1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

Transkript

1 Ihaltsverzeichis 1 Vorbemerkuge 1 Zufallsexperimete - grudlegede Begriffe ud Eigeschafte 3 Wahrscheilichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimete 6 5 Hilfsmittel aus der Kombiatorik 7 6 Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit vo Ereigisse 10 7 Zufallsvariable ud Verteilugsfuktio 16 8 Diskrete Zufallsvariable 18 9 Stetige Zufallsvariable 8 10 Fuktioe vo eier oder mehrere Zufallsvariable Grezwertsätze 46 1 Parameterschätzuge ud Schätzfuktioe Kofidezitervalle 51

2 11 Grezwertsätze Bei viele i der Praxis vorkommede Zufallsvariable ka ma davo ausgehe, dass sie additiv aus viele uabhägige ichtdomiierede Eizeleiflüsse zusammegesetzt sid. I diesem Zusammehag iteressiert die Wahrscheilichkeitsverteilug der Summe Z = X 1 + X X. Gilt E(X i ) = µ ud V ar(x i ) = für alle i = 1,,...,, so gilt E(Z ) = µ ud V ar(z ) =. Für sid dies uedliche Größe (falls µ 0 bzw. 0). Ma betrachtet daher die stadardisierte Zufallsvariable womit da Y = Z E(Z ) V ar(z ) = Z µ, E(Y ) = 0 ud V ar(y ) = 1 gilt. Der folgede zetrale Grezwertsatz besagt, dass Y äherugsweise ormalverteilt ist. Die Normalverteilug spielt daher i der Statistik eie besodere Rolle Satz (Zetraler Grezwertsatz) Die Zufallsvariable X 1, X,..., X seie für jedes N uabhägig mit derselbe Verteilug, d. h. isbesodere E(X i ) = µ ud V ar(x i ) = für alle i. Da gilt für die Verteilugsfuktio der sogeate stadardisierte Summe Y = X i µ = Z µ 11. Bemerkug lim P (Y x) = Φ(x) = 1 x e u du π Für große (Faustregel 30) ist Y ugefähr N(0, 1)-verteilt, die Summe Z = X i ugefähr N(µ, )-verteilt ud das arithmetische Mittel X = 1 X i ugefähr N(µ, )-verteilt Beispiel Ei Autohaus hat ermittelt, dass bei eier Stadardabweichug vo = 1, 6 durchschittlich alle, 4 Werktage ei PKW des Typs Fiasko verkauft wird. Mit welcher Wahrscheilichkeit werde im Laufe eies Quartals (75 Werktage) midestes 35 Fiaskos verkauft? Sei X i, i = 1,,...,, die zufällige Zeitspae zwische dem Verkauf des (i 1)-te ud des i-te Fiaskos. Da ist Z = X i die zufällige Zeitspae bis zum Verkauf des -te Fiaskos. Gesucht ist also P (Z 35 75). Wir gehe davo aus, dass die X i uabhägig sid. Es gilt E(Z 35 ) = 35, 4 = 84 ud V ar(z 35 ) = 35 1, 6 = 89, 6. Wege = 35 köe wir ach Bemerkug 11. aehme, dass Z 35 äherugsweise N(84; 89, 6)-verteilt ist. Somit ist P (Z 35 75) = Φ( ) Φ( 0, 95) 0, , 6 Für grobe Abschätzuge ohe große Voriformatioe diet die folgede Tschebyscheffsche Ugleichug. 46

3 11.4 Satz (Tschebyscheffsche Ugleichug) Sei X Zufallsvariable mit E(X) = µ ud V ar(x) =. Da lässt sich für jedes c > 0 die Wahrscheilichkeit für die Abweichug vom Erwartugswert abschätze durch P ( X µ c) c de: Für eie stetige Zufallsvariable X mit der Dichte f(x) gilt: V ar(x) = Der Beweis für de diskrete Fall geht aalog Beispiel = (x µ) f(x) dx }{{} 0 {x: x µ c} c {x: x µ c} = c P ( X µ c) (x µ) f(x) dx }{{} c f(x) dx Der Newert der Kapazität vo Kodesatore sei 300µF. Die tatsächliche Kapazitäte X streue jedoch mit eier Stadardabweichug vo = 1µF um de Newert. Eie obere Schrake für die Wahrscheilichkeit, dass die Kapazität um midestes 5% vom Newert abweicht ist P ( X ) 1 = 0, Wisse wir, dass die Kapazität N(300, 1 )-verteilt ist, so erhalte wir für die Wahrscheilichkeit eier Abweichug vo midestes 5% P ( X ) = 1 P ( 15 X ) = 1 P ( 15 1 X ) = 1 (Φ(1, 5) Φ( 1, 5)) = Φ(1, 5) 0, 113 Ma sieht, dass die zusätzliche Ketis der Wahrscheilichkeitsverteilug mit erheblichem Iformatiosgewi verbude ist. Wege des folgede schwache Gesetzes der große Zahle liegt für große das arithmetische Mittel (aus Messuge, Stichprobe) i der Nähe des Erwartugswertes. Ma immt daher das arithmetische Mittel auch als Schätzwert für de Erwartugswert Satz (Schwaches Gesetz der große Zahle) Die Zufallsvariable X 1, X,..., X seie alle utereiader uabhägig mit gleichem Erwartugswert µ ud gleicher Variaz. Da gilt für jedes ε > 0 0 P ( 1 X i µ ε) ε 47

4 ud damit lim P ( 1 X i µ ε) = Beispiel Jemad geht a 50 Tage stets zu eiem zufällig gewählte Zeitpukt zur Bushaltestelle. Die zufällige Wartezeit X i am i-te Tag bis zum Eitreffe des ächste Busses habe de Erwartugswert µ = 3 Miute ud eie Variaz vo = 1, 5 Miute. Gesucht ist eie utere Schrake für die Wahrscheilichkeit, dass die mittlere Wartezeit zwische, 5 ud 3, 5 Miute liegt P ( X i 3 < 0, 5) = 1 P ( X i 3 0, 5) , 5 = 0, , 5 48

5 1 Parameterschätzuge ud Schätzfuktioe Für ubekate Parameter, z. B. Erwartugswert, Variaz, Erfolgswahrscheilichkeit etc., solle ausgehed vo eier kokrete Stichprobe Schätzwerte kostruiert werde. Dies geschieht mit Hilfe vo Schätzfuktioe. Ist θ ei ubekater Parameter, {X 1, X,..., X } eie mathematische Stichprobe ud {x 1, x,..., x } eie kokrete Realisierug eier solche Stichprobe, so bezeiche wir mit ˆθ = ˆθ(X 1, X,..., X ) die zufällige Schätzfuktio ud mit ˆθ = ˆθ(x 1, x,..., x ) de auf der Grudlage der kokrete Stichprobe berechete Schätzwert. Vo eier Schätzfuktio erwartet ma, daß ihre Realisieruge im Mittel um de Erwartugswert streue ud icht eiseitige Abweichuge ach obe oder ute aufweise. Das führt zu folgeder Defiitio. 1.1 Defiitio Eie Schätzfuktio ˆθ für de Parameter θ heißt erwartugstreu, we gilt. Sie heißt asymptotisch erwartugstreu, we E(ˆθ(X 1, X,..., X )) = θ lim E(ˆθ(X 1, X,..., X )) = θ Wir gebe im folgede eie tabellarische Übersicht. Ubekater Schätzfuktio Schätzwert für Parameter für ubekate ubekate Parameter Parameter (aus kokreter Stichprobe) Mittelwert der kokrete Erwartugswert E(X) X = 1 X i Stichprobe x 1, x,..., x x = 1 x i Variaz der kokrete Variaz V ar(x) S = 1 1 (X i X) Stichprobe x 1, x,..., x s = 1 1 (x i x) Erfolgswahrscheilich- ˆP = X, wobei X die Relative Häufigkeit für keit p bei eiem zufällige Azahl der Erfolg bei -facher Beroulli-Experimet Erfolge bei -facher Ausführug eies Beroulli- Ausführug eies Exp. ˆp = k mit k Azahl Beroulli-Exp. bez. der Erfolge 1. Beispiel Mit drei verschiedee Würfel wird je 50 mal gewürfelt. Die Verteilug der Augezahle ud die Schätzwerte für die jeweilige Erwartugswerte sid i der folgede Tabelle agegebe Schätzwert Würfel x = 3, 98 Laplace Würfel Würfel x = 3, 4 E(X) = 3, 5 Würfel x = 3, 34 Geht es um die Frage, ob eie 6 gewürfelt wurde oder icht, so habe wir folgede Zusammehäge. 6 keie 6 Schätzwert Würfel ˆp = = 0, 8 Laplace Würfel Würfel ˆp = = 0, p = 1 6 = 0, 16 Würfel ˆp = 7 43 = 0, 14 49

6 1.3 Bemerkug X, S ud ˆP sid erwartugstreu, S = S als Schätzfuktio für die Stadardabweichug ist icht erwartugstreu. I der folgede Tabelle sid die Schätzwerte für die Parameter spezieller Wahrscheilichkeitsverteiluge, die isbesoders für techische Aweduge wichtig sid zusammegestellt. Verteilug/Dichte Schätzwert Bemerkuge Biomialverteilug Parameter k: Azahl der Erfolge bei p i = ( i) p i (1 p) ( i) ˆp = k -facher Durchführug i = 0, 1,..., eies Beroulli-Experimetes Poisso-Verteilug Erwartugswert x: Mittelwert der p i = λi i! e λ, i=0,1,... ˆλ = x Stichprobe Expoetialverteilug Parameter λ x: Mittelwert der f(x) = λe λx, x 0 ˆλ = 1 x Stichprobe Normalverteilug Erwartugswert x: Mittelwert der ˆµ = x Stichprobe f(x) = 1 π e (x µ) Variaz s : Variaz der ˆ = s Stichprobe 1.4 Beispiel Die Lebesdauer T eies elektroische Bauteils sei expoetialverteilt mit dem ubekate Parameter λ. Es liege folgede Stichprobe vom Umfag 8 vor. Bauteil i Lebesdauer t i i Stude Der Mittelwert für die Lebesdauer beträgt t = t i = 1050, der Schätzwert für λ somit ˆλ = 1 t = , Beispiel Wir gebe eie Schätzug für de Ausschußateil p bei der Serieproduktio vo Glühlampe. Bei Stichprobe vom Umfag = 300 ware k = 6 defekt. Somit ist ˆp = k = 6 = 0, 0 = %

7 13 Kofidezitervalle Schätzuge für die Parameter ud Werte vo Wahrscheilichkeitsverteiluge etstehe i der Regel aus Stichprobe. Ei Schätzwert ka daher (isbesodere bei zu kleiem Stichprobeumfag) erheblich vom tatsächliche Wert abweiche. Ma kostruiert daher sogeate Itervallschätzuge, d. h. es werde Itervalle bestimmt, bei dee ma mit eier gewisse Wahrscheilichkeit davo ausgehe ka, daß sie de tatsächliche Parameterwert ethalte. Wir iteressiere us z. B. für eie bestimmte Parameter θ der Wahrscheilichkeitsverteilug eier Zufallsvariable X. Ziel ist es, auf der Grudlage eier Stichprobe {X 1, X,..., X } zufällige Greze G u ud G o zu kostruiere, so daß θ [G u, G o ] mit eier vorgegebee Wahrscheilichkeit 1 α Defiitio (Kofidezitervall) Ei Itervall [G u, G o ] mit der Eigeschaft P (G u θ G o ) = 1 α heißt zufälliges Kofidez- oder Vertrauesitervall für de Parameter θ zum Kofideziveau 1 α. G u ud G o heiße utere ud obere Kofidez- oder Vertrauesgreze. L = G o G u ist die Läge des Kofidezitervalls. Mit α bezeichet ma die Irrtumswahrscheilichkeit ud mit (1 α) die Sicherheitswahrscheilichkeit. 13. Beispiel Ist für de mittlere Durchmesser θ vo Kugel [G u, G o ] = [100, 103] zum Kofideziveau 0.9, so bedeutet dies: Der wahre Wert vo θ liegt mit eier Sicherheitswahrscheilichkeit vo 90% im Itervall [100, 103]. Kofidezitervalle lasse sich folgedermaße iterpretiere. Kostruiert ma viele solcher Itervalle (durch voeiader uabhägige, uter gleiche Voraussetzuge erhobee Stichprobe), so ethalte durchschittlich 90% der so kostruierte Itervalle de wahre Wert vo θ. Kofidezitervalle werde mit Hilfe zufälliger Stichprobe kostruiert. Die jeweilige Wahrscheilichkeitsverteilug muß bekat sei. Wir betrachte im folgede kokrete Fragestelluge, wobei sich 1. bis 4. auf ormalverteilte ud 5. auf biomialverteilte Zufallsvariable beziehe. a) Kofidezitervall für de Erwartugswert bei bekater Variaz (ormalverteilte Zufallsvariable) Die Zufallvariable X 1, X,..., X seie alle N(µ, )- verteilt mit bekatem ud ubekatem µ. Das Ziel ist die Bestimmug eies Kofidezitervalls für de Erwartugswert µ zum Kofideziveau 1 α bei vorgegebeem α, d. h. eies Itervalls, i dem mit eier Sicherheitswahrscheilichkeit vo 1 α der tatsächliche Parameter µ ethalte ist. X i ist N(µ, Das arithmetische Mittel X = 1 X µ )-verteilt d. h. (vgl. Satz 9.6) U = ist N(0, 1)-verteilt. q ε ud q 1 ε seie das ε- ud das (1 ε)-quatil der Stadardormalverteilug, d. h. es gilt Φ(q ε ) = ε ud Φ(q 1 ε ) = 1 ε. Wege der Symmetrie der Dichte der Stadardormalverteilug gilt q 1 ε = q ε. Wir setze für das folgede zweckmäßigerweise u ε = q ε = q 1 ε für 0 < ε < 1/. Für ε = α/ gilt u: Durch Ersetze vo U erhält ma: P ( u α U u α ) = Φ(u α ) Φ( u α ) = 1 α P ( u α X µ u α ) = P (X u α = 1 α µ X + u α ) 51

8 Also ist [X u α, X + u α ] ei Kofidezitervall für de Parameter µ zum Kofideziveau 1 α. Die Läge des Kofidezitervalls beträgt: u α Wege des Faktors 1 muß also zur Halbierug der Läge des Kofidezitervalls der Stichprobeumfag vervierfacht werde Beispiel (Zahlewerte Quatile) α = 0, 1 : u 0,05 = q 0,95 1, 64 Irrtumswahrscheilichkeit: 10% α = 0, 05 : u 0,05 = q 0,975 1, 96 5% α = 0, 01 : u 0,005 = q 0,995, 58 1% 13.4 Beispiel (Schmelzpukt ubekate Legierug) Die Messuge des Schmelzpuktes eier ubekate Legierug i C ergabe folgede Werte: 464, 4 469, 7 469, 469, 5 461, 8 468, 7 469, 5 463, 9 Die Variaz = 6, 5 sei bekat. Der Schätzwert für µ für die kokrete Stichprobe vom Umfag 8 beträgt x 467, 09. Für die Bestimmug des Kofidezitervalls zum Kofideziveau 0, 95 ergibt sich: α = 0, 05, u α = u 0,05 1, 96, d. h. g u = x u α 6, 5 467, 09 1, , 36 8 g o = x + u α 6, 5 467, , , 8 8 Isgesamt erhalte wir somit das Kofidezitervall mit eier Sicherheitswahrscheilichkeit vo 95% Bemerkug [465, 36; 468, 8] I der Praxis ket ma üblicherweise auch die Variaz icht ud muß sich mit eiem etsprechede Schätzwert behelfe, d. h. wir betrachte τ 1 = X µ S, wobei eie Schätzfuktio für die Variaz ist. S = 1 1 (X i X) Für die folgede Überleguge beötige wir zuächst och weitere Verteiluge, die bisher och icht behadelt wurde. 5

