KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y

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1 KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH 1. VORLESUNG VOM Kpitel 18 Definition 1 (Zerlegungen, Treppenfunktionen, Regelfunktionen) Sei < b. 1. Eine Zerlegung τ von [, b] besteht us einer Zhl N N und (N + 1) reellen Zhlen (x j ) 0 j N+1 mit = x 0 < x 1 <... < x N < x N+1 = b. Sind τ und τ Zerlegungen, so heißt τ eine Verfeinerung von τ, flls lle Punkte von τ in τ enthlten sind. Es heißt dnn τ := mx{x n+1 x n : 0 n N} die Feinheit der Zerlegung τ. 2. Wir nennen ϕ: [, b] R eine Treppenfunktion, flls eine Zerlegung τ von [, b] existiert, so dss ϕ (xn,x n+1) konstnt ist für 0 n N. 3. Wir nennen ϕ: [, b] R eine Regelfunktion, flls lle einseitigen Limiten lim ϕ(x), lim ϕ(x), lim ϕ(x) und lim ϕ(x) x y x>y x y x<y x x> existieren. Bemerkung. () Jede stetige und jede monotone Funktion ist eine Regelfunktion. (b) Jede Treppenfunktion ist eine Regelfunktion. (c) Ist ϕ eine Treppenfunktion und τ eine Zerlegung wie in der Definition und y n (x n, x n+1 ) für 0 n N, so ist ϕ(x n )(x n+1 x n ) x b x<b ein Kndidt für ein Integrl. Definition 2. Sei, b R mit < b und f : [, b] R eine Funktion. 1. Ist τ = {N, (x j ) 0 n N+1 } eine Zerlegung, so definieren wir die Untersumme S (f, τ) = inf{f(x): x n < x < x n+1 }(x n+1 x n ) und die Obersumme S (f, τ) = sup{f(x): x n < x < x n+1 }(x n+1 x n ). 2. Weiters definieren wir ds Unter- bzw. Oberintegrl f(x) dx := sup{s (f, τ): τ ist Zerlegung}, Dte: Jnury 17,

2 2 H. KOCH Ist f(x) dx := inf{s (f, τ): τ ist Zerlegung}. < f(x) dx = so nennen wir f (Riemnn-)integrierbr und nennen ds Integrl von f über [, b]. Bemerkung. f(x) dx = f(x) dx <, f(x) dx 1. Es gilt S (f, τ) S (f, τ), wobei S (f, τ) = S (f, τ) genu dnn gilt, wenn f eine Treppenfunktion mit der Zerlegung τ ist. Ist τ eine Verfeinerung von τ, so gilt S (f, τ) S (f, τ ) S (f, τ ) S (f, τ), S (f, τ) < f nch oben beschränkt, S (f, τ) > f nch unten beschränkt. Insbesondere gilt S (f, τ 1 ) S (f, τ 2 ) für beliebige Zerlegungen τ 1, τ 2 mit gemeinsmer Verfeinerung τ. Jede Treppenfunktion ist integrierbr. 2. Sei f beschränkt. Es folgt < f(x) dx f(x) dx <. Lemm 1. f ist genu dnn integrierbr, wenn für lle > 0 eine Zerlegung τ existiert mit S (f, τ) S (f, τ) <. Proof. Ist f integrierbr, so ist f beschränkt und es existieren Zerlegungen τ und τ mit f(x) dx S(f, τ ) < 2 und f(x) dx S(f, τ ) < 2. Sei nun τ eine gemeinsme Verfeinerungen von τ und τ. Dnn folgt S (f, τ) S (f, τ) <. Für die ndere Richtung folgt us S (f, τ) S (f, τ) <, dss f(x) dx f(x) dx <. Wegen Beliebigkeit von folgt die Behuptung. Stz 2. Sei < b, f, g : [, b] R integrierbr und λ R. Dnn gilt: () f + g und λf sind integrierbr, und es gilt f + g dx = f dx + g dx, λf dx = λ f dx. (b) Sei < c < b. Es ist f : [, b] R genu dnn integrierbr, wenn f [,c] und f [c,b] integrierbr sind. (c) Gilt f g, so ist f dx g dx.

