Praktische Informatik I - Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2006/ Algorithmen und ihre formalen Eigenschaften, Datenstrukturen

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1 1 Grundlagen 1.1 Algorithmen und ihre formalen Eigenschaften, Datenstrukturen Ein Algorithmus ist ein mit formalen Mitteln beschreibbares, mechanisch nachvollziehbares Verfahren zur Lösung einer Klasse von Problemen. Er kann in Form eines Programms von einem Computer bearbeitet werden. Korrektheit von Algorithmen (E. Dijkstra) Man kann durch Testen zwar die Anwesenheit, nicht aber die Abwesenheit von Fehlern zeigen. Formale Korrektheitsbeweise werden häufig mit Hilfe von Schleifenund Prozedurinvarianten geführt. Prof. Dr. Dietmar Seipel 1

2 Effizienz von Algorithmen Die wichtigsten Maße für die Effizienz sind der zur Ausführung des Algorithmus benötigte Speicherplatz und die benötigte Rechenzeit. experimentelle Messung mit Hilfe von repräsentativ gewählten Eingaben, formale Abschätzung der Kosten im besten Fall (best case), im schlechtesten Fall (worst case) und im Mittel (average case). Die Analyse des Verhaltens im Mittel ist häufig mathematisch schwierig durchzuführen. Datenstruktur Aufbau von (komplexen) Wertebereichen aus elementaren Wertebereichen mit Hilfe von Konstruktoren. Prof. Dr. Dietmar Seipel 2

3 1.2 Polynomprodukt Ein ganzzahliges Polynom vom Grad N 1 ist gegeben durch N ganzzahlige Koeffizienten a 0,..., a N 1 Z: Beispiel p(x) = a 0 + a 1 x 2 + a 2 x a N 1 x N 1 p(x) = x x 3 a 0 = 4, a 1 = 2, a 2 = 0, a 3 = 1, N = 4 Sei q(x) = b 0 + b 1 x b N 1 x N 1 ein weiteres Polynom vom Grade N. Frage Wie kann man das Produkt der Polynome r(x) = p(x) q(x) (effizient) berechnen? Prof. Dr. Dietmar Seipel 3

4 Beispiel q(x) = 2 x + x 2 (b 3 = 0) r(x) = p(x) q(x) = ( x x 3) (2 x + x 2) = 8 + ( 4 + 4) x + (4 2) x 2 + ( 2 + 2) x 3 + x 4 x 5 = x 2 + x 4 x 5 distributives Ausmultiplizieren Aufsammeln der Terme mit gleichen Exponenten Prof. Dr. Dietmar Seipel 4

5 Implementierung In Java deklariert man Polynome als Arrays. Deklaration in Java int p[n], q[n], r[2 * N - 1]; doppelt geschachtelte for Schleife for (int i = 0; i <= N - 1; i++) for (int j = 0; j <= N - 1; j++) r[i + j] = r[i + j] + p[i] * q[j]; Es werden N 2 Koeffizientenprodukte berechnet. Prof. Dr. Dietmar Seipel 5

6 1.2.1 Divide and Conquer Verfahren Verfahren zur Lösung eines Problems der Länge N. 1. Divide Teile das Problem der Größe N in (wenigstens) zwei annähernd gleich große Teilprobleme wenn N > 1 ist, sonst löse das Problem der Größe 1 direkt. 2. Conquer Löse die Teilprobleme auf dieselbe Art (rekursiv). 3. Merge Füge die Teillösungen zur Gesamtlösung zusammen. Prof. Dr. Dietmar Seipel 6

7 Wir nehmen nun an, dass N eine Zweierpotenz ist: N = 2 k, k N. mit p(x) = p l (x) + x N 2 pr (x) p l (x) = a 0 + a 1 x a N 2 1 x N 2 1, p r (x) = a N + a N x a N 1 x N 2 1 Ebenso kann man schreiben q(x) = q l (x) + x N 2 qr (x) mit geeigneten Polynomen q l (x) und q r (x) vom Grad N 2 1. Dann ist r(x) = p(x) q(x) = p l (x) q l (x) + ( p l (x) q r (x) + p r (x) q l (x) ) x N 2 + p r (x) q r (x) x N Prof. Dr. Dietmar Seipel 7

