4. Drehschwinger. B 2 Schwerpunkt S. c 2 P 2. S P 1 c 1 m, J B 1. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

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1 c 2 B 2 Schwerpunkt S P 2 S P 1 c 1 m, J O O B 1 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

2 Aufgabenstellung: 4. Drehschwinger Der Drehschwinger besteht aus einem starren Körper, der im Punkt O gelenkig gelagert ist. Die Masse des Körpers ist m und das Massenträgheitsmoment um den Drehpunkt ist J. An den Punkten P i sind Federn mit den Federsteifigkeiten c i angebracht. Aufzustellen ist die Schwingungsgleichung für kleine Schwingungen um die statische Ruhelage. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

3 Rückstellmoment einer Feder: Geometrie: y O φ a ψ a P' P x L 0 + ΔL Δβ β B L 0 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

4 Koordinaten von Punkt P in der Ruhelage: x P =a cos, y P =a sin Koordinaten von Punkt B: x B =x P L 0 cos, y B = y P L 0 sin Koordinaten von Punkt P in der ausgelenkten Lage: x P =a cos =x B L 0 L cos y P =a sin = y B L 0 L sin Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

5 Für kleine Auslenkungswinkel φ ist auch der Winkel Δβ und die Längenänderung ΔL klein. Dann gelten die Linearisierungen: cos =cos cos sin sin cos sin sin =sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

6 Mit den Linearisierungen lauten die Koordinatengleichungen für den ausgelenkten Zustand: x P a cos a sin =x P a sin x P L 0 cos L 0 L cos sin x P L cos L 0 sin y P a sin a cos = y P a cos y P L 0 sin L 0 L sin cos y P L sin L 0 cos Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

7 Daraus folgt: a sin = L cos L 0 sin a cos = L sin L 0 cos Aus diesem Gleichungssystem lassen sich Δβ und ΔL berechnen: a cos cos sin sin =L 0 a sin cos cos sin = L L 0 =a cos L=a sin Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

8 Moment der Federkraft: 4. Drehschwinger y P' F x F y F β + Δβ O x B Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

9 Federkraft: F =F 0 c L F 0 ist die Vorspannkraft der Feder, die in der statischen Ruhelage vorhanden ist. Für die Komponenten der Federkraft gilt: F x = F 0 c L cos F 0 c L cos sin F 0 cos c L cos F 0 sin F y = F 0 c L sin F 0 c L sin cos F 0 sin c L sin F 0 cos Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

10 Das Moment der Federkraft um den Drehpunkt O berechnet sich zu M F = y P F x x P F y = y p a cos F 0 cos c L cos F 0 sin x P a sin F 0 sin c Lsin F 0 cos y P F 0 cos x P F 0 sin a F 0 cos c L y P cos x P sin F 0 x P cos y P sin =M F0 F 0 a cos c a 2 sin 2 F 0 a2 L cos2 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

11 Dabei ist M F0 = y P F 0 cos x P F 0 sin das Moment der Federkraft in der statischen Ruhelage. Zusammengefasst ergibt sich: M F =M F0 F 0 a cos [ 1 a L cos ] c a 2 sin 2 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

12 Geometrische Zusammenhänge in der Ruhelage: O r ψ a s ψ + β P β ψ β B s=a cos r=a sin Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

13 r ist der Abstand der Wirkungslinie der Federkraft vom Drehpunkt. s ist der Abstand des Federangriffspunktes vom Lotpunkt. Mit diesen Bezeichnungen gilt für das Moment: s M F =M F0 F 1 s 0 L c r 2 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

14 Steifigkeiten: Die Steifigkeit s c G =F 1 s 0 L =F 0 a cos 1 a L cos ist die geometrische Steifigkeit der Feder. Sie beschreibt die Änderung des Rückstellmomentes infolge der Änderung der Richtung der Feder. Die geometrische Steifigkeit verschwindet, wenn die Vorspannkraft verschwindet oder wenn die Wirkungslinie der Federkraft senkrecht auf dem Abstand des Federangriffspunktes vom Drehpunkt steht. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

15 Die Steifigkeit c E =c r 2 =c a sin 2 ist die materielle Steifigkeit der Feder. Sie beschreibt die Änderung des Rückstellmomentes infolge der Änderung der Länge der Feder. Damit gilt für das Rückstellmoment: M F =M F0 c G c E Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

16 Rückstellmoment der Gewichtskraft: y S M G = m g e cos m g e cos sin =M G0 m g e sin O e γ mg x M G0 ist das Moment der Gewichtskraft in der statischen Ruhelage. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

17 Schwingungsgleichung: 4. Drehschwinger Für ein System mit n Federn berechnet sich das gesamte Rückstellmoment zu Dabei ist n M =M G i=1 M F0i =M G n c = D i=1 n m g esin i=1 n i=1 M F0i c D c Gi c Ei m g esin c Gi c Ei die resultierende Steifigkeit des Drehschwingers. Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

18 Der Drallsatz bezüglich des Drehpunktes O lautet: n J =M=M G i=1 M F0i c D In der statischen Ruhelage gilt =0 und =0. Daher muss gelten: n 0=M G i=1 M F0i Damit lautet die Schwingungsgleichung: c D J =0 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik

19 Zusammenfassung: Schwingungsgleichung: Resultierende Steifigkeit: Geometrische Steifigkeit: 4. Drehschwinger c D J =0 c D = i=1 c Gi =F 0i s i 1 s i L =F 0i a i cos i i i n c Gi c Ei m g esin 1 a i L i cos i i Materielle Steifigkeit: c Ei =c i r i 2 =c i a i sin i i 2 Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik