. k-mal

78 Beispiele zur Konvergenz 4. Sei x k der k te Abschnitt in der Dezimaldarstellung von π, also x 1 = 3, 1, x 2 = 3, 14, x 3 = 3, 141, x 4 = 3, 1415,... Dann gilt π x k 0, } {{} k+1. k-mal Zu ε > 0 gibt es ein K mit 10 K+1 < ε. Für k K gilt dann π x k 10 k+1 10 K+1 < ε.

79 Konvergente Folgen Eine Folge (x k ) konvergiert gegen ein x Ê, wenn es zu jedem ε > 0 ein K Æ gibt mit x k x < ε für alle k K.

80 Konvergente Folgen Eine Folge (x k ) konvergiert gegen ein x Ê, wenn es zu jedem ε > 0 ein K Æ gibt mit x k x < ε für alle k K. Man formuliere dies mit eigenen Worten und schreibe es anschließend formal hin.

81 Konvergente Folgen Eine Folge (x k ) konvergiert gegen ein x Ê, wenn es zu jedem ε > 0 ein K Æ gibt mit x k x < ε für alle k K. Man formuliere dies mit eigenen Worten und schreibe es anschließend formal hin. Der Abstand zwischen x k und x wird für große Indizes k beliebig klein. Oder formal: ε > 0 K Æ k K x k x < ε

82 Konvergente Folgen Man formuliere mit eigenen Worten, dass eine Folge nicht gegen x Ê konvergiert und schreibe dies anschließend formal hin.

83 Konvergente Folgen Man formuliere mit eigenen Worten, dass eine Folge nicht gegen x Ê konvergiert und schreibe dies anschließend formal hin. Beispiel für eine Formulierung mit eigenen Worten (kann jede(r) auch anders ausdrücken): Es gibt ein ε > 0, so dass x k x ε für unendlich viele k.

84 Konvergente Folgen Man formuliere mit eigenen Worten, dass eine Folge nicht gegen x Ê konvergiert und schreibe dies anschließend formal hin. Beispiel für eine Formulierung mit eigenen Worten (kann jede(r) auch anders ausdrücken): Es gibt ein ε > 0, so dass x k x ε für unendlich viele k. Oder formal: ε > 0 K Æ k K x k x ε.

85 Konvergente Folgen Eine Folge (x k ) konvergiert gegen ein x Ê, wenn es zu jedem ε > 0 ein K Æ gibt mit x k x < ε für alle k K.

86 Konvergente Folgen Eine Folge (x k ) konvergiert gegen ein x Ê, wenn es zu jedem ε > 0 ein K Æ gibt mit x k x < ε für alle k K. Eine Eigenschaft trifft für fast alle Folgenglieder zu, wenn sie für alle bis auf endlich viele Folgenglieder zutrifft.

87 Konvergente Folgen Eine Folge (x k ) konvergiert gegen ein x Ê, wenn es zu jedem ε > 0 ein K Æ gibt mit x k x < ε für alle k K. Eine Eigenschaft trifft für fast alle Folgenglieder zu, wenn sie für alle bis auf endlich viele Folgenglieder zutrifft. Welche der folgenden Aussagen sind zu (x k ) konvergiert gegen x äquivalent? Für jedes ε > 0 gilt x k x < ε für fast alle Folgenglieder.

88 Konvergente Folgen Eine Folge (x k ) konvergiert gegen ein x Ê, wenn es zu jedem ε > 0 ein K Æ gibt mit x k x < ε für alle k K. Eine Eigenschaft trifft für fast alle Folgenglieder zu, wenn sie für alle bis auf endlich viele Folgenglieder zutrifft. Welche der folgenden Aussagen sind zu (x k ) konvergiert gegen x äquivalent? Für jedes ε > 0 gilt x k x < ε für fast alle Folgenglieder. Für jedes m Æ gilt x k x < 1 m für fast alle Folgenglieder.

89 Konvergente Folgen Im Hinblick auf Konvergenz ist es gleichgültig, was eine Folge auf endlichen Abschnitten macht. Konvergenz einer Folge ist ein wichtiges Beispiel dafür, wie die Mathematik einen infinitesimalen Begriff in den Griff bekommt.

90 Konvergente Folgen Im Hinblick auf Konvergenz ist es gleichgültig, was eine Folge auf endlichen Abschnitten macht. Konvergenz einer Folge ist ein wichtiges Beispiel dafür, wie die Mathematik einen infinitesimalen Begriff in den Griff bekommt. Wir können das letzte Beispiel aus der vorigen Folie noch verschärfen. Sei (y k ) eine positive Nullfolge, also y k > 0 und y k 0. Ein Beispiel dafür ist y k = 1 k wie in der letzten Folie. Dann:

91 Konvergente Folgen Im Hinblick auf Konvergenz ist es gleichgültig, was eine Folge auf endlichen Abschnitten macht. Konvergenz einer Folge ist ein wichtiges Beispiel dafür, wie die Mathematik einen infinitesimalen Begriff in den Griff bekommt. Wir können das letzte Beispiel aus der vorigen Folie noch verschärfen. Sei (y k ) eine positive Nullfolge, also y k > 0 und y k 0. Ein Beispiel dafür ist y k = 1 k wie in der letzten Folie. Dann: Eine Folge (x k ) konvergiert genau dann gegen x, wenn für jedes m Æ gilt x k x < y m für fast alle Folgenglieder.

92 Konvergente Folgen Im Hinblick auf Konvergenz ist es gleichgültig, was eine Folge auf endlichen Abschnitten macht. Konvergenz einer Folge ist ein wichtiges Beispiel dafür, wie die Mathematik einen infinitesimalen Begriff in den Griff bekommt. Wir können das letzte Beispiel aus der vorigen Folie noch verschärfen. Sei (y k ) eine positive Nullfolge, also y k > 0 und y k 0. Ein Beispiel dafür ist y k = 1 k wie in der letzten Folie. Dann: Eine Folge (x k ) konvergiert genau dann gegen x, wenn für jedes m Æ gilt x k x < y m für fast alle Folgenglieder. Wir müssen durch unsere Definition nur garantieren, dass die Abstände der Folgenglieder zum Grenzwert beliebig klein werden.

93 Dezimalsystem Eine ganze Zahl n schreibt man gewöhnlich im Dezimalsystem in der Form a k a k 1...a 0, a i {0, 1,...,9}, a k 0.

94 Dezimalsystem Eine ganze Zahl n schreibt man gewöhnlich im Dezimalsystem in der Form Dies bedeutet a k a k 1...a 0, a i {0, 1,...,9}, a k 0. n = a k 10 k + a k 1 10 k a 1 10+a 0 = k a i 10 i. i=0

95 Dezimalsystem Eine ganze Zahl n schreibt man gewöhnlich im Dezimalsystem in der Form Dies bedeutet a k a k 1...a 0, a i {0, 1,...,9}, a k 0. n = a k 10 k + a k 1 10 k a 1 10+a 0 = k a i 10 i. i=0 Es handelt sich hierbei um ein Stellenwertsystem, weil der Wert der Ziffer von der Position abhängt.

96 Dezimalsystem Eine ganze Zahl n schreibt man gewöhnlich im Dezimalsystem in der Form Dies bedeutet a k a k 1...a 0, a i {0, 1,...,9}, a k 0. n = a k 10 k + a k 1 10 k a 1 10+a 0 = k a i 10 i. i=0 Es handelt sich hierbei um ein Stellenwertsystem, weil der Wert der Ziffer von der Position abhängt. Im Gegensatz dazu ist das römische Zahlsystem ein additives System: Die Position eines Zeichens spielt bis auf wenige Ausnahmen keine Rolle.

97 Andere Grundzahlen Die Grundzahl g = 10 in unserem Dezimalsystem wird auf das Zählen mit 10 Fingern zurückgeführt. Es waren und sind aber viele andere Grundzahlen g als g = 10 in Gebrauch:

98 Andere Grundzahlen Die Grundzahl g = 10 in unserem Dezimalsystem wird auf das Zählen mit 10 Fingern zurückgeführt. Es waren und sind aber viele andere Grundzahlen g als g = 10 in Gebrauch: g = 12: Davon gibt es hauptsächlich noch sprachliche Überreste wie Dutzend= 12 und Gros= 144 = Auch der aus dem Franösischen stammende Ausdruck en gros für eine große Menge geht auf das Gros zurück.

