Erinnerung VL

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1 Erinnerung VL.6.16 Graphtraversierung (DFS, topologische Sortierung und mehr) Kürzeste Wege: Problemstellung, Algorithmen Analoger Algorithmus Dijkstras Algorithmus: Idee, Korrektheit Heute: mehr zu Dijkstra, (Bellman-Ford) KIT Institut für Theoretische Informatik 1

2 ... doch zunächst KIT Institut für Theoretische Informatik

3 Feedback Vorlesungsbefragung Vielen Dank für die zahlreichen Kommentare! Wiederkehrende Kommentare: Im Hörsaal zu laut, Mikro zu leise, bärtiger Dozent war netter Zu langsam, zu schnell, langweilig, zu viele Anforderungen Gut: wenige Folien, schlecht: wenige Folien, zu voll Mehr Beispiele/Bilder, Pseudocode in Monospace KIT Institut für Theoretische Informatik 3

4 Erinnerung: analoger Algorithmus Lösung ohne Rechner: M R Distance to M 5 Kanten Fäden Kantengewicht Fadenlänge Knoten Knoten Dann: Am Startknoten anheben. H G F E C N K L P V Q S O J W KIT Institut für Theoretische Informatik 4

5 Dijkstra: Implementierung? initialize d, parent all nodes are non-scanned while non-scanned node u with d[u] < u := non-scanned node v with minimal d[v] relax all edges (u,v) out of u u is scanned now Wichtigste Operation: nde u KIT Institut für Theoretische Informatik 5

6 Prioritätsliste Wir speichern ungescannte erreichte Knoten in adressierbarer Prioritätsliste Q. Schlüssel ist d[v]. Knoten speichern handles. oder gleich items KIT Institut für Theoretische Informatik 6

7 Implementierung BFS mit PQ statt FIFO Function Dijkstra(s : NodeId) : NodeArray NodeArray // returns (d, parent) Initialisierung: d=,..., : NodeArray of R { } // tentative distance from root parent=,..., : NodeArray of NodeId parent[s]:= s // self-loop signals root Q : NodePQ // unscanned reached nodes d[s] := ; Q.insert(s) KIT Institut für Theoretische Informatik 7

8 Function Dijkstra(s : NodeId) : NodeArray NodeArray d =,..., ; parent[s]:= s; d[s] := ; Q.insert(s) while Q / do u := Q.deleteMin s u // scan u foreach edge e = (u,v) E do scanned if d[u] + c(e) < d[v] then // relax d[v]:= d[u] + c(e) parent[v] := u // update tree if v Q then Q.decreaseKey(v) u v else Q.insert(v) reached return (d, parent) KIT Institut für Theoretische Informatik 8

9 Beispiel s s s 3 a b c d e f a b c d e f a b c d e f s s s 3 5 a b d e a b d e a b d e c f 7 c f 7 c f Operation Queue insert(s) (s,) deletemin (s,) relax s a (a,) relax s 1 d (a,),(d,1) deletemin (a,) (d,1) relax a 3 b (b,5),(d,1) deletemin (b,5) (d,1) relax b c (c,7),(d,1) relax b 1 e (e,6),(c,7),(d,1) deletemin (e,6) (c,7),(d,1) relax e 9 b (c,7),(d,1) relax e 8 c (c,7),(d,1) relax e d (d,6),(c,7) deletemin (d,6) (c,7) relax d 4 s (c,7) relax d 5 b (c,7) deletemin (c,7) KIT Institut für Theoretische Informatik 9

10 Dijkstra: Laufzeit Function Dijkstra(s : NodeId) : NodeArray NodeArray Initialisierung: d=,..., : NodeArray of R { } // O(n) parent=,..., : NodeArray of NodeId // O(n) parent[s]:= s Q : NodePQ // unscanned reached nodes, O(n) d[s] := ; Q.insert(s) KIT Institut für Theoretische Informatik 1

11 Dijkstra: Laufzeit Function Dijkstra(s : NodeId) : NodeArray NodeArray d = {,..., }; parent[s]:= s; d[s] := ; Q.insert(s) // O(n) while Q / do u := Q.deleteMin // n foreach edge e = (u,v) E do // m if d[u] + c(e) < d[v] then // m d[v]:= d[u] + c(e) // m parent[v] := u // m if v Q then Q.decreaseKey(v) // m else Q.insert(v) // n return (d, parent) KIT Institut für Theoretische Informatik 11

12 Dijkstra: Laufzeit Function Dijkstra(s : NodeId) : NodeArray NodeArray d = {,..., }; parent[s]:= s; d[s] := ; Q.insert(s) // O(n) while Q / do u := Q.deleteMin // n foreach edge e = (u,v) E do // m if d[u] + c(e) < d[v] then // m d[v]:= d[u] + c(e) // m parent[v] := u // m if v Q then Q.decreaseKey(v) // m else Q.insert(v) // n return (d, parent) Insgesamt: T Dijkstra = O ( m T decreasekey (n) + n (T deletemin (n) + T insert (n)) ) KIT Institut für Theoretische Informatik 11

