Anwendung für Mittelwerte

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1 Awedug für Mittelwerte Grudgesamtheit Stichprobeziehug Zufalls- Stichprobe... "wahre", ubekate Mittelwert der Grudgesamtheit icht zufällig?... beobachtete Mittelwert zufällig Statistik für SoziologIe 1 Iferezschluss Kofidezitervalle

2 Kofidezitervalle für de Erwartugswert Wir betrachte eie quatitative Zufallsvariable X mit wahrem Erwartugswert X sei etweder ormalverteilt oder Der Stichprobeumfag sei geüged groß Faustregel: zumidest >30 <abhägig vo der Form der Verteilug vo X> Da gilt für das Stichprobemittel: 2 ~ N( ; ) Ziehe mit N N1 Statistik für SoziologIe 2 Zurücklege oder kleier Auswahlsatz Ziehe ohe Zurücklege Kofidezitervalle

3 Itervalle bei bekater Variaz ip ) ( z1 /2 z1 /2 ) 1 durch Umformug : ii) P( z1 /2 z1 /2 ) 1 i)zetrales Schwakugsitervall für ii)kofidezitervall für μ Statistik für SoziologIe 3 Kofidezitervalle

4 Iterpretatio Das Zetrale Schwakugsitervall gibt bei Ketis des Erwartugswertes a, wie viel Prozet der Werte der Stichprobefuktio Arithmetisches Mittel bei wiederholter Stichprobeziehug i diesem Itervall zu liege komme werde. Das Kofidezitervall gibt aus der Stichprobe abgeleitete Greze a, durch die der ubekate Parameter mit eier vorgegebee Irrtumswahrscheilichkeit überdeckt oder eigeschlosse wird. Statistik für SoziologIe 4 Kofidezitervalle

5 Kozept zetraler Schwakugsitervalle alpha/2 1-alpha Hier erwarte wir das Stichprobemittel mit eier Wahrscheilichkeit vo 1- alpha/ Statistik für SoziologIe 5 Kofidezitervalle

6 Zetrale Schwakugsitervalle Sei X~N(,²) so ergibt sich das zetrale Schwakugsitervall für das arithmetische Mittel eier Stichprobe, welches eie Wahrscheilichkeit vo 1- abdeckt durch: P( z1 /2 z1 /2) 1 P( z1 /2 z1 /2 ) 1 Für =0,1 (=0,05; =0,01) ergibt sich aus der Tabelle für z 1-/2 d.h. P(- 1,6449 < Z < + ) = 0,9 P(- 1,96 < Z < + ) = 0,95 P(- 2,5758 < Z < + 2,5758) = 0,99 Statistik für SoziologIe 6 Kofidezitervalle

7 Beispiel Sei ei IQ-Test so ormiert, dass gilt IQ~N(100,15²) Gesucht ist ei zetrales Schwakugsitervall, für das arithmetische Mittel des IQ eier Stichprobe vo =30 Persoe, welches eie Wahrscheilichkeit vo 0,95 aufweist. P( z1 /2 z1 /2 ) 1 = 0,05 1-/2 = 0,975 P(100-1,96*2,74 < < ,96*2,74) = 0,95 P(94,63 < < 105,37) = 0, ,74 30 Statistik für SoziologIe 7 Kofidezitervalle

8 Ecel-Sheet: Kofidez Mittelwert Grudgesamtheit E(X)= 100 V(X)= 225 (X)= 15 Legede: q...arithmetisches Mittel (-quer) Stichprobeumfag = 30 E(q)= 100 V(q)= V(X)/30= 7,5 (q)= 2,74 Irrtumswahrscheilichkeit alpha= 0,05 z-wert= 1,96 Greze des zetrale Schwakugsitervalls für das arithmetische Mittel UG= 94,63 OG= 105,37 Statistik für SoziologIe 8 Kofidezitervalle

9 Zetrales Schwakugsitervall für Eizelbeobachtuge Uterscheide zwische dem zetrale Schwakugsitervall für Eizelbeobachtuge ud dem zetrale Schwakugsitervall, für das arithmetische Mittel Sei X~N(,²) so ergibt sich das zetrale Schwakugsitervall für Eizelbeobachtuge, welches eie Wahrscheilichkeit vo 1- abdeckt durch: [P(- z 1-/2 < X < + z 1-/2 ) = 1- I userem Beispiel: P(100-1,96*15 < X < ,96*15) = 0,95 P(70,6 < X < 129,4) = 0,95 Statistik für SoziologIe 9 Kofidezitervalle

10 Kozept vo Kofidezitervalle alpha/2 1-alpha Das aus der Stichprobe ermittelte Itervall überdeckt de ubekate Erwartugswert mit eier Wahrscheilichkeit vo 1- alpha/ Statistik für SoziologIe 10 Kofidezitervalle

11 Kofidezitervall bei bekater Variaz Durch Iversio der Formel für das Schwakugsitervall ergibt sich die Formel für das Kofidezitervall bei bekater Variaz. P ( z1 /2 z1 /2 ) 1 Allerdigs ist das Awedugs-Szeario Ziehe eier Stichprobe aus eier Grudgesamtheit mit bekater Variaz im Kotet sozialwisseschaftlicher Fragestelluge etrem selte, weshalb wir us direkt mit dem Fall ubekater Variaze beschäftige. Statistik für SoziologIe 11 Kofidezitervalle