99 Andere Grundzahlen Die Grundzahl g = 10 in unserem Dezimalsystem wird auf das Zählen mit 10 Fingern zurückgeführt. Es waren und sind aber viele andere Grundzahlen g als g = 10 in Gebrauch: g = 12: Davon gibt es hauptsächlich noch sprachliche Überreste wie Dutzend= 12 und Gros= 144 = Auch der aus dem Franösischen stammende Ausdruck en gros für eine große Menge geht auf das Gros zurück. g = 2: Ein Computer kann nur solche Binärzahlen verarbeiten. Da solche Zahlen sehr lang werden, fasst man mehrere Binärziffern zusammen zu Oktalzahlen g = 8 oder Hexadezimalzahlen g = 16.

100 Andere Grundzahlen Die Grundzahl g = 10 in unserem Dezimalsystem wird auf das Zählen mit 10 Fingern zurückgeführt. Es waren und sind aber viele andere Grundzahlen g als g = 10 in Gebrauch: g = 12: Davon gibt es hauptsächlich noch sprachliche Überreste wie Dutzend= 12 und Gros= 144 = Auch der aus dem Franösischen stammende Ausdruck en gros für eine große Menge geht auf das Gros zurück. g = 2: Ein Computer kann nur solche Binärzahlen verarbeiten. Da solche Zahlen sehr lang werden, fasst man mehrere Binärziffern zusammen zu Oktalzahlen g = 8 oder Hexadezimalzahlen g = 16. g = 60: Überreste dieses Systems findet man bei Zeit- und Winkelabschnitten.

101 Andere Grundzahlen g = 20: In manchen Sprachen werden die Zehner als Vielfache der Zahl 20 benannt, was auf eine frühere Verwendung des Zwanzigersystems hindeutet. Reste findet man auch im Französischen und im Dänischen.

102 Andere Grundzahlen g = 20: In manchen Sprachen werden die Zehner als Vielfache der Zahl 20 benannt, was auf eine frühere Verwendung des Zwanzigersystems hindeutet. Reste findet man auch im Französischen und im Dänischen. g = 4: Das wird sicher nicht zum Zählen benutzt. Das römische Münzsystem folgt weitgehend dem Vierersystem, bei dem man zum Zahlen nicht so viele Münzen bereit halten muss.

103 Zahldarstellung in einem Stellenwertsystem Die Darstellung einer Zahl n in einem Stellenwertsystem zur Grundzahl g lässt sich leicht bestimmen. Wir teilen die Zahl durch g mit Rest, n = n 0 = n 1 g + a 0, n 1 = n 2 g + a 1,...

104 Zahldarstellung in einem Stellenwertsystem Die Darstellung einer Zahl n in einem Stellenwertsystem zur Grundzahl g lässt sich leicht bestimmen. Wir teilen die Zahl durch g mit Rest, n = n 0 = n 1 g + a 0, n 1 = n 2 g + a 1,... und erhalten schließlich die Darstellung n = k a i g i. i=0

105 Zahldarstellung in einem Stellenwertsystem Die Darstellung einer Zahl n in einem Stellenwertsystem zur Grundzahl g lässt sich leicht bestimmen. Wir teilen die Zahl durch g mit Rest, n = n 0 = n 1 g + a 0, n 1 = n 2 g + a 1,... und erhalten schließlich die Darstellung n = k a i g i. i=0 Als Beispiel stellen wir die Zahl 18 in einigen Stellenwertsystemen dar = = = 22 8 =

106 Die geometrische Summenformel Die geometrische Summenformel lautet für q 1 n i=0 q i = 1 qn+1 1 q.

107 Die geometrische Summenformel Die geometrische Summenformel lautet für q 1 n i=0 q i = 1 qn+1 1 q. Man beweist sie, in dem man den Teleskopeffekt beachtet, n q i (1 q) = i=0 n n q i q i+1 = 1 q n+1. i=0 i=0

108 Die geometrische Summenformel n i=0 q i = 1 qn+1 1 q.

109 Die geometrische Summenformel n i=0 q i = 1 qn+1 1 q. Für q < 1 konvergiert q i gegen Null.

110 Die geometrische Summenformel n i=0 q i = 1 qn+1 1 q. Für q < 1 konvergiert q i gegen Null. Wir können daher für diese q in der geometrischen Sumenformel zum Grenzwert übergehen und erhalten i=0 q i = 1, für q < 1. 1 q

111 Dezimalbrüche Bekanntlich wird mit einem unendlichen Dezimalbruch der Form 0, a 1 a 2 a 3..., a i {0, 1, 2,...9} die reelle Zahl dargestellt. i=1 a i 10 i

112 Dezimalbrüche Bekanntlich wird mit einem unendlichen Dezimalbruch der Form 0, a 1 a 2 a 3..., a i {0, 1, 2,...9} die reelle Zahl dargestellt. i=1 a i 10 i Wegen a i 9 lässt sich diese Reihe mit c i = 9 10 i durch die geometrische Reihe majorisieren.

113 Dezimalbrüche Bekanntlich wird mit einem unendlichen Dezimalbruch der Form 0, a 1 a 2 a 3..., a i {0, 1, 2,...9} die reelle Zahl dargestellt. i=1 a i 10 i Wegen a i 9 lässt sich diese Reihe mit c i = 9 10 i durch die geometrische Reihe majorisieren. Betrachte auch allgemeinere Entwicklungen nach beliebigen Grundzahlen g Æ\{1} i=1 a i g i, a i {0, 1...,g 1}.

114 Dezimalbrüche Ein Fall ist in dieser Darstellung nicht eindeutig, nämlich i=1 g 1 g i = g 1 g 1 g i = g 1 g i= g = 1.

115 Dezimalbrüche Ein Fall ist in dieser Darstellung nicht eindeutig, nämlich i=1 g 1 g i = g 1 g 1 g i = g 1 g i= g = 1. Wir vereinbaren daher, dass unsere Entwicklungen nicht auf Periode g 1 enden dürfen.

116 Der Hauptsatz Für eine reelle Zahl a bezeichnen wir mit [a] die größte ganze Zahl a, es ist also [1, 3] = 1 und [ 1, 3] = 2.

117 Der Hauptsatz Für eine reelle Zahl a bezeichnen wir mit [a] die größte ganze Zahl a, es ist also [1, 3] = 1 und [ 1, 3] = 2. Satz: Sei g eine natürliche Zahl 2. Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl a gibt es eindeutige Zahlen a 0 Æ 0 und a 1, a 2, a 3,... {0, 1,...,g 1} mit a = a 0 + i=1 a i g i.

118 Beweis Sei a 0 = [a].

119 Beweis Sei a 0 = [a]. Dann gilt a a 0 [0, 1).

120 Beweis Sei a 0 = [a]. Dann gilt Wir setzen a a 0 [0, 1). a 1 = [g(a a 0 )] {0,...,g 1}.

121 Beweis Sei a 0 = [a]. Dann gilt Wir setzen a a 0 [0, 1). a 1 = [g(a a 0 )] {0,...,g 1}. Es gilt dann g(a a 0 ) a 1 [0, 1) und wir können das Verfahren mit a 2 = [ g ( g(a a 0 ) a 1 )] fortsetzen.

122 Beweis Sei a 0 = [a]. Dann gilt Wir setzen a a 0 [0, 1). a 1 = [g(a a 0 )] {0,...,g 1}. Es gilt dann g(a a 0 ) a 1 [0, 1) und wir können das Verfahren mit a 2 = [ g ( g(a a 0 ) a 1 )] fortsetzen. Auf diese Weise erhalten wir die gewünschten Ziffern a 1, a 2,...

123 Beispiel Wir wollen 1 3 im Binärsystem entwickeln. Es ist [ a 0 = 0, a 1 = 2 1 ] [ 2 [ = = 0, a 2 = 2 3 3] 2 ] 3 [ a 3 = 2 1 ] 3 [ 2 = = 0 3] [ 4 = = 1, 3]

124 Beispiel Wir wollen 1 3 im Binärsystem entwickeln. Es ist [ a 0 = 0, a 1 = 2 1 ] [ 2 [ = = 0, a 2 = 2 3 3] 2 ] 3 und es ist klar, dass [ a 3 = 2 1 ] = [ 2 = = 0 3] [ 4 = = 1, 3]

125

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