9 Chi-Quadrat-Verteilug Eie Zufallsvariable χ geügt eier Chi-Quadrat-Verteilug (χ -Verteilug) mit Freiheitsgrade, we sie die Gestalt χ = X 1 + X + + X hat, wobei X 1, X,..., X uabhägige N(0, 1)-verteilte Zufallsgröße sid Bemerkug i) Die Dichte der χ -Verteilug ist defiiert durch wobei K = 1 f χ (x) = { K x e x falls x > 0 0 sost Γ( ) mit Γ(α) = e t t α 1 dt, α > 0. Für N ist speziell: Γ( + 1) =! ii) Die Quatile der χ -Verteilug sid für verschiedee Werte vo tabelliert. iii) E(χ ) =, da V ar(x i ) = 1 = E(Xi ) (E(X i )), }{{} =0 also E(Xi ) = 1 für alle i = 1,,...,. t-verteilug vo Studet Diese Verteilug stammt vo dem Mathematiker Gosset, wurde vo ihm aber uter dem Pseudoym Studet veröffetlicht. Eie Zufallsvariable τ geügt eier t-verteilug (Studet-Verteilug), we sie vo der Form τ = X χ ist. Dabei sid X ud χ uabhägige Zufallsvariable, X ist N(0, 1)-verteilt ud χ ist χ - verteilt mit Freiheitsgrade Bemerkug i) Die Dichte der t-verteilug ist gegebe durch: f τ (t) = 0 +1 Γ( ) 1 Γ( ) (1 + t π ) +1 ii) Die Quatile der t-verteilug sid i Abhägigkeit vo tabelliert. iii) E(τ ) = 0 für ud V ar(τ ) = für 3 iv) Für kovergiert die t-verteilug gege die N(0, 1)-Verteilug. Faustregel: Für > 100 ka ma die Stadardormalverteilug statt der t-verteilug beutze. v) Die Dichte der t-verteilug ist symmetrisch zur y-achse Satz Die obe defiierte Zufallsvariable τ 1 = X µ S geügt eier t-verteilug mit 1 Freiheitsgrade. (ohe Beweis) 53

10 b) Kofidezitervall für de Erwartugswert bei ubekater Variaz Sei u τ 1 = X µ S. Wir gehe geauso vor wie im Fall der bekate Variaz. Setze t 1, α = q 1 α mit dem (1 α )-Quatil q 1 α. Da ist t 1, α = q α Somit: P (X t 1, α P ( t 1, α X µ S S µ X + t 1, α t 1, α ) = 1 α S ) = 1 α Also ist [X t 1, α S, X + t 1, α S ] ei Kofidezitervall für de Parameter µ zum Kofideziveau 1 α. Für > 100 (vgl. Bemerkug 13.7) ka ma u α statt t 1, α verwede Beispiel (Fortsetzug vo Beispiel 13.4) x = 467, 09 s = 1 8 (x i x) 10, 1 = s 3, 18 7 t 7;0,05 = q 0,975 =, 365 d. h. das Kofidezitervall ist [464, 44; 469, 74] mit eier Sicherheitswahrscheilichkeit vo 95%. Das Kofidezitervall ist durch die Schätzug der Variaz breiter. c) Eiseitige Kofidezitervalle Machmal möchte ma wisse, ob der Erwartugswert eie bestimmte Wert icht uter- oder überschreitet (z. B. Midestlebesdauer eier Glühlampe). Die Aufgabe ist i solche Fälle die Bestimmug eier utere bzw. obere Schrake für E(X), d. h. eies Kofidezitervalls der Form [G u, ) bzw. (, G o ]. Uteres (ach ute beschräktes) eiseitiges Kofidezitervall für de Erwartugswert bei ubekater Variaz mit Kofideziveau 1 α ist [X t 1,α S ; ). Oberes (ach obe beschräktes) eiseitiges Kofidezitervall für de Erwartugswert bei ubekater Variaz mit Kofideziveau 1 α ist ( ; X + t 1,α S ] Beispiel (Fortsetzug vo Beispiel 13.4) Bestimme uteres eiseitiges Kofidezitervall mit 95% Sicherheitswahrscheilichkeit. x 467, 09 s 3, 18 t 7;0,05 = q 0,95 = 1, 895 Also ist [464, 96; ) ei uteres eiseitiges Kofidezitervall mit 95% Sicherheitswahrscheilichkeit. 54