8 Beispiel N = 4 = 2 2 N 2 = 2 p(x) = x 1 x 3 q(x) = 2 x 1 + x 2 p(x) = x }{{} 1 +x 2 (0 1 x 1 ) }{{} p l (x) p r (x) q(x) = 2 1 x 1 }{{} q l (x) +x 2 (1 + 0 x 1 ) }{{} q r (x) r(x) = 8 2 x 2 + ( x x + 1 x 2) x 2 + (0 1 x + 0) x 4 = x 2 + x 4 x 5 Prof. Dr. Dietmar Seipel 8

9 Berechnung von 4 Produkten von Polynomen vom Grad N 2 1. M(N) = Anzahl der Multiplikationen von Koeffizienten, die ausgeführt werden, wenn man zwei Polynome vom Grad N 1 mit N Koeffizienten miteinander multipliziert. Rekursionsformel M(N) = 4 M M(1) = 1 ( N 2 ), für N = 2 k, k N 0 M(N) = M ( 2 k) = 4 M ( 2 k 1) = 4 2 M ( 2 k 2) =... = 4 k M ( 2 0) = 4 k = ( 2 2) k = 2 2k = ( 2 k) 2 = N 2 }{{} =1 Prof. Dr. Dietmar Seipel 9

10 1.2.2 Divide and Conquer Verfahren (nach KARATSUBA) Man kann aber mit weniger Koeffizientenmultiplikationen auskommen: Dann ist: z l (x) = p l (x) q l (x) z r (x) = p r (x) q r (x) z m (x) = ( p l (x) + p r (x) ) ( q l (x) + q r (x) ) r(x) = p(x) q(x) = z l (x) + ( z m (x) z l (x) z r (x) ) x N 2 + zr (x) x N Prof. Dr. Dietmar Seipel 10

11 Divide and Conquer Verfahren (nach KARATSUBA) zur Multiplikation zweier Polynome p(x) und q(x) vom Grad N Divide Falls N = 1 ist, so berechne das Produkt der beiden Koeffizienten direkt, sonst: Zerlege die Polynome p(x) und q(x): p(x) = p l (x) + p r (x) x N 2, q(x) = q l (x) + q r (x) x N 2 und setze: p m (x) = p l (x) + p r (x), q m (x) = q l (x) + q r (x). Prof. Dr. Dietmar Seipel 11

12 2. Conquer Wende das Verfahren (rekursiv) an, um die folgenden Polynomprodukte zu berechnen: z l (x) = p l (x) q l (x), z r (x) = p r (x) q r (x), z m (x) = p m (x) q m (x). 3. Merge Setze: p(x) q(x) = z l (x) + ( z m (x) z l (x) z r (x) ) x N 2 + z r (x) x N. Prof. Dr. Dietmar Seipel 12

13 Rekursionsformel M(N) = 3 M M(1) = 1. ( N 2 ), für N = 2 k, k N 0 : M(N) = M ( 2 k) = 3 M ( 2 k 1) =... = 3 k M ( 2 0) = 3 k = ( 2 log 3) k = ( 2 k ) log 3 = N log 3 = N 1,58... (log x = Logarithmus zur Basis 2 von x) Verbesserung gegenüber dem naiven Verfahren mit N 2 Multiplikationen. Prof. Dr. Dietmar Seipel 13

14 1.3 Ein Multiplikationsverfahren Multiplikation von zwei Dualzahlen. Beispiel a = 13 = ˆ= 1101 b = 5 = ˆ= Multiplikationsschema ˆ= = 65 Prof. Dr. Dietmar Seipel 14

15 Implementierung int x = a; int y = b; int z = 0; Multiplikation while ( y > 0 ) { if ((y % 2) == 0) { // (*) y = y / 2; x = x + x; } else { y = y - 1; z = z + x; } } Prof. Dr. Dietmar Seipel 15

16 Wert der Variablen zu Beginn eines jeden Durchlaufs durch die while Schleife: x y z Anzahl der Schleifeniterationen Prof. Dr. Dietmar Seipel 16

17 1.3.2 Beweis für die Korrektheit des Verfahrens Wir verwenden eine Schleifeninvariante und zeigen folgende 3 Behauptungen: P = ( y 0 und z + x y = a b ) 1. Behauptung P ist vor Ausführung der while Schleife richtig, d.h. vor erstmaliger Ausführung der if Anweisung (*). 2. Behauptung P bleibt bei einmaliger Ausführung der while Schleife richtig, d.h. gilt die kontrollierende Bedingung (y > 0) der while Schleife und die Bedingung P vor der Ausführung der Anweisung (*), so gilt nach der Ausführung von (*) ebenfalls P. Prof. Dr. Dietmar Seipel 17