13 Laufzeit Dijkstras ursprüngliche Implementierung: naiv insert: O(1) d[v]:= d[u] + c(u,v) decreasekey: O(1) d[v]:= d[u] + c(u, v) deletemin: O(n) d komplett durchsuchen T Dijkstra = O ( m T decreasekey (n) + n (T deletemin (n) + T insert (n)) ) T Dijkstra59 = O(m 1 + n (n + 1)) = O ( m + n ) KIT Institut für Theoretische Informatik 1

14 Laufzeit Bessere Implementierung mit Binary-Heap-Prioritätslisten: insert: O(log n) decreasekey: O(log n) deletemin: O(log n) T Dijkstra = O ( m T decreasekey (n) + n (T deletemin (n) + T insert (n)) ) T DijkstraBHp = O(m logn + n (logn + logn)) = O((m + n)logn) KIT Institut für Theoretische Informatik 13

15 Laufzeit (Noch) besser mit Fibonacci-Heapprioritätslisten: insert: O(1) decreasekey: O(1) (amortisiert) deletemin: O(log n) (amortisiert) T Dijkstra = O ( m T decreasekey (n) + n (T deletemin (n) + T insert (n)) ) T DijkstraFib = O(m 1 + n (logn + 1)) = O(m + n logn) Aber: konstante Faktoren in O( ) sind hier gröÿer! KIT Institut für Theoretische Informatik 14

16 Analyse im Mittel Modell: Kantengewichte sind zufällig auf die Kanten verteilt Dann gilt: ( E[T DijkstraBH(ea)p ] = O m + n lognlog m ) n Beweis: In Algorithmen II KIT Institut für Theoretische Informatik 15

17 Monotone ganzzahlige Prioritätslisten Beobachtung: In Dijkstras Algorithmus steigt das Minimum in der Prioritätsliste monoton. Das kann man ausnutzen. schnellere Algorithmen u.u. bis herunter zu O(m + n). Details: in Algorithmen II KIT Institut für Theoretische Informatik 16

18 Negative Kosten Was machen wir, wenn es Kanten mit negativen Kosten gibt? Es kann Knoten geben mit d[v] = s p u C q v s p u C () q v... Wie nden wir heraus, welche das sind? Endlosschleifen vermeiden! KIT Institut für Theoretische Informatik 17

19 Zurück zu Basiskonzepten (Abschnitt 1.1 im Buch) Lemma: kürzester sv-pfad P = P ist OBdA einfach(eng. simple) Beweisidee: (Kontraposition) Fall: v über negativen Kreis erreichbar kürzester sv-pfad (sondern beliebig viele immer kürzere) s p u C q v s p u C () q v... Sonst: betrachte beliebigen nicht-einfachen sv-pfad. Alle Kreise streichen einfacher, nicht längerer Pfad. KIT Institut für Theoretische Informatik 18

20 Mehr Basiskonzepte Übung, zeige: Teilpfade kürzester Pfade sind selbst kürzeste Pfade a b c d a b,b c,c d,a b c,b c d Übung: Kürzeste-Wege-Baum Alle kürzeste Pfade von s aus zusammen bilden einen Baum, falls es keine negativen Kreise gibt. s a b d e c f KIT Institut für Theoretische Informatik 19

21 Allgemeines Korrektheitskriterium t 1 t {}}{{}}{{}}{ Sei R = relax(e 1 ) relax(e ) relax(e k ) eine Folge von Relaxationsoperationen und p = e 1,e,...,e k = s,v 1,v,...,v k ein kürzester Weg. Dann gilt anschlieÿend: d[v k ] = µ(v k ) Beweisskizze: (Eigentlich Induktion über k) d[s] = µ(s) bei Initialisierung d[v 1 ] = µ(v 1 ) nach Zeitpunkt t 1 d[v ] = µ(v ) nach Zeitpunkt t d[v k ] = µ(v k ) nach Zeitpunkt t k t k KIT Institut für Theoretische Informatik

22 Algorithmen brutal Bellman-Ford-Algorithmus für beliebige Kantengewichte Wir relaxieren alle Kanten (in irgendeiner Reihenfolge) n 1 mal. Alle kürzeste Pfade in G haben höchstens n 1 Kanten. Jeder kürzeste Pfad ist eine Teilfolge dieser Relaxationen! s=v 1 v v 3 v=v k 1. Runde. Runde 3. Runde (k 1). Runde KIT Institut für Theoretische Informatik 1

23 Negative Kreise nden Nach Ausführung von Bellman-Ford: negativen Kreise C: (u,v) C : d[u] + c(e) < d[v] Beweis: Übung v und alle von v erreichbaren Knoten x haben µ(x) = KIT Institut für Theoretische Informatik

24 Beispiel KIT Institut für Theoretische Informatik 3