12 Ubekate Variaz Ersetze des ubekate Wertes vo ² durch die Stichprobeschätzug Schätzt ma aus der ˆ ( i ) 1 Stichprobe, die Variaz der i1 Grudgesamtheit ist die Divisio durch (-1) agebracht (erwartugstreue Schätzug) Die aus der Variazschätzug resultierede zusätzliche Usicherheit muss zumidest bei kleie Stichprobe kompesiert werde Statistik für SoziologIe 12 Kofidezitervalle

13 Ekurs Studet-Verteilug (t-verteilug) Dichtefuktio t-verteilug hat mehr Wahrscheilichkeitsmasse a de Räder Freiheitsgrade=10 Freiheitsgrade=30 Normalverteilug Statistik für SoziologIe 13 Kofidezitervalle

14 Statistik für SoziologIe 14 Kofidezitervalle Kofidezitervall bei ubekater Variaz 1 ) ˆ ˆ ( auch mit der Normalverteilug arbeite : köe wir 30 ) (Faustregel : ist groß Falls ubekater Variaz μ bei Kofidezitervall für 1 ) ˆ ˆ ( 2 / 1 2 / 1 2 / 1;1 2 / 1;1 z z P t t P ˆ ( ) 1 i i

15 I Worte Wir erhalte ei Kofidezitervall für de wahre Mittelwert i der Grudgesamtheit durch folgede Formel: Mittelwert der Stichprobe plus/mius dem geschätzte Stadardfehler multipliziert mit dem zugehörige Quatil der Normalverteilug (Studetverteilug) Stichprobemittelwert plus/mius Tabellewert mal geschätzter Stadardfehler Statistik für SoziologIe 15 Kofidezitervalle

16 Kofidezitervall für Mittelwert Eie Stichprobeutersuchug uter =300 Agestellte eier bestimmte Brache ergab folgedes Ergebis: Durchschittseikomme = Stadardabweichug = 140 Gesucht ist ei Kofidezitervall, für das Durchschittseikomme i der Grudgesamtheit Ubekate Variaz; großes ; zetraler Grezwertsatz ˆ ˆ P ( z 1 /2 z1 /2 ) 1 Statistik für SoziologIe 16 Kofidezitervalle

17 Kofidezitervall für Mittelwert Z=1,96 ˆ 140 8, P(1200-1,96*8,08<<1200+1,96*8,08)=0,95 P(1184,16<<1215,84)=0,95 Bei Verwedug der t-verteilug: P(1184, 09 << 1215,91)=0,95 Ei Itervall vo [1184, 09; 1215,91] überdeckt de ubekate Mittelwert der Grudgesamtheit mit 95%-iger Wahrscheilichkeit. Statistik für SoziologIe 17 Kofidezitervalle

18 Ecel-Sheet: Kofidez Mittelwert Legede: q...arithmetisches Mittel (-quer) Stichprobeergebisse s...stadardabweichug der Stichprobewerte = 300 ur bei großem azuwede q= 1200 s= 140 s(q)= 8, Irrtumswahrscheilichkeit alpha= 0,05 t-wert= 1,9679 z-wert 1,960 Kofidezitervall für de Erwartugswert (Mittelwert der Grudgesamtheit) UG= 1184,09 UG= 1184,16 OG= 1215,91 OG= 1215,84 Statistik für SoziologIe 18 Kofidezitervalle

19 Kofidezitervall für Mittelwert Stichprobe uter 50 Haushalte eier Stadt mit Kategorie-A Wohuge zwische m² ergab: Kaltmiete pro m²: ˆ ˆ P( z1 / 2 z1 / 2 ) 1 Arithm. Mittelwert: 8,30 Stadardabweichug: 2,10 90%-Kofidezitervall z=1,645 Stadardfehler: 2,10/Wurzel(50) = 0,297 P(8,30-1,645*0,297 < < 8,30+1,645*0,297 )=0,90 P(7,81<<8,79)=0,90 Ei Itervall vo [7,81 bis 8,79] überdeckt de ubekate Mittelwert der Grudgesamtheit mit 90%-iger Wahrscheilichkeit. Statistik für SoziologIe 19 Kofidezitervalle

20 Bestimmug der Fallzahl Bestimmug des Stichprobeumfages, um eie vorgegebee Geauigkeit erziele zu köe Bei der Messug vo Reaktioszeite schätzt ei Psychologe aufgrud der Erfahrug aus frühere Stude die Stadardabweichug auf 0,05 sec. Wie groß muss die Stichprobe sei, damit er zu A) 95% bzw. B) 99% davo ausgehe ka, dass der maimale Schätzfehler icht größer als 0,01sec sei wird? e ma z ² ˆ / ˆ ² A) >1,96²*0,05²/0,01² =96,04 ==> =97 B) >2,58²*0,05²/0,01² =166,4 ==> =167 z / e ma ² Statistik für SoziologIe 20 Kofidezitervalle