18 3. Behauptung Die while Schleife terminiert, d.h. die zu iterierende if Anweisung wird nur endlich oft ausgeführt. Beweise 1. Vor der while Schleife gilt x = a, y = b = 0, z = 0 und folglich z + x y = 0 + a b = a b. 2. Wir nehmen an, es gelte vor der Ausführung von (*): ( y 0 und z + x y = a b ) und y > 0. Ist y gerade, so wird y halbiert und x verdoppelt. Aber es bleibt bei Ausführung von (*) das Produkt x y unverändert, und es gilt nach der Ausführung von (*) immer noch ( y 0 und z + x y = a b ). Prof. Dr. Dietmar Seipel 18

19 Ist y ungerade, so wird y um 1 verringert und z um x erhöht. Also gilt nach der Ausführung von (*): z +x y = (z +x)+x (y 1) = z +x+x y x = z +x y = a b, d.h. die Schleifeninvariante P ist nach wie vor gültig. 3. Jede Ausführung der if Anweisung (*) in der while Schleife verringert den Wert von y um mindestens 1 (denn für y > 0 gilt auch y 2 y 1). Nach höchstens y Iterationen muss also y = 0 werden, und damit die Schleife terminieren. Bei Terminierung des Verfahrens gilt y = 0 und es gilt immer noch die Schleifeninvariante P = ( y 0 und z + x y = a b ). Folglich gilt y = 0 und z = z + x y = a b, d.h. das Produkt von a und b wird korrekt berechnet. Prof. Dr. Dietmar Seipel 19

20 1.4 Aktienkurs Analyse , 4, 3, 3, 1, 2, 3, 1, 4, 1, 4, 3, 0, 1 Eingabereihenfolge: X[1...14], S N 0 Kurs zur Zeit i: S + X[1] X[i 1] Prof. Dr. Dietmar Seipel 20

21 1.4.1 Das Maximum Subarray Problem Maximum Subarray Problem Gegeben sei eine Folge X von N ganzen Zahlen in einem Array. Gesucht ist die maximale Summe aller Elemente in einer zusammenhängenden Teilfolge. Sie wird als maximale Teilsumme bezeichnet, jede solche Folge als maximale Teilfolge. im Beispiel maximale Teilfolge X[7...9], Summe: 6 zum Vergleich: X[5...10], Summe: 4 Prof. Dr. Dietmar Seipel 21

22 1.4.2 Naives Verfahren Berechne für jedes i 1, N sukzessive die Teilsummen X[i] + X[i + 1] X[j] für j = 1,..., N und aktualisiere jeweils das Maximum. Aufwand für jedes i: N i Additionen, N i + 1 Vergleiche Prof. Dr. Dietmar Seipel 22

23 Gesamtaufwand: Additionen: Vergleiche: Summe: A(N) = (N 1) + (N 2) (N N) N (N 1) = N 1 = 2 V (N) = A(N) + N T(N) = A(N) + V (N) = 2 A(N) + N = N (N 1) + N = N 2 Prof. Dr. Dietmar Seipel 23

24 1.4.3 Divide and Conquer Ansatz 1. Divide Teile die Folge X[1],..., X[N] in zwei Teilfolgen X[1],..., X[M] X[M + 1],..., X[N] Dann liegt die maximale Teilfolge entweder ganz in einem der beiden Teile oder sie umfaßt die Trennstelle. Als linkes (rechtes) Randmaximum bezeichnen wir die Summe der Teilfolge X[l],..., X[M] (X[M + 1],..., X[r] ), für die die Summe maximal wird unter allen Teilfolgen, die mit l 0, M beginnen (mit r M + 1, N enden). Prof. Dr. Dietmar Seipel 24

25 l M M+1 r N Die Randmaxima können mit folgendem Aufwand bestimmt werden: links: M 1 + M = 2 M 1 rechts: (N M 1) + N M = 2 (N M) 1 Summe: 2 N 2 Schritte Die Randmaxima seien r l und r r. Falls die maximale Teilfolge den Rand X[M] umfaßt, so ist X[l],..., X[M], X[M + 1],..., X[r] eine maximale Teilfolge mit Teilsumme r l + r r. Prof. Dr. Dietmar Seipel 25

26 2. Conquer Löse Teilprobleme X[1],..., X[M] und X[M + 1],..., X[N] rekursiv. Die Maxima seien s l und s r. 3. Merge Die maximale Teilsumme ergibt sich nun als max_t_sum = max{s l, s r, r l + r r } Prof. Dr. Dietmar Seipel 26

27 Beispiel Die maximale Teilfoge X[7], X[8], X[9] (3, 1, 4) ist eindeutig. M = 7: maximale Teilfolge umfaßt den Rand: l = 7, r = 9 r l = 3, r r = 3 M = 8: maximale Teilfolge umfaßt den Rand: l = 7, r = 9 r l = 2, r r = 4 M = 6: maximale Teilfolge liegt ganz im rechten Teil Prof. Dr. Dietmar Seipel 27

28 Sei nun T(N) die Anzahl der Schritte, die erforderlich ist, um das Divide and Conquer Verfahren für eine Folge X[1],..., X[N] auszuführen. Sei N = 2 k, k N 0, und es werde jeweils in der Mitte geteilt: M = N 2. Rekursionsformel T(N) = 2 T T(1) = 1 ( N 2 ) + 2 N+1 {}}{ 2 N Prof. Dr. Dietmar Seipel 28

29 Folglich gilt: T ( 2 k) = 2 1 T ( 2 k 1) k + 1 = 2 2 T ( 2 k 2) k k + 1 = 2 3 T ( 2 k 3) k k k + 1. = 2 k T (1) + k 2 k+1 + ( 2 k ) }{{} 2 k 1 = (k + 1) 2 k+1 1 Wenn k = log N erhalten wir weiter: T(N) = 2 ((log N) + 1) N 1 4 N log N 1 für N 2 Prof. Dr. Dietmar Seipel 29

30 1.4.4 Das Scan Line Prinzip Ein weiteres algorithmisches Prinzip ist das Scan Line Prinzip : Wir durchlaufen die Eingabe in der durch eine aufsteigend sortierte, lineare Folge von Implikationsstellen vorgegebenen Reihenfolge, in unserem Falle die Positionen 1,..., N der Eingabefolge. Wir führen zugleich eine vom jeweiligen Problem abhängige, dynamische veränderliche, d.h. an jeder Implikationsstelle gegebenenfalls zu korrigierende Information mit. In unserem Falle sind dies die maximale Summe bismax einer Teilfolge im gesamten bisher inspizierten Anfangsstück und das an der Implikationsstelle endende rechte Randmaximum ScanMax des bisher inspizierten Anfangsstücks. Prof. Dr. Dietmar Seipel 30

31 1 bismax ScanMax N a Scanline Das rechte Randmaximum der neuen Folge mit M + 1 Elementen enthält man aus dem rechten Randmaximum der Folge mit M Elementen durch Hinzunahme von a, falls ScanMax alt + a > 0, ansonsten ist die leere Folge das neue rechte Randmaximum. Prof. Dr. Dietmar Seipel 31

32 Implementierung public class Scanline { Scanline public static void main(string[] args) { int X[] = {1, 4, -3, -3, 1, -2, 3, -1, 4, -1, -4, -3, 0, 1}; System.out.println(scanLine(X)); } public static int scanline(int[] X) { // Initialisierung int N = X.length; int scanmax = 0; int bismax = 0; Prof. Dr. Dietmar Seipel 32

33 Scanline // Iteration for (int i = 0; i < N; i++) { // 2 Schritte int a = X[i]; // 2 Schritte } } // Update ScanMax und bismax if (scanmax + a > 0) // 2 Schritte scanmax += a; // 1 Schritt else scanmax = 0; bismax = java.lang.math.max(bismax, scanmax); // 2 Schritte } return bismax; Prof. Dr. Dietmar Seipel 33

34 Dieser Algorithmus benötigt nur linear (in N) viele Durchläufe der for Schleife und bei jedem Durchlauf, d.h. an jeder Implikationsstelle, ist der Aufwand beschränkt durch eine Konstante c N 0 (in unserem Fall z.b. c = 9). Der Gesamtaufwand ist also T(N) = 9 N + 3. Prof. Dr. Dietmar Seipel 34

35 1.5 Komplexität von Algorithmen Der Aufwand oder die Komplexität eines Algorithmus gibt die Anzahl der problemrelevanten Elementaroperationen bei seiner Ausführung an. Dazu gibt man eine Funktion T : N R an, die von der Problemgröße n abhängt. Wie sind in der Regel zufrieden, wenn wir die Größenordnung oder die Wachstumsklasse des Algorithmus bestimmen können. Wachstumsklassen sind Mengen von Funktionen, die für große n etwa gleichen Verlauf aufweisen. Prof. Dr. Dietmar Seipel 35

