Trigonometrie. Geometrie - Kapitel 3 Sprachprofil - Mittelstufe KSOe. Ronald Balestra CH Zürich

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1 Trigonometrie Geometrie - Kapitel 3 Sprachprofil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname: 31. Januar 2013

2 Überblick über die bisherigen ALGEBRA - Themen: 1 Ähnlichkeit * 1.1 Definitionen & Eigenschaften 1.2 Kongruenzabbildungen 1.3 Zentrische Streckungen 1.4 Ähnlichkeit am Dreieck 1.5 Die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras 1.6 Ähnlichkeit im und am Kreis 1.7 Die Strahlensätze 2 Der Kreis 2.1 Definitionen 2.2 Repetition 2.3 Keisfläche 2.4 Kreisumfang 2.5 Anwendungen & erstaunliche Eigenschaften I

3 Inhaltsverzeichnis 3 Trigonometrie Warum Trigonometrie Ähnlichkeit & Strahlensätze Ähnlichkeit Die Strahlensätze Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Trigonometrie am Einheitskreis Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen Astrometrie - ein WebQuest Trigonometrie im beliebigen Dreieck Repetition Sinussatz Eine oder mehrere Lösungen? Der Cosinussatz II

4 3 Trigonometrie Wir werden uns im ersten Teil des der Trigonmetrie damit beschäftigen, Warum Trigonometrie gebraucht wird. Anschliessend werden wir uns sehr kurz mit den geometrisch notwendigenden Grundlagen, der Ähnlichkeit und den Strahlensätzen auseinandersetzen um uns dann im Folgenden mit der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck zu befassen. In einem Webquest zur Astrometrie werden wir einige Anwendungen der Distanzbestimmungen diskutieren. Im zweiten Teil werden wir das Kapitel der Trigonometrie im beliebigen Dreieck abschliessen. 3.1 Warum Trigonometrie In der Trigonometrie (von griechisch trigonon - Dreieck und métron - Mass) werden wir uns mit der Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieck befassen. Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras schon einige Aufgaben exakt lösen: Beispiel 3.1 In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Länge der Hypotenuse c = 6 und die Länge einer Kathete b = 3, 7 bekannt. Konstruiere das Dreieck ABC und berechne die Länge der zweiten Kathete und die Höhe des Dreiecks ABC. Doch schon für die Bestimmung der Winkelöffnungen sind wir auf wenig genaue Hilfsmittel angewiesen: 1

5 Durch das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und dem Bestimmen der Winkelöffnung mit Hilfe des Geodreiecks schleichen sich Fehler ein, die wir später durch die Anwendung trigonometrischer Berechnungsmethoden werden verhindern können. Zu dem sind wir bei unseren bisherigen Berechnungen auf die Existenz eines rechten Winkel angewiesen (Warum?) und auch auf die Angabe der richtigen Dreiecksteile: Beispiel 3.2 In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Länge der Kathete a = 5, 5 und die Öffnung des Winkels α = 63 0 bekannt. Konstruiere das Dreieck ABC und berechne die Längen der übrigen Seiten und die Grösse des fehlenden Winkels. Mit Hilfe der trigonometrischen Beziehungen werden wir später auch diese Aufgabe (und ähnliche) exakt lösen können. Wegen der grossen Bedeutungen der Satzgruppe des Pythageoras werden wir uns in der 1. Aufgabenserie mit einigen entsprechenden Aufgaben befassen. Geometrie-Aufgaben: Repetitionsserie - Trigonometrie I 2

6 3.2 Ähnlichkeit & Strahlensätze Wir beginnen mit einer sehr kurzen Diskussion des Begriffs der Ähnlichkeit und der damit verbundenen wichtigen Eigenschaft der Erhaltungen der Verhältnisse und den Strahlensätzen Ähnlichkeit Aus dem Alltag wissen wir, was zueinander ähnliche Figuren auszeichnen:... Mathematisch wird der Begriff wie folgt definiert: Def.: Zwei geometrische Figuren A und B heissen ähnlich : es existiert eine Ähnlichkeitsabbildung, welche A auf B abbildet. Bem. : Schreibweise: A B Da eine Ähnlichkeitsabbildung die Form erhalten muss, sind nur Kombinationen aus folgenden Abbildungen möglich: 3

7 ... das heisst also, dass wenn für die folgenden Dreiecke gilt ABC A B C dass dann... 4

8 Wichtig ist nun zu wissen, dass trotz Änderung der Grösse die Verhältnisse der entsprechenden Seiten erhalten bleiben: Was für ein Zusammenhang besteht bei zueinander ähnlichen Figuren zwischen dem Streckungsfaktor und dem Flächeninhalt? 5

9 3.2.2 Die Strahlensätze Wir beginnen zur Einführung der Strahlensätze mit einer einfachen praktischen Anwendung: Wie hoch ist der Baum? llll ~ D Mit einem alten, einfachen Verfahren hat ein Förster die Frage schnell beantwortet. Er braucht nur die Sonne, einen Stab und ein wenig Geometrie. Ein Baum der Länge L wirft eine Schatten der Länge D. In den Schatten wird ein Stab der Länge l so gestellt, dass beide Schattenspitzen zusammenfallen; der Schatten des Stabes hat die Länge d. Der Förster berechnet die Baumlänge nun nach der folgenden Formel: L D = l d Beweis: (über die Flächeninhalte) 6

10 Auch im Fall von nicht-senkrecht stehenden Bäumen lässt sich die Höhe mit der gleichen Formel berechnen. Für den Beweis setzen wir voraus, dass der Stab parallel zum Baum steht. D Beweis: (mit Hilfe der Ähnlichkeit) Die Erhaltung der Seitenverhältnis durch die Ähnlichkeit liefert noch viele weitere Verhältnisse, welche in den sog. Strahlensätze zusammengefasst werden. 7

11 1. Strahlensatz: Werden die Schenkel eines Winkels von zwei parallelen Geraden geschnitten, so verhalten sich Strahlensatz: Werden die Schenkel eines Winkels von zwei parallelen Geraden geschnitten, so verhalten sich.... 8

12 Aufgaben : Die Strahlensätze lassen sich auch auf die folgenden Situationen anwenden: Formuliere in allen Situationen die gültigen Streckenverhältnisse. 9

13 Aufgaben : Bestimme jeweils die gesuchten Streckenlängen: 1. Mit folgenden Vorgaben: (a) a = 3, c = 2, g = 5; f =? (b) a = 3, b = 5, e = 4; d, g =? (c) a = 5, b = 4, c = 3, d = 10; f, h =? (d) d = 5, e = 4, h = 6; a =? (e) c = 4, d = 6, e = 4.5, f = 10; a, b =? (f) b = 4, c = 2, d = 3, f = 3; g, h =? (g) a = 2, g = 6, h = 8; b =? (h) a = 7, b = 2, g = 10; e =? in der folgenden Situation: 10

14 2. Mit folgenden Vorgaben: (a) a = 4.5, b = 7.5, e = 5, f = 4; c, d =? (b) b = 3.5, c = 2, f = 4.8; e =? (c) a = 4.5, d = 3, b + e = 12.5; e =? (d) a = 4.5, d = 6, b + e = 10, c + f = 7; b, c, e, f =? (e) a = 3, b = 4, c = 5, e + f + d = 18; d, e, f =? in der folgenden Situation: 11

15 Fasse das Wichtigste aus unserer kurzen Einführung in die Ähnlichkeit im Folgenden zusammen: 12

16 3.3 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Wir beginnen mit den trigonometrischen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck und untersuchen dazu die folgenden Dreiecke auf Gemeinsamkeiten: Was haben die folgenden Dreiecke gemeinsam? 13

17 Wir fassen zusammen: Def.: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen werden die trigonometrischen Funktionen wie folgt definiert: sin α := cos α := tan α := Bem.: sin β := cos β := tan β :=... und wir können schon die ersten Beziehungen zwischen sin und cos (in einem rechtwinkligen Dreieck) formulieren: 14