3 KAPITEL 18 UND 19 3 Proof. Sei > 0. Nch Lemm 1 existieren Zerlegungen τ f und τ g von [, b], so dss S (f, τ f ) S (f, τ f ) < /2 und S (g, τ g ) S (g, τ g ) < /2 gelten. Sei nun τ eine gemeinsme Verfeinerung von τ f und τ g. Es folgt und dmit S (f + g, τ) S (f, τ) + S (g, τ), S (f + g, τ) S (f, τ) + S (g, τ), S (f + g, τ) S (f + g, τ) S (f, τ) S (f, τ) + S (g, τ) S (g, τ) <, womit f + g nch Lemm 1 integrierbr ist. Weiters folgt us der vorherigen Ungleichung f + g dx f dx + g dx und f + g dx f dx + g dx. Dmit folgt (). Der Beweis von (b) ist ähnlich. Zu (c). D f g, folgt S (f, τ) S (g, τ) und S (f, τ) S (g, τ). Dmit folgt die Behuptung. Stz 3. Seien f, g : [, b] R integrierbr. Dnn sind mx{f, 0}, f und f g integrierbr. Proof. Sei > 0. Nch Lemm 1 existiert τ so, dss S (f, τ) S (f, τ) <. D folgt, dss sup{mx{f, 0}: x n < x < x n+1 } inf{mx{f, 0}: x n < x < x n+1 } sup{f(x): x n < x < x n+1 } inf{f(x): x n < x < x n+1 }, S (mx{f, 0}, τ) S (mx{f, 0}, τ) S (f, τ) S (f, τ) <, und dmit ist mx{f, 0} integrierbr. D f = mx{f, 0} mx{ f, 0}, ist f integrierbr. Sei nun > 0. Nch Lemm 1 existiert τ mit D für x, y (x n, x n+1 ) gilt (S (f, τ) S (f, τ)) sup g + (S (g, τ) S (g, τ)) sup f <. f(x)g(x) f(y)g(y) = f(x)(g(x) g(y)) + (f(x) f(y))g(y) sup f ( sup{g(t): x n < t < x n+1 } inf{g(t): x n < t < x n+1 } ) + sup g ( sup{f(t): x n < t < x n+1 } inf{f(t): x n < t < x n+1 } ), folgt, dss S (fg, τ) S (fg, τ) <. Dmit ist f g nch Lemm 1 integrierbr VORLESUNG VOM Stz 4. Sei f : [, b] R integrierbr und > 0. Dnn existiert δ > 0, so dss für jede Zerlegung τ der Feinheit τ < δ gilt S (f, τ) S (f, τ) <. Proof. Sei τ 0 eine Zerlegung mit N + 2 Punkten und S (f, τ 0 ) S (f, τ 0 ) < /2. Diese Ungleichung gilt für jede Verfeinerung. Die Funktion f ist beschränkt. Sei nun M > 0 eine Schrnke für f. Ist τ eine Zerlegung der Feinheit δ, so ist sowie Dmit folgt S (f, τ) S (f, τ 0 ) + 2NMδ S (f, τ) S (f, τ 0 ) 2NMδ. S (f, τ) S (f, τ) 2 + 4NMδ. Die Aussge folgt nun mit der speziellen Whl δ := /(8NM).

4 4 H. KOCH Definition. Sei f : [, b] R beschränkt und x [, b]. Die Sprunghöhe von f in x ist definiert durch f(x) := lim 0 ( sup{f(y): x y <, y [, b]} inf{f(y): x y <, y [, b]} ). Bemerkung. Die Funktion H(r) := sup{f(y): x y < r, y [, b]} inf{f(y): x y < r, y [, b]} ist monoton wchsend. Dher existiert der Limes. Ist f(x) <, so existiert δ > 0 mit f(x 1 ) f(x 2 ) < δ für lle x 1, x 2 (x δ, x + δ). Lemm 5. Es sei f : [, b] R eine Regelfunktion, > 0 und S := {x: f(x) > }. Dnn ist S eine endliche Menge. Proof. (1) Ist x (, b), so existieren die einseitigen Grenzwerte f, f +. Es existiert δ > 0 mit f(y) f < /2 für x δ < y < x und f(y) f + < /2 für x < y < x + δ. Also besitzt S kein Element in (x δ, x + δ). (2) Die Menge S ist endlich. Ansonsten gäbe es eine Folge (x n ) n N in S mit x n x m für n m. Nch Bolzno-Weierstrß existiert dnn eine konvergente Teilfolge von (x n ) n N, ohne Einschränkung gelte lso x n x. Ds steht im Widerspruch zu (1). Lemm 6. Es gelte f(x) < /2 für x [, b], f : [, b] R. Dnn existiert δ > 0, so dss f(x) f(y) < für x y < δ. Proof. Beweis durch Widerspruch. Flls nicht, so existieren x n, y n mit f(x n ) f(y n ) und x n y n < 1 n. Nch Bolzno-Weierstrß existiert eine konvergente Teilfolge, und wird dürfen ohne Einschränkung nnehmen, dss x n x mit n für ein x [, b]. Dnn existiert δ > 0 mit f(z 1 ) f(z 2 ) < für z 1, z 2 (x δ, x + δ). D N N existiert mit x n x < δ/2 und y n x < δ/2 für lle n N, erhlten wir einen Widerspruch. Stz 7. Jede Regelfunktion ist integrierbr. Insbesondere sind lso lle stetigen und lle monotonen Funktionen integrierbr. Proof. Wir wollen Lemm 1 nwenden. Sei > 0. Dnn existiert eine Zerlegung τ 0 = (N 0, (x j )), so dss f(x) < 2(b ) für lle j und lle x x j. Nch Lemm 7 existiert δ, so dss f(x) f(y) < 2(b ) für lle x n < x, y < x n+1 gilt. Sei nun τ eine Zerlegung mit τ < δ, die lle x j enthält. Es folgt S (f [xn,x n+1], τ [xn,x n+1]) S (f [xn,x n+1], τ [xn,x n+1]) und dmit S (f, τ) S (f, τ) <. (x n+1 x n ) 2(b ) Stz 8. Sei f : [, b] R eine Regelfunktion und > 0. Dnn existiert eine Treppenfunktion ϕ mit sup{ f(x) ϕ(x) : x [, b]} <. Proof. Im Beweis von Stz 7 wählen wir τ = (N, (x n ) 0 n N ) für /2 sttt /(2(b )). Eine leicht modifizierte itertive Konstruktion liefert dnn die Approximierende ϕ. Definition. Sei A R und f : A R eine Funktion. f heißt gleichmäßig stetig, flls für lle > 0 ein δ > 0 mit f(x) f(y) < für lle x, y A mit x y < δ. Stz 9. Sei < < b < und f : [, b] R stetig. Dnn ist f gleichmäßig stetig.