36 Definition (Größenordnungsmaße O, Ω, Θ) Sei f : N R eine Funktion. (i) O(f) = {g : N R n 0 N, c > 0 : n n 0 : g(n) c f(n)} (ii) Ω(f) = {g : N R n 0 N, c > 0 : n n 0 : g(n) c f(n)} (iii) Θ(f) = O(f) Ω(f) Sprechweisen g ist höchstens mindestens genau von der Größenordnung f, falls g O(f) g Ω(f) g Θ(f) ist. Offensichtlich gilt f O(f), f Ω(f), f Θ(f) sowie O(g) O(f) g O(f) f Ω(g) Ω(f) Ω(g). Wir schreiben oft auch g(n) O(f(n)), u.s.w.... Prof. Dr. Dietmar Seipel 36

37 1.5.1 Verhalten wichtiger Funktionen n n 2 nlog (n) n log (n) Prof. Dr. Dietmar Seipel 37

38 log 2 (n) n n log 2 (n) n n Es gilt: O(log 2 (n)) O(n) O(n log 2 (n)) O(n 2 ) O(2 n ) Prof. Dr. Dietmar Seipel 38

39 Folgerung Seien f, g : N R +. Falls lim n g(n) f(n) = c existiert, so gilt: (i) Falls c = 0 ist, so gilt g O(f) (und f Ω(g)) sowie f O(g) (und g Ω(f)). (ii) Falls c > 0 ist, so gilt g Θ(f) (und f Θ(g)). (iii) Falls c = ist, so gilt f O(g) (und g Ω(f)) sowie g O(f) (und f Ω(g)). Prof. Dr. Dietmar Seipel 39

40 Für Polynome ist nur der Grad ausschlaggebend: f(n) = g(n) = k a i n i, a i R, 0 i k 1, a k R + i=0 l b i n i, b i R, 0 i l 1, b l R + i=0 Dann gilt: f(n) O(g(n)) k l O(f(n)) = O(g(n)) k = l Prof. Dr. Dietmar Seipel 40

41 Beispiel f(n) = 2 n n 3 g(n) = n 3 16 n 2 h(n) = n 2 f(n) O(g(n)), g(n) O(f(n)), f(n) Θ(h(n)) { a 2 n 2 + a 1 n + a 0 a 2 R +, a 1, a 0 R } Θ(h(n)) Prof. Dr. Dietmar Seipel 41

42 1.5.2 Weitere Rechenregeln (i) Sei g(n) O(f(n)) und a, b R und es existiere ein n N 0 mit f(n) 1, für alle n n. Dann gilt a g(n) + b O(f(n)). Für a > 0 gilt: O(a f(n) + b) = O(f(n)). Wegen log 2 (n) = log 2 (b) log b (n) gilt für b > 1 also O(log 2 (n)) = O(log b (n)). (ii) Seien f(n) O(h 1 (n)) und g(n) O(h 2 (n)) und h i (n) 0, für alle n n. Dann gilt f(n) + g(n) O(h 1 (n) + h 2 (n)). (iii) Falls ein n N 0 existiert mit f(n) 0, für alle n n, so gilt auch f(n) g(n) O(h 1 (n) h 2 (n)). Prof. Dr. Dietmar Seipel 42

43 Beweis (i) Wegen g(n) O(f(n)) gibt es n 0 N, c > 0 mit g(n) c f(n), für alle n n 0. Wegen f(n) 1, für alle n n, gilt: für alle n max{n 0, n }. a g(n) + b a c f(n) + b f(n), }{{} (a c+ b ) f(n) Prof. Dr. Dietmar Seipel 43

44 (ii) Wegen f(n) O(h 1 (n)) und g(n) O(h 2 (n)) gibt es n 1 N und c 1 > 0 sowie n 2 N und c 2 > 0 mit Somit gilt: f(n) c 1 h 1 (n), für alle n n 1, g(n) c 2 h 2 (n), für alle n n 2. f(n) + g(n) max{c 1, c 2 } (h 1 (n) + h 2 (n)) }{{} c für alle n max{n 1, n 2, n 1, n }{{ 2}. } n 0 Prof. Dr. Dietmar Seipel 44

45 (iii) Für alle n n gilt f(n) 0 und somit auch Somit gilt: h 1 (n) 1 c 1 f(n) 0, für alle n max{n 1, n }. f(n) g(n) c 1 c }{{} 2 h 1 (n) h 2 (n), für alle n max{n 1, n 2, n }. }{{} c n 0 Prof. Dr. Dietmar Seipel 45