11 d) Kofidezitervall für die Variaz eier N(µ, )- verteilte Zufallsvariable Sei X N(µ, )-verteilt. Da ist χ 1 = ( 1)S eie χ -verteilte Zufallsvariable mit 1 Freiheitsgrade (ohe Beweis). Seie χ 1, bzw. χ α 1,1 das α α - bzw. (1 α )-Quatil der χ - Verteilug. Da gilt P (χ ( 1)S 1, α χ 1,1 α ) = 1 α Umformug der Ugleichug im Argumet vo P ergibt: χ 1, α ( 1)S ( 1)S ud χ 1,1 α ( 1)S ( 1)S χ ud 1, χ α 1,1 α Also ( 1)S P ( χ ( 1)S 1,1 χ ) = 1 α α 1, α Also ist das Kofidezitervall zum Kofideziveau 1 α für die Variaz: [ ( 1)S χ ; 1,1 α Für die Stadardabweichug erhält ma: [ ( 1)s χ 1,1 α ; ( 1)S χ 1, α ] ] ( 1)s χ 1, α e) Kofidezitervall für die Erfolgswahrscheilichkeit Hierbei geht es um de Parameter p bei Beroulli-Experimete. Die Schätzfuktio ist ˆP = X, wobei X die Azahl der Erfolge bei -facher Durchführug eies Beroulli-Experimetes bezeichet. X ist biomialverteilt mit de Parameter ud p ud (vgl. Kap. 8) E(X) = p, V ar(x) = p(1 p). Im folgede setze wir eie umfagreiche Stichprobe voraus. Wege des zetrale Grezwertsatzes ist X äherugsweise N(p, p(1 p))-verteilt, d. h. U = X p ist äherugsweise N(0, 1)-verteilt. p(1 p) Mit der Schätzfuktio ˆP = X ist also U = ˆP p ugefähr N(0, 1)-verteilt. p(1 p) Wir bestimme ei Kofidezitervalls für U mit Kofideziveau 1 α. Sei u α = q 1 α das (1 α )- Quatil vo Φ. Da ist P ( u α U u α ) 1 α P ( u α ( ˆP p) p(1 p) u α ) 1 α Wir brige die Ugleichug im Argumet vo P i die Form G u p G o. Zur Abkürzug schreibe wir im folgede u statt u α. 1.Fall: ˆP p 0 Da ist die erste Ugleichug automatisch erfüllt. Die zweite Ugleichug ist äquivalet zu ( ˆP p) u p(1 p) ˆP p ˆP + p u p u p p (1 + u ) p( ˆP + u ) + ˆP 0 55

12 Die like Seite beschreibt eie ach obe geöffete Parabel, d. h. die Ugleichug ist für diejeige p-werte erfüllt, die zwische de Nullstelle der like Seite der Ugleichug liege. Wir bestimme daher diese Nullstelle. p p ˆP + u 1 + u }{{} = ˆP +u +u p 1, = 1 ˆP + u + u ± { 1 p 1, = + u p 1, = 1 + u { + ˆP 1 + u }{{} = ˆP +u 1 ˆP + u ± ˆP + u ± u = 0 4 ( ˆP + u ) ( + u ) ˆP + u ˆP + ˆP u + u4 ˆP (1 ˆP ) + u 4. Fall: ˆP p < 0 Aaloge Betrachtuge wie im 1. Fall führe auf dieselbe Werte für p. 4 ˆP ˆP u } Isgesamt erhält ma also als (ugefähres) Kofidezitervall [P, P + ] für die Erfolgswahrscheilichkeit p zum Kofideziveau 1 α mit 1 P ± = + u α ˆP + u α ± u α ˆP (1 ˆP ) + u α 4 } Für großes ( 1000) ka ma äherugsweise mit P± = ˆP ± u α ˆP (1 ˆP ) reche Beispiel Ei Würfel zeigt bei 1000 Würfe 188 mal die 6. Gesucht ist ei Kofidezitervall für die Wahrscheilichkeit eie 6 zu würfel zum Kofideziveau vo 80% (d. h. 1 α = 0, 8; α = 0, ). Es gilt ˆp = = 0, 188, u 0,1 = q 0,9 = 1, 8 d. h Bemerkug [p, p + ] = [0, 1770; 0, 043] bzw. [p, p +] = [0, 1719; 0, 0381] Bei eiem homogee Würfel ist p = 0, 16. Bei eiem Kofideziveau vo 99% (d. h. 1 α = 0, 99; α = 0, 01) erhält ma mit u 0,005 = q 0,995 =, 58 [p, p + ] = [0, 158; 0, 190] bzw. [p, p +] = [0, 1561; 0, 1988] Bei eiem Kofideziveau vo 99% würde ma icht behaupte, daß der Würfel ufair ist Bemerkug Auch hier köe wieder utere bzw. obere Kofidezitervalle [P, 1], [0, P + ] bzw. [P, 1], [0, P +] bestimmt werde. Für ei Kofideziveau vo 1 α ist da aber wieder u α zu ehme. 56