5 KAPITEL 18 UND 19 5 Proof. Angenommen, f ist nicht gleichmäßig stetig. Dnn gibt es ein > 0 so, dss zu jedem n 1 Punkte x n, x n [, b] existieren mit x n x n < 1 n und f(x n) f(x n). Nch dem Stz von Bolzno-Weierstrß besitzt (x n ) n N eine konvergente Teilfolge. Sei dies ohne Einschränkung (x n ) n N. Dmit folgt für ihren Grenzwert x := lim n x n [, b], und wegen x n x n < 1 n 0 mit n muss uch x n x gelten mit n. D f stetig ist, folgt lim n f(x n) f(x n) = f(x) f(x) = 0. Dies steht im Widerspruch zu f(x n ) f(x n) für lle n N, und die Aussge folgt. Gleichmäßige Konvergenz Definition. Es sei M R eine Menge und f n, f : M R, n N, Funktionen. Wir sgen, dss () f n gegen f punktweise konvergiert, flls für lle x M und > 0 ein N N existiert mit f(x) f n (x) < für lle n N. (b) f n gegen f gleichmäßig konvergiert, flls für lle > 0 ein N N existiert mit f(x) f n (x) < für lle x M und n N. Stz 10. Seien f n : [, b] R integrierbre Funktionen, die gleichmäßig gegen f konvergieren. Dnn ist f integrierbr und es gilt f n dx f dx, n. Proof. Sei > 0 und N N so, dss f n (x) f(x) < /(4(b )) für lle x [, b] und lle n N. Sei weiters die Zerlegung τ so, dss S (f N, τ) S (f N, τ) < /2. Es folgt S f S f S f N S (f N ) + S (f f N ) S (f f N ) < (b ) =. 4(b ) Dmit ist f integrierbr. Es folgt weiters f dx f n dx = Dmit folgt und der Stz ist bewiesen. f n dx f f n dx f f n dx f dx, n 3. VORLESUNG VOM Kpitel 19 4(b ) dx 4. Stz 1 (Mittelwertstz der Integrlrechnung). Sei ϕ: [, b] [0, ) integrierbr und f : [, b] R stetig. Dnn existiert x 0 [, b] mit fϕ dx = f(x 0 ) ϕ dx. Proof. Nch Stz 18.3 ist f ϕ integrierbr ls Produkt integrierbrer Funktionen. D f stetig ist, existieren nch dem Stz vom Mximum x, x + [, b] mit f(x ) f(x) f(x + ) für lle x [, b]. Ist ϕ dx = 0, so ist nichts zu zeigen. Sei lso ϕ dx > 0. Es folgt f(x ) ϕ dx f(x)ϕ(x) dx f(x + ) ϕ dx

6 6 H. KOCH und dher f(x ) fϕ dx ϕ dx f(x +). D f stetig ist, existiert nch dem Zwischenwertstz ein x 0 [, b] mit f(x 0 ) Dmit ist die Aussge bewiesen. Flls b <, so definieren wir ϕ dx = f dx = b Sei f : [, b] R integrierbr und x 0 x. Dnn ist x eine Funktion uf [, b]. x x 0 f(t) dt f(x)ϕ(x) dx. f dx. Definition. Ist F eine differenzierbre Funktion im Intervll I mit F = f, so nennen wir F Stmmfunktion (von f). Lemm. Sind F und G Stmmfunktionen von f, so ist F G konstnt. Proof. Setze F := F G. Dnn ist F Stmmfunktion der Nullfunktion, F 0. Drus folgt, dss F konstnt ist. Stz 2. (Fundmentlstz der Differentil- und Integrlrechnung). Sei I ein offenes Intervll und f : I R stetig. Dnn gilt: () Für lle x 0 I ist x x f(t) dt x 0 eine Stmmfunktion von f. (b) Ist F eine Stmmfunktion, so gilt für lle, b I Der Rest wird bis zum ergänzt. f(x) dx = F (b) F ().