46 1.5.3 Rekursionsgleichungen Satz Es seien a, b 0, c > 1, n = c k, k N + und f(n) beliebig. Dann hat die Gleichung T(1) = b, T(n) = a T ( n c ) + f(n) die Lösung T(n) = b a k + k 1 j=0 a j f ( c k j). Prof. Dr. Dietmar Seipel 46

47 Beweis Beweis durch vollständige Induktion über k. Induktionsanfang, k = 0: T ( n 0) = T(1) = b = b a j=0 a j f ( c 0 j) Induktionsschluß, k k + 1: T ( c k+1) = a T ( c k) + f ( c k 1) I.A. = a b a k + = b a k+1 + k 1 j=0 a j f ( c k j) + f ( c k+1) }{{} a 0 f(ck+1 0 ) k a j f ( c k+1 j) j=0 Prof. Dr. Dietmar Seipel 47

48 Wir interessieren uns nur für zwei spezielle Funktionen f(n): f(n) = d n und f(n) = d Satz Es seien a, b 0, c > 1, n = c k, k N + und d > 0. Dann gilt für die Lösung der Gleichung T(1) = b, T(n) = a T ( n c ) + d n die Abschätzung O (n) a < c T(n) O (n log c (n)) falls a = c O ( n log (a)) c a > c (d.h. log c (a) > 1) Prof. Dr. Dietmar Seipel 48

49 Beweis Wir wenden den obigen Satz für f(n) = d n an: T(n) = b a k + d c k k 1 j=0 ( a c ) j Es gilt für die geometrische Reihe k 1 j=0 ( a c ) j : k 1 j=0 ( a j k 1 = c) j=0 q j = 1 qk 1 q für q = a c 1. Prof. Dr. Dietmar Seipel 49

50 1. a < c : Dann gilt 0 q = a c < 1 und k 1 j=0 ( a c ) j 1 1 q unabhängig von k, d.h. unabhängig von n. Damit gilt T(n) b a k + d c k 1 1 q b c k + d c k 1 ( 1 q = c k b + d ) ( 1 q = n b + d ) O(n). 1 q Prof. Dr. Dietmar Seipel 50

51 2. a = c : Dann gilt und somit k 1 j=0 ( a ) j k 1 = c T(n) = b c k + d c k k j=0 1 = k, = c k (b + d k) = n (b + d log c (n)) O (n log c (n)) Prof. Dr. Dietmar Seipel 51

52 3. a > c : Dann gilt q = a c > 1 und und somit k 1 j=0 ( a c ) j = q k 1 q 1 qk 1 q 1, T(n) b a k + d c k ak c k 1 q 1 = b a k + d a k 1 ( q 1 = a k b + d ) = a log c (n) ( q 1 = n log c (a) b + d ) O q 1 ( b + ( n log c (a)). d ) q 1 Prof. Dr. Dietmar Seipel 52

53 Bemerkung Es gilt: log c ( n log c (a)) = log c (a) log c (n) = log c (n) log c (a) = log c ( a log c (n)) und damit folgt n log c (a) = a log c (n) Prof. Dr. Dietmar Seipel 53

54 Satz Es seien a, b 0, c > 1, n = c k, k N + und d > 0. Dann gilt für die Lösung der Gleichung T(1) = b, T(n) = a T ( n c ) + d die Abschätzung O (log c (n)) falls a = 1 T(n) O ( n log (a)) c falls a 1 (= O(n) für a = c > 1) Prof. Dr. Dietmar Seipel 54

55 Beweis Wir wenden den obigen Satz für f(n) = d an: 1. a = 1 : Dann gilt und somit T(n) = b a k + d k 1 j=0 a j = k 1 j=0 T(n) = b a k + d k k 1 j=0 a j 1 = k, = b 1 k + d k = b + d log c (n) O (log c (n)). Prof. Dr. Dietmar Seipel 55

56 2. a 1 : Dann gilt k 1 j=0 a j = ak 1 a 1, und somit T(n) = b a k + d ak 1 a 1 b a k a + d k a 1 für a > 1 b a k 1 + d 1 a für a < 1 ( ) a log c (n) b + 1 a 1 für a > 1 = b a log c (n) + d 1 a für a < 1 ( ) n log c (a) b + 1 a 1 für a > 1 ( = O n log (a)) c. b n log c (a) + d 1 a für a < 1 Prof. Dr. Dietmar Seipel 56