18 Aufgaben : Bestimme mit dem Taschenrechner die folgenden Werte: 1. den Sinus von 13 0, , , 2. den Cosinus von 77 0, , 54 0, 3. den Tangens von 2 0, , 4. den Winkel mit dem zugehörigen Sinuswert 0.8, 0.2, 0.6, 5. den Winkel mit dem zugehörigen Cosinuswert 0.8, 0.2, 2.1, 6. den Winkel mit dem zugehörigen Tangenswert 0.8, 0.2, 2.1. Bestimme die folgenden Werte exakt und verifiziere deine Resultate mit dem TR: α sin cos tan

19 Standardaufgaben : Für die folgenden Aufgaben arbeiten wir wieder in einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den üblichen Bezeichnungen: 1. Geg: c = 56.4 α = Ges.: a, b 2. Geg: a = β = Ges.: b, c 3. Geg: a = b = 6.48 Ges.: α, c, β Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 1 & 2 16

20 3.4 Trigonometrie am Einheitskreis In diesem Abschnitt werden wir den Einheitskreis einführen und an ihm die trigonometrischen Beziehungen neu definieren. Wir werden ihn als praktisches Hilfsmittel kennenlernen und festellen,... dass die bisherigen Definitionen (im rechtwinkligen Dreieck) weiterhin Gültigkeit haben, dass wir die trigonometrischen Funktionen nicht nur auf Winkel zwischen 0 0 und 90 0 anwenden können und dass es einige interessante Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen gibt. Der Einheitskreis: Def.: cos ϕ := x-koordinate von P Veranschaulichung: sin ϕ := y-koordinate von P tan ϕ := Quotient der y- & der x-koordinate von P 17

21 Verwende zur Lösung der folgenden Aufgaben den Einheitskreis: Aufgaben : 1. Bestimme die folgenden Werte: ϕ sin cos tan Beweise: sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 3. Beweise: sin ϕ = cos(90 0 ϕ) 4. Beweise: cos ϕ = sin(90 0 ϕ) Als einen weiteren Zusammenhang wollen wir festhalten: tan ϕ = sin ϕ cos ϕ 18

22 Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich viele Beziehungen und Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen erkennen: Für welche Winkel ist der sin-wert negativ? Für welche Winkel ist der cos-wert > 0.5? Für welche Winkel ist der tan-wert positiv? 19

23 Für welche Winkel erhalten wir den selben sin-wert? und aus dem Verhalten der x-koordinaten können wir schliessen: Für welche Winkel erhalten wir denselben cos-wert? und aus dem Verhalten der x-koordinaten können wir schliessen: Was für Beziehungen zwischen sin und cos lassen sich im 3. Quadranten bestimmen? 20

24 Aufgabe : Formuliere eigene Beziehungen zwischen sin und cos. 21

25 Wir wollen uns abschliessend noch mit dem Tangens beschäftigen: Nach Definition gilt für den Tangens: tan ψ := sin ψ cos ψ im 2. Quadranten: tan ψ = im 3. Quadranten: tan ψ = im 4. Quadranten: tan ψ = Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 3-1.Seite 22

26 3.5 Das Bogenmass & die Graphen der trigonometrischen Funktionen Neben der Darstellung der Argumente der trigonometrischen Funktionen im Gradmass ist auch die Darstellung im sog. Bogenmass üblich. Wir verwenden als Grundlage den Zusammenhang zwischen dem Umfang des Einheitskreises und der zugehörigen Winkelöffnung:... und definieren: Aufgaben : Stelle die Aufgabe im Bogenmass dar und berechne den Funktionswert: 1. sin cos tan 90 0 Stelle die Aufgabe im Gradmass dar und bestimme den Funktionswert: 1. sin π 2 2. cos π 6 3. tan 2π 3 Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 3-2.Seite 23

