Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 2213 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 2005/06

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1 Übungen zu: Theoretische Physik I klassische Mechanik W 13 Tobias Spranger - Prof. Tom Kirchner WS 005/06 Dezember 005 Übungsblatt 7 Lösungsvorschlag 4 Aufgaben, 11 Punkte Aufgabe 1 Zykloidenpendel 3 P R R z m 0 π π Eine Perle gleitet unter Einfluss der Schwerkraft g e z rei- bungsfrei auf einem Draht. Dieser ist als Zykloide geformt, d.h. die Bahn der Perle genügt den Gleichungen g = R(α sinα z = R(1 + cosα mit 0 α π = R(α sin α y = 0 z = R(1 + cosα ẋ = R( α α cosα ẏ = 0 ż = R αsin α 1.a Stelle die LAGRANGEfunktion auf. kinetische Energie: T = 1 m ( ẋ + ż = 1 ( mr α α cosα + α cos α + α sin α = 1 ( mr α α cosα = mr (1 cosα α potentielle Energie: U = mgz = mgr(1 + cosα LAGRANGEfunktion: 1.b Bestimme ü für u = sin ϕ(t L = T U = mr (1 cosα α mgr(1 + cosα = mr (1 + cosα ( R α + g u = 1 ϕcos ϕ ü = 1 ϕcos ϕ 1 4 ϕ sin ϕ 7.1

2 1.c Bestimme die Bewegungsgleichung der Perle. d L dt α = d dt mr (1 + cosα α = mr ( α (1 + cosα α sin α L α = mr sin α ( R α + g Damit erhält man die Bewegungsgleichung mit α (1 + cosα α sin α + ( α + g sin α = 0 R α (1 + cosα ( g R α sin α = 0 (1 + cosϕ = cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ kann man die Bewegungsgleichung als α cos α α sin α + g R sin α = 0 schreiben. Substituiert man u = sin α erhält man die einfache Form: ü g 4R u = 0 1.d Löse die Bewegungsgleichung für die Anfangsbedingungen z(0 = z 0 und α(0 = 0 Das ist die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators. Die Allgemeine Lösung ist u = Asin(ωt + B cos(ωt bzw. α = arcsin(a sin(ωt + B cos(ωt mit der Kreisfrequenz ω = g 4R Anfangsbedingung α(0 = 0: α(t = d arcsin(asin(ωt + B cos(ωt dt Acos(ωt B sin(ωt 1 (Asin(ωt + B cos(ωt A α(0 = = 0 1 B A = 0 Anfangsbedingung z(0 = z 0, α(0 = α 0 : z 0 = R(1 + cosα 0 ( z0 α 0 = arccos R 1 7.

3 α(0 = arcsin(b mit B = sinα ( 0 ( z0 B = sin arccos R 1 sin(arccos = + π für 1 1 er hält man ( z0 B = R 1 für 0 z 0 R 1.e Berechne die Dauer einer Periode T in Abhängigkeit von der Auslenkung z 0 bei α(0 = 0. Aufgabe Kraft einer rotierenden Masse 3 P Eine Masse m rotiert reibungslos auf einer Tischplatte. Über einen Faden der Länge l (l = r + s, der durch ein Loch in der Platte veräuft, ist m mit einer anderen Masse M verbunden. Es ist die Bewegung von m und M unter Einfluß der Schwerkraft g e z zu untersuchen..a Formuliere und klassifiziere die Zwangsbedingungen. Es gibt vier holonom-skleronome Zwangsbediengungen: l = r + s z = 0 X = 0 Y = 0.b Stelle die LAGRANGEfunktion und ihre Bewegungsgleichung auf. Bei vier Zwangsbediengungen bleiben 6 4 = Freiheitsgrade. Wir brauchen also zwei generalisierte Koordinaten q 1 = ϕ q = s 7.3

4 Die Transformation ist: = r cos(ϕ = (l s cos(ϕ y = r sin(ϕ = (l s sin(ϕ Z = s mit den Ableitungen ẋ ẏ Ż = ṡ cos(ϕ (l s ϕ sin(ϕ = ṡ sin(ϕ + (l s ϕ cos(ϕ = ṡ Kinetische Energie: Potentielle Energie: LAGRANGEfunktion: T = 1 m ( ẋ + ẏ + 1 MŻ = 1 (m + Mṡ + 1 m(l s ϕ V = MgZ = Mgs L = T V = 1 (m + Mṡ + 1 m(l s ϕ + Mgs Wir erkennen, daß die Koordinate ϕ zyklisch ist, d.h. dass die LAGRANGEfunktion nur von ihrer Ableitung ϕ abhängt. Dies bedeutet: L ϕ = m(l s ϕ = const = J ϕ = L 0 ϕ = L 0 m(l s = ω Dies ist der Drehimpulserhaltungssatz. Es sind zwar J = J(t und ϕ = ϕ(t zeitlich veräderliche Größen. Ihr Produkt bleibt jedoch konstant. D.h es ist d L dt ϕ = 0 Für die zweite Koordinate q = s stellen wir die LAGRANGEsche Bewegungsgleichung auf: d L dt ṡ L s = (m + M s L 0 = m(l s ϕ + M g = m(l s 3 + M g Also ist die Bewegungsgleichung: mit (m + M s + L 0 Mg = 0 (1 m(l s 3 L 0 = m(l s ω 7.4

