Festkörperelektronik 2008 Übungsblatt 4

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1 Lichttechnisches Institut Universität Karlsruhe (TH) Prof. Dr. rer. nat. Uli Lemmer Dipl.-Phys. Alexander Colsmann Engesserstraße Karlsruhe Festkörperelektronik 4. Übungsblatt 12. Juni 2008 Die mit Ü markierten Aufgaben werden voraussichtlich in der Saalübung besprochen. 22. Gekoppelte Potentialtöpfe Seien V 0, V 1 > 0 und L > d > 0. Betrachten Sie den gekoppelten Potentialtopf V 1 : x > L V (x) = 0 : L > x > d V 0 : d > x (a) Sei V 0 = V 1. Skizzieren Sie das gegebene Potential. Skizzieren Sie zwei gebundene Zustände eines Elektrons in diesem Potential. ( ) (b) Was verändert sich, wenn die Länge d sehr groß oder sehr klein wird? ( ) (c) Ein Elektron der Energie W q1 > V 1 laufe von links ein. Wie verhält es sich im angegebenen Potentialgebiet? ( ) (d) Wie verhält sich ein klassisches Elektron mit der Energie W k1 < V 1 bzw. der Energie W k2 > V 1? ( ) (e) Sei nun V 0 =. Wie verhält sich nun ein quantenmechanisches Elektron der Energie W q2 < V 1? (Keine Rechnung nötig.) ( ) (f) Geben Sie den Impulserwartungswert des Elektrons mit der Energie W q2 < V 1 an und begründen Sie Ihre Antwort. (Keine Rechnung.) ( ) 23. Das Wasserstoffatom (Ü) (a) Die Eigenenergien des Wasserstoff-Elektrons im Potential eines Protons (dem Wasserstoff-Kern) lassen sich zu W n = e4 m e 1 mit n = 1, 2,... berechnen. 8h 2 ɛ 2 0 n 2 Durch Absorption von Licht, kann das Elektron in einen höheren Zustand gelangen, durch Emission in einen niedrigeren. Stellen Sie eine Formel für die Seite Ü19

2 Wellenlängen des Lichtes auf, das emittiert wird, wenn ein Elektron ausgehend von einem höheren Zustand in den Zustand n=2 relaxiert (Balmer-Serie). Bestimmen Sie die Wellenlängen, die im sichtbaren Spektralbereich liegen. Welche Farbe hat das Licht? ( ) (b) Was bezeichnet man als Orbital eines Atoms? Was genau trägt man auf, wenn man Orbitale skizziert? ( ) (c) Zählen Sie die Quantenzahlen auf, die den Zustand eines Elektrons im Wasserstoffatom bezeichnen. Warum tragen die Quantenzahlen ihren jeweiligen Namen und welche Bedeutung haben die verschiedenen Quantenzahlen anschaulich (Energieniveaus, Form der Orbitale...)? ( ) (d) Welche Quantenzahlen können im Wasserstoffatom für einen Zustand mit n = 5 auftreten? ( ) (e) Berechnen Sie die Anzahl der verschiedenen elektronischen Zustände zu einer Hauptquantenzahl n. ( ) (f) Recherchieren Sie, wie die Wellenfunktion für das Wasserstoffatom ψ lautet. ( ) (g) Berechnen Sie, in welchem Abstand a 2s vom Kern man ein 2s-Elektron am wahrscheinlichsten antrifft (Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte)? Benutzen Sie die Lösungen für das Wasserstoffatom ψ n,l,m = R n,l (r)y l,m (φ, θ), die Sie in den Tabellen 1 und 2 finden). ( ) (h) Berechnen Sie den mittleren Abstand zwischen dem Elektron und dem Proton im Grundzustand und vergleichen Sie diesen mit dem Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte sowie dem Bohr schen Radius a 0. ( ) (i) Skizzieren Sie die Orbitale des Wasserstoffs für die niedrigsten drei Hauptquantenzahlen. ( ) 24. Elektronenkonfiguration von Elementen (Ü) Vervollständigen Sie die folgende Tabelle. ( ) Seite Ü20

3 Element Bor Schwefel Stickstoff Elektronenkonfiguration 1s 2 2s 1 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 1 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 4s Bindungen (a) Welche unterschiedlichen Bindungstypen zwischen Atomen oder Molekülen gibt es? Erläutern Sie Ihre Charakteristika. ( ) (b) Diskutieren Sie die Gemeinsamkeiten zwischen einer kovalenten Bindung (z.b. zwischen zwei Wasserstoffatomen) und zwei gekoppelten Potentialtöpfen. ( ) (c) Berechnen Sie die Energie, die frei wird, wenn sich ein Natrium-Atom und ein Chlor-Atom zu Kochsalz verbinden. Die Ionisationsenergie von Natrium beträgt 5.14eV, die Elektronenaffinität von Chlor 3.71eV und die Bindungsenergie zwischen einem Natrium- und einem Chlor-Ion 7.9eV. ( ) 26. Kristalle (a) Wann ist ein Festkörper kristallin? Welche Informationen benötigt man, um einen Kristall eindeutig zu beschreiben? ( ) (b) Welche Herstellungsmethoden von hochreinen kristallinen Festkörpern kennen Sie? Beschreiben Sie deren Funktionsweise. ( ) (c) Wann spricht man von polykristallinen, wann von amorphen Festkörpern? ( ) (d) Kauft man einen Siliziumwafer, so ist genau gekennzeichnet, entlang welcher Kristallebene der Schnitt verläuft. Warum ist das in Kristallen wichtig? Ist eine solche Angabe auch für eine Schicht amorphen Siliziums oder Glas sinnvoll? ( ) 27. Die Bandstruktur I Seite Ü21

4 Abb. 1: Reale Bandstrukturen von (a) Silizium und (b) Gallium-Arsenid. (a) Welche physikalischen Größen sind in Bandstrukturen normalerweise gegeneinander aufgetragen? Welche Information steckt in diesen Größen? ( ) (b) In Abbildung 1 ist ein Teil der Bandstruktur von Silizium gegeben. Was bedeuten die Bezeichnungen Γ, X und L an der x-achse? ( ) (c) Identifizieren Sie Valenzband das Leitungsband in den entsprechenden Diagrammen. Ergänzen Sie die parabolische Näherung für das Leitungsband im Diagramm. ( ) (d) Welchen der beiden Halbleiter empfehlen Sie, wenn ein möglichst schnelles Bauelement mit Elektronen als Ladungsträgern realisiert werden soll? ( ) (e) Nun sei die parabolische Näherung für das Leitungsband gegeben als W L (k) = W G 2 + ak 2, wobei a = 2 /0, 033 m 0. Berechnen Sie die effektive Masse der Elektronen im Leitungsband. ( ) (f) Beschreiben Sie, wie es zur Ausbildung einer Bandlücke im Halbleiterkristall kommt. Stellen Sie die Bedingung für das Auftreten einer stehenden Elektronenwelle im Kristall auf. ( ) 28. Kristallstruktur von Silizium (Ü) Die Dichte von Silizium beträgt 2330 kg m 3, die atomare Masse 28.1 u (1 u = 1, kg). Seite Ü22

5 (a) Silizium hat ein fcc-gitter mit einer 2-atomigen Basis (Diamantstruktur), skizzieren Sie die kubische Einheitszelle. ( ) (b) Wie groß ist die Gitterkonstante a? ( ) Seite Ü23

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