27 Die graphischen Darstellungen von sin, cos & tan: für den Sinus: für den Cosinus: 24

28 für den Tangens: 25

29 3.6 Astrometrie - ein WebQuest 26

30 3.7 Trigonometrie im beliebigen Dreieck Repetition Bei den bisherigen trigonometrischen Betrachtungen haben wir jeweils ein rechtwinkliges Dreieck vorausgesetzt und die trigonometrischen Funktionen wie folgt in einem rechtwinklige Dreieck definiert: sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = mit D(sin) = D(cos) = D(sin) = W(cos) = D(tan) = W(tan) = und schon die folgenden wichtigen Beziehungen kennengelernt: 27

31 Im Einheitskreis haben wir dann die trigonometrischen Funktionen wie folgt definiert: sin ϕ = cos ϕ = Mit Hilfe des Einheitskreises lassen sich mehrere trigonometrische Beziehung graphisch herleiten. So folgt z.b.: sin(ϕ + π) = cos( ϕ) = sin ϕ < 0 ϕ... cos ϕ > 0 ϕ.... sin 2 + cos 2 =... Aufgaben: Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 6-2.Seite 28

32 3.7.2 Sinussatz Wir wollen nun das Kapitel Trigonometrie mit zwei Sätzen (Aussagen) abschliessen, welche in allen beliebigen Dreiecken ABC gelten: Der Sinussatz: In einem beliebigen Dreieck ABC gilt: Beispiel 3.3 In einem beliebigen Dreieck ABC sind folgende Grössen gegeben: α = 25 0, a = 6, b = 4 Bestimme c, β, γ. 29

33 Beispiel 3.4 In einem beliebigen Dreieck ABC sind folgende Grössen gegeben: α = 25 0, a = 4, b = 6 Bestimme c, β, γ und konstruiere das Dreieck ABC. 30

34 3.7.3 Eine oder mehrere Lösungen? Wir wollen nun der Frage nachgehen, unter welchen Bedingungen eine oder mehrere Lösungen existieren und wir wie viele Lösungen gebrauchen. Grundsätzlich gilt, das bei Dreiecksaufgaben die Lösungen eindeutig bestimmt sind, wenn die Kongruenzsätze erfüllt sind: Bei der Umkehrung der Sinus- und Cosinusfunktion (sin 1 und cos 1 ) entstehen aber mehrere Lösungen: Ist der Cosinuswert bekannt, so liefert uns der TR einen zugehörigen Winkel, während die Anwendung des Einheitskreises und die Periodizität unendlich viele Lösungen liefert: Bsp.: cos ϕ = 0.7 der TR liefert: ϕ 0 =... der Einheitskreis liefert : ϕ 0 =... ψ 0 =... die Periodizität des Cosinus liefert: ϕ 1 =... ϕ 2 =.... ϕ k =... ψ 1 =... ψ 2 =.... ψ k =... 31

35 Ist der Sinuswert bekannt, so liefert uns der TR einen zugehörigen Winkel, während die Anwendung des Einheitskreises und die Perioditität unendlich viele Lösungen liefert: Bsp.: sin ϕ = 0.4 der TR liefert: ϕ 0 =... der Einheitskreis liefert : ϕ 0 =... ψ 0 =... die Periodizität des Sinus liefert: ϕ 1 =... ϕ 2 =.... ϕ k =... ψ 1 =... ψ 2 =.... ψ k =... Welche Lösung/ Lösungen sind nun zu verwenden und unter welchen Bedingungen ist es überhaupt notwendig, eine zweite Lösung zubestimmen? Im Fall Cosinus: die zweite Lösung ist immer Im Fall Sinus: die zweite Lösung ist immer Überprüfung geometrischer Eigenschaften: 32

36 3.7.4 Der Cosinussatz Der Cosinussatz: In einem beliebigen Dreieck ABC gilt: Beispiel 3.5 In einem beliebigen Dreieck ABC sind folgende Grössen gegeben: a = 8, b = 5, γ = 75 0 Bestimme c, α, β. Aufgaben: Geometrie-Aufgaben: Trigonometrie 7 33