5 oder s + mω (m + M(l s Mg m + M g = 0 Wenn die Gleichung (1 mit ṡ multipliziert und integriert wird L (m + M sṡ ds + 0ṡ m(l s 3 ds Mgṡds = 0 sieht man die Energieerhaltung: 1 (m + L Mṡ 0 Mgs + m(l s = const T + U + V = E = const.c Unter welchen Bedingungen rutscht die Masse M nach oben, wann nach unten? Wenn die beiden Massen im Gleichgewicht sind, muss s = 0 gelten. Dann ist die Bewegungsgleichung L 0 m(l s 3 s = M g = l 3 L 0 Mm g = s 0 = const Die Winkelgeschwingigkeit ω 0, bei der s verschwindet ist L 0 ω 0 = ϕ 0 = m(l s 0 = M g m(l s 0 Aus der Bewegungsgleichung kann man ablesen: ϕ > ω 0 s < 0 Z > 0 M wird nach oben gezogen ϕ < ω 0 s < 0 Z < 0 M rutscht nach unten.d Diskutiere den Spezialfall ω = 0. Für ω = 0 ist verschwindet auch der Drehimpuls L 0. Die Bewegungsgleichung ist damit s = Das ist der verzögerte, freie Fall der Masse M. M m + M g Aufgabe 3 Zwangsbedingungen P 3.a Zeige dass die differentiellen Zwangsbedingungen für das in der Ebene rollende Rad nichtholonom sind. Fährt das Rad auf der 1 -Ebene, so gilt die Zwangsbedingung: cosϑ( 1, d 1 + sinϑ(, yd = 0 d 1 tan ϑ( 1, d = 0 7.5

6 3 3 ϕ ϑ 1 1 ω Abbildung 1: Rad (links und rotierende Ebene. Die allgemeine Formel für Differentielle ZB: 3N j=1 a ij d i a it dt = 0 hier: a 11 1 = a 1 = tanϕ( 1, a 1t = 0 Die Zwangsbedingungen sind integrabel, wenn die Ableitungen vertauschen: a ij l = a il j a it = a ij j t a 11 = 0 a 1 1 = 1 ϕ( 1, cos ϕ( 1, Die beiden Ableitungen vertauschen nicht, deshalb ist die Zwangsbedingung nicht integrabel. 3.b Überprüfe die Integrabilitätsbedingung für die Zwangsbedingung einer uniform rotierenden schiefen Ebene. Die Rotationsachse liegt in der Ebene. f 1 = sin(ωt 1 cos(ωt f 1 = tan(ωt 1 = 0 f 1 1 = tan(ωt f 1 = 1 f 1 t = ω 1 cos (ωt f 1 = 0 = f f 1 = 0 = f 1 t t f 1 1 t = f 1 t 1 = ω cos (ωt ω cos (ωt = f 1 1 t Alle Ableitungen vertauschen. Das bedeutet, das die Zwangsbedingung holonam ist. Das ist auch zu erwarten, da f 1 ( 1,, t = 0 eistiert. 7.6

7 Aufgabe 4 Krummlinige Koordinatensysteme 3 P Viele Probleme in der Physik lassen sich durch die Wahl geeigneter krummliniger Koordinaten wesentlich vereinfachen. Am haufig sind Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten geeignet, da viele physikalische Probleme zylinder- oder kugelsymmetrisch sind. In dieser Aufgabe soll die Bewegung eines Massenpunkts in diesen Darstellungen bestimmt werden. Die dadurch gewonnen Erkenntnisse können sicher bei einigen Problemen gut zu gebrauchen sein. 4.a Zylinderkoordinaten: (a Stelle den Ort eines Massenpunktes in Zylinderkoordinaten (Einheitsvektoren dar. r = + y ϕ = tan y z = z y z = r cosϕ = r sin ϕ = z Einheitsvektoren: e z e r = e z = e cosϕ + e y sin ϕ e ϕ = e z e r = e z e cosϕ + e z e y sin ϕ = e y cosϕ e sin ϕ Der Ort eines Punktes in Zylinderkoordinaten ist r = r e r + z e z (b Berechne die Ableitung der Einheitsvektoren allgemein. e z = e z e r = d dt e cosϕ + d dt e y sin ϕ = ϕ e sin ϕ + ϕ e y cosϕ = ϕ e ϕ e ϕ = d dt e y cosϕ d dt e sin ϕ = ϕ e y sinϕ ϕ e cosϕ = ϕ e r (c Berechne Geschwindigkeit und kinetische Energie eines beliebig beschleunigten Massenpunktes. v = r = d dt (r e r + ż e z = ṙ e r + r e r + ż e z = ṙ e r r ϕ e r + ż e z T = m v = m (ṙ e r r ϕ e r + ż e z = m (ṙ + r ϕ + ż 7.7

8 (d Berechne Geschwindigkeit und kinetische Energie eines Massenpunktes, der sich mit der Winkelgeschwindigkeit ϕ(t und der Geschwindigkeit żauf einem Zylindermantel bewegt. Hier kann das Ergebnis der vorherigen Aufgabe übernommen werden, wenn gesetzt wird: 4.b Kugelkoordinaten: r(t = R = konst ṙ = 0 v = r ϕ e r + ż e z T = m ( r ϕ + ż (a Stelle den Ort eines Massenpunktes in Kugelkoordinaten (Einheitsvektoren dar. r = + y + z ϕ = tan y ϑ = tan Einheitsvektoren: +y z = r cosϕ sin ϑ y = r sin ϕ sin ϑ z = r cosϑ e r e ϕ e ϑ = e cosϕ sinϑ + e y sin ϕ sin ϑ + e z cosϑ = e sin ϕ + e y cosϕ = e ϕ e r = e y e cos ϕ sin ϑ + e y e z cosϕ cosϑ e e y sin ϕ sin ϑ e e z sin ϕ cosϑ = e z ( cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ + e cosϕ cosϑ + e y sin ϕ cosϑ = e cosϕ cosϑ + e y sinϕ cosϑ e z sinϑ Der Ort eines Punktes in Kugelkoordinaten ist r = r e r (b Berechne die Ableitung der Einheitsvektoren allgemein. e r = d dt e cosϕ sinϑ + d dt e y sinϕ sin ϑ + d dt e z cosϑ = e ( ϑ cosϕ cosϑ ϕ sin ϕ sin ϑ + e y ( ϑ sin ϕ cosϑ + ϕ cosϕ sin ϑ e z sin ϑ = ϑ e ϑ + ϕ e ϕ sin ϑ e ϑ = d dt e cosϕ cosϑ + d dt e y sin ϕ cosϑ d dt e z cosϑ = e ( ϑ ( cosϕ sin ϑ ϕ sin ϕ cosϑ + e y ϑ sin ϕ sin ϑ + ϕ cosϕ cosϑ e z cosϑ = ϑ e r + ϕ e ϕ cosϑ e ϕ = d dt e sin ϕ + d dt e y cosϕ = e ϕ cosϕ e y ϕ sinϕ = ϕ e mit e = e cosϕ + e y sin ϕ 7.8

9 betrachte e r sin ϑ + e ϑ cosϑ = e cosϕ(sin ϑ + cos ϑ + e y sin ϕ + (sin ϑ + cos ϑ + e z (cosϑ sin ϑ sinϑ cosϑ = e cosϕ + e y sinϕ = e Die Ableitungen der Eintheitsvektoren sind damit: e r = ϑ e ϑ + ϕ e ϕ sin ϑ e ϑ e ϕ = ϑ e r + ϕ e ϕ cosϑ = ϕ( e r sinϑ + e ϑ cosϑ (c Berechne Geschwindigkeit und kinetische Energie eines beliebig beschleunigten Massenpunktes. v = r = d dt r e r = ṙ e r + r e ( r = ṙ e r + r ϑ eϑ + ϕ e ϕ sin ϑ T = m v = m ( ( ṙ e r + r ϑ eϑ + ϕ e ϕ sin ϑ = m ( ( ṙ + r ϑ + ϕ sinϑ (d Berechne Geschwindigkeit und kinetische Energie eines Massenpunktes, der sich mit den Winkelgeschwindigkeiten ϕ(t und ϑ auf einer Kugeloberfläche bewegt. Hier kann das Ergebnis der vorherigen Aufgabe übernommen werden, wenn r(t = R = konst ṙ = 0 gesetzt wird: ( v = r ϑ eϑ + ϕ e ϕ sin ϑ T = m ( r ϑ + ϕ sin ϑ 7.9