Anwendung: Gedämpfter, getriebener harmonischer Oszillator Unendlich viele Anwendungen in der Physik, auch außerhalb der Mechanik!

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1 Anwendung: Gedämpfter, getriebener harmonischer Oszillator Unendlich viele Anwendungen in der Physik, auch außerhalb der Mechanik! Bewegungsgleichung: Dämpfungsrate: Einheit: Kreisfrequenz des Oszillators: Einheit: Antriebskraft: Einheit: Einschub: Wo kommt Gl. (1) her? Einige Beispiele aus der Physik 1. Beispiel: Feder Rückstellkraft proportional zur Auslenkung: Federkonstante Verschobene Koordinaten: (4) hat HO-Form (1), Gleichgewichtsposition Die Rückstellkraft (a.2) entspricht einem quadratischen Potential: Wichtig: Quadratisches Potenzial HO Allgemeiner: Oszillationen um Potentialminimum sei Potential lokalem Minimum bei : Def. eines Extremums: Taylor-Entwicklung um In Koordinaten: HO-Schwingungen um Frequenz:

2 Beispiel für Dämpfung: Definierende Gleichung: Reibungskraft: zeigt immer gegen die Geschwindigkeit: Reibungskonstante: (hängt von Details des Reibungsmechanismus ab). Beispiel: Kugel Radius r in Flüssigkeit: Für "Stokes-Reibung" der Flüssigkeit an Kugel gilt: Viskosität Lösungstrategie: Harmonischer Oszillator ist äquivalent zu: Matrixnotation: Kompaktnotation: (i) Homogene Lösung per Exponentialansatz: Eigenwertproblem:

3 Charakteristisches Polynom: Beobachtung: einem e-ansatz, eingesetzt in homogene Bewegungsgl. (a.1), folgt sofort dass char. Polynom gleich 0 sein muss: Eigenwerte = Nullstellen: Lösungen von (6): Qualitatives Verhalten der Lösung hängt vom Verhältnis ab: (a): "frei, ungedämpft": (b): "unterdämpft": (c): "kritische Dämpfung": (d): "überdämpft": Reibung führt unterdämpft: überdämpft: zu exponentiellem Zerfall der Amplitude: zu einer Reduktion der Winkelfrequenz nach welche verschwindet für zu völligen Abwesendheit von Schwingungen!

4 (b) Unterdämpfter Fall: (anderen Fälle: Übungen!) "reduzierter Frequenz" Dazugehörigen EV erfüllen: Lösung v. (3) z.b.: Check: (4) in (3): Allgemeine homogene Lösung: Anmerkung: Die Struktur der EV gewährleistet, dass d.h. (d.1) ist erfüllt Betrachte also zunächst nur Ortskomponente: (g.1) in (g.4): Da reell ist, brauchen wir komplexe(!) Amplituden: Dann

5 Falls keine externe Kraft vorliegt, : Anpassen der Konstanten tels Anfangsbedingung: z.b.: Skizze für Periode: Dämpfungszeit Amplitude zerfällt nach Zeit auf Die anderen Fälle (qualitativ und in aller Kürze) (a) Keine Dämpfung: reine Oszillationen: (c) Kritisch gedämpft: nur eine Lösung! Finde andere tels "Variation der Konstanten" enthält i.a. linearen Anteil (d) Überdämpft: gar keine Oszillationen:

6 Unterdämpfter HO (b) Antrieb: (ii) Konstruktion einer partikulären Lösung, tels Var. d. Konstanten: (Seite C7.4p,q) (2) eingesetzt in inhomogene Gl. (d.3): Zerlegung v. in Eigenbasis von A: (da EW und EV Vergleiche Koeffizienten von EV: Elementar integrierbar: Für partikuläre Lösung, setze (k.6) in (k.2): Orts (1.)-Komponente hiervon liefert: "Antwortfunktion" oder "Green'sche Funktion": [Faltung von Inhomogenität Antwortfunktion, gleiche Struktur wie (C7.4n.6)] garantiert "Kausalität": x(t) hängt nur von der Antriebskraft bei früheren Zeiten,, ab!

7 Nochmal Unterdämpfter HO Antrieb, diesmal via Fourier-Transformation Fourier-Ansatz für Antrieb: (ZC6.3b.1) und für Lösung: (ZC6.3b.1) (3), (2) in (1) eingesetzt: (ZC6.3b.2) (4) muss für beliebige t gelten: eingesetzt in (2) liefert gesuchte Lösung "Dynamische Suszeptibilität" : Auslenkung Antrieb (m.5),(m.6): (ZC6.3b.6) Faltungstheorem, rückwärts gelesen: Rücktransformierte der dynamischen Susz.: (ZC6.3b.5) (ZC6.3b.1) Betrachte nun unterdämpften Fall: (f.5) Integral liefert (siehe Bronstein Formelsammlung): Heavyside- Stufenfunktion [reproduziert (l.6) für für Stufenfunktion garantiert "Kausalität": [vergleiche (l.5)] Die Lösung x(t) hängt nur von der Antriebskraft bei früheren Zeiten,, ab!

8 Interpretation: ist die Antwort auf eine -Kraft: Sei (ZC6.3a.3) Eingesetzt in (n.1): Fazit: ist die "Antwort" auf (d.h. Lösung von (m.1) für) eine -Kraft: Antwort auf -Puls wird auch die "Green'sche Funktion" der DGL genannt. Notation: Noch ein Beweis, dass (n.2) die allgemeine Lösung für beliebigen Antrieb ist: Allgemeine Lösungstrategie für gewöhnliche DGL konstanten Koeffizienten: Kurznotation: Fouriertransformiert: (ZC6.3b.2) Aufgelöst: Green'sche Funktion erfüllt: Fourier-tr. Faltungstheorem, angewandt auf (6): (ZC6.3b.5) d.h. Green'sche Funktion liefert allgemeine Lösung für beliebigen Antrieb! Check: