Rationales Rechnen. Punktrechnung geht vor Strichrechnung

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1 Rationales Rechnen Au ösung von Klammern Die Reihenfolge von Rechenoperationen wird durch Klammersetzung 1 festgelegt. Um Klammern zu sparen, vereinbart man: Multiplikation bzw. Division werden vor der Addition bzw. Subtraktion ausgeführt. Punktrechnung geht vor Strichrechnung Potenzen werden vor allen anderen Rechenoperationen ausgeführt. Die Au ösung der Klammern erfolgt schrittweise von innen oder von außen Beim Auftreten von Mehrfachklammern ist es zweckmäßig verschiedene Klammertypen (runde, eckige, geschweifte) zu verwenden. ² Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie: 6x [(3 5x) (7 x)] +[4x (x + 1)] Au ösung von innen ergibt: Au ösung von außen ergibt: 6x [(3 5x) (7 x)] + [4x (x +1)] 6x [3 5x 7+ x] +[4x x 1] 6x [ 4 3x] +[x 1] 6x +4 +3x + x 1 11x+ 3 6x [(3 5x) (7 x)] + [4x (x +1)] 6x (3 5x) +(7 x) + 4x (x +1) 6x 3 +5x+ 7 x +4x x 1 11x+ 3 Zweckmäßigerweise löst man bei Doppelklammern zunächst die innere Klammer auf. ² Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie: 1u f3v 4[u 3(v 3u)]g 1u f3v 4[u 6v +9u]g 1u f3v 4[10u 6v]g 1u f3v 40u +8 +4vg 1u f7v 40u+ 8g 1u 54v +80u 16 9u 54v 16 Im folgenden setzen wir a;x;y > 0;a 6 1; b R voraus. Ausmultiplizieren Produkte werden unter Verwendung des Distributivgesetzes ausmultipliziert. Setzen Sie zur Vermeidung von Vorzeichenfehlern das berechnete Produkt in Klammern! Beachten Sie auch, ob die Binomische Formeln anwendbar sind. ² x (x 1)( x+ 1) x ( x + x +x 1) x ( x +3x 1) x +x 3x + 1 x x+ 1 ² (a + b ) (a b) a +b (a ab + b ) a +b a +ab b ab 1 beliebte studentische Fehlerquelle

2 Faktorisieren Eine algebraische Summe in ein Produkt von Faktoren zu zerlegen, ist i.a.recht schwierig oder gar nicht möglich. Vorgehensweise: - gemeinsame Faktoren suchen - Versuchen SieBinomische Formeln wiederzuerkennen: a b (a b)(a +b) a + ab + b (a +b) a ab + b (a b) a 3 + b 3 (a +b)(a ab +b ) a 3 b 3 (a b)(a + ab +b ) - Versuchen Sie folgendezerlegung in Linearfaktoren anzuwenden: x +px + q (x x 1 )(x x ) wobei x 1 ; x die (reellen) Nullstellen der quadratischen Funktion sind. ² Man zerlege ax 5ay + a bx+ 5by b in Faktoren. Wir suchen einfach mal gemeinsame Faktoren, um zu sehen, was passiert ax 5ay + a bx+ 5by b a(x 5y +1) b (x 5y +1) (a b)(x 5y + 1) Auch folgende Variante führt zum Erfolg ax 5ay + a bx+ 5by b x(a b) 5y (a b) +a b (x 5y +1)(a b) ² Man zerlege 4x 9y 4 in Faktoren. (Grübel, grübel... nachdem der Groschen gefallen ist und man die Struktur der binomischen Formel a b (a b)(a + b) mit a x und b 3y wiedererkannt hat, hat man auch die Lösung). 4x 9y 4 (x) (3y ) (x 3y )(x+ 3y ) ² Man zerlege x +3x + 1 in Faktoren. Es gilt: x +3x+1 (x + 3 x+1 ). Dieser Ausdruck schreit förmlich nach obiger Zerlegung in Linearfaktoren. Bestimmung der Nullstellen: q x 1; 3 4 q ) x 1 1; x 1 ) x +3x+ 1 x + 3 x + 1 (x ( 1)) x 1 (x +1) x + 1 Bemerkung: Verwenden Sie, um Vorzeichenfehler zu vermeiden, Klammern, und lösen Sie sie dann auf. Ich möchte von Ihnen keinen Schwachsinn der Form sehen!!! x 1 oder gar den Klassiker x 1 Man kann nur etwas wiedererkennen, was man kennt ;-)))

3 Kürzen Gebrochene Ausdrücke können oftmals durch Kürzen vereinfacht werden. Zähler und Nenner müssen allerdings als Produkte vorliegen!!! Di erenzen und Summen kürzen nur die Dummen ² Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck: 4x 6x 4 x x 1 Faktorisierung (s.o.) von Zähler und Nenner ergibt: 4x 6x 4 x x 1 4(x 3 x 1) (x 1 x 1 ) 4(x )(x+ 1 ) (x + 1 x )(x 1) x 1 ² Kürzen Sie folgenden Ausdruck: Faktorisierung ergibt: mv +m v 1 m 1 mv +m v 1 m 1 m(v +1) (v + 1) (m 1) (m + 1) (m 1)(v + 1) (m 1)(m +1) (v +1) (m + 1) Addition gebrochener Ausdrücke Um gebrochene Ausdrücke zu addieren (bzw. subtrahieren) muß man sie gleichnamig machen. (Hauptnenner suchen!) Beispiel ² Stellen Sie 1 a a als Bruch dar. a +1 1 a a (a +1) a(1 a) a+ 1 (1 a)(a +1) (a +1)(1 a) (a+ 1) a(1 a) a + a + a a + + a (1 a)(a +1) 1 a 1 a Ausdrücke substituieren Wenn Sie einen mehrgliedrigen Ausdruck in einen anderen Ausdruck einsetzen, verwenden Sie prinzipell Klammern und lösen Sie diese anschließend auf und vereinfachen den Ausdruck. Beispiel ² x 1 1 a soll in x x +1 eingesetzt und vereinfacht werden. µ x x+ 1 x Ã1 1 a 7! 1 1 µ 1 a 1 +1 a µ1 a + 1 a 1+ 1 a a + 1 a a a +1 a De ntionsbereich von Termen Wir beginnen mit einem Beispiel und betrachten den Term T(x) x + x 6 : x Einsam stehterdasoherum. Trotzdem wurde stillschweigend schon mehr vorausgesetzt nämlich, daß die Variablex zu der Grundmenge R gehören soll und nur solche x R zugelassen sind, für die

4 der Term T(x) sinnvoll gebildet werden kann. Man spricht vom sogenannten De nitionsbereich. Am obigen Beispiel wäre der De nitionsbereich somit fx R: x 6 g; da man bekanntlich nicht durch Null dividieren kann 3. Nun könnte ein gewitzter Leser, der bis hierher durchgehalten und den Abschnitt Kürzen noch in guter Erinnerung hat, versuchen zu kürzen. Das sähe ungefähr so aus: x + x 6 (x + 3)(x ) x+ 3 x x Jetzt ist man geneigt zu glauben, der Term T(x) x + x 6 sei doch für alle x R de niert. x Weit gefehlt, denn S(x) x+3 stellt einen anderen Term dar, der natürlich den De nitionsbereich R hat. Der De nitionsbereich ist Bestandteil des Terms, auch wenn er nicht explizit angegeben ist! O ensichtlich gilt allerdings T(x) S(x) für x 6 : De nition: Die Elemente der Grundmenge R, für die ein Term T(x) sinnvoll de niert ist, bilden den natürlichen De nitionsbereich des Terms. Wir vereinbaren, wird kein De nitionsbereich explizit angegeben, dann wird der natürliche De - nitionsbereich vorausgesetzt. Zur Bestimmung des natürliche De nitionsbereiches überprüfe man z.b., ob - bei Brüchen der Nenner 0 - bei Wurzeln der Radikand < 0 - bei Logarithmen der Term unter dem Logarithmus 0 werden kann. Diese Fälle muß man ausschließen! ² Man bestimme den De nitionsbereich von T(x) 1 x + ln(x+ 1) 4 Alle Einzelterme müssen gleichzeitig de niert sein. De nitionsbereich des 1. Summanden: D 1 fx R : x 4 6 0g fx R : jxj 6 g fx R : x 6 ^ x 6 g De nitionsbereich des. Summanden: D fx R : x +1 > 0g fx R : x > 1g ( 1;+1) ) De nitionsbereich von T(x): D D 1 \ D fx R : x > 1 ^ x 6 ^ x 6 g fx R : x > 1 ^ x 6 g ( 1;)[ (; +1) ² Man bestimme den De nitionsbereich von T(x) p x + 1 p x De nitionsbereich des 1. Faktors: D 1 fx R : x +1 0g fx R : x 1g [ 1; +1) De nitionsbereich des. Faktors: D fx R : x 0g fx R : xg ( 1;] ) De nitionsbereich von T(x): D D 1 \ D [ 1;+1) \ ( 1;] [ 1; ] Aufgaben 1. Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie: a) (16p +q) (5p 7q) b) 3(a + b + c) 5(a +b) (b c a) c) x 9 ³x 3 x 3 d) 0m [(4m + n)+ (6m n)] e) 100 [(b + 0) (40 b)] f) [3a (4b +x)] [(3x +3b) (4x a+ b)] 3 Manche können es aber trotzdem nicht lassen!

5 . Multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: a) (5u (u 3))(u (1 u)) b) (a +4)(a ) (a +)(a 1) c) x 3 y 3 (x y) x +xy + y d) 3x (x )( x 1) e) a a + a 1 a (a + 1) 5 f) 14(3s +4t) 8(5s 3t) 3. Wenden Sie die binomischen Formeln an und vereinfachen Sie nach Möglichkeit. a) ( a b)(a b) b) (4a 3)(4a +3) (3a 4) +(5a + 1) c) (3b +) (5b 3) d) (x 3y)(3y +x) (x y) 4. Klammern Sie gemeinsame Faktoren aus: a) u(u+ v) (u v)(u+ v) b) 19x y + 16x 3 y 144xy c) 3(x+ 3) (a b) 3 4(6 +4x)(b a) 5 d) x 3x +xy 3y 5. Zerlegen Sie unter Verwendung binomischer Formeln folgende Summen in Faktoren: a) 196x 169y b) (m n) (n +m) c) 8x 3 1x + 6x 1 d) 5x 100y xy 6. Zerlegen Sie folgende Summen in Faktoren: a) x 7x+ 10 b) 1x 96x 780 c) x + 4ax+ 4a 9b d) u ua 6a 7. Kürzen Sie soweit wie möglich a) 04a b 3 c 55ab c 3 b) d) a +a + 1 a 5(x ) 5x c) 88x 88y 43(y x ) e) u3 + b 3 u b f) x3 +x y + xy + y 3 x + y 8. Fassen Sie zu einem Bruch zusammen: a) 3 4a 5b c) x x a + a (x a) + a x a 1 d) m m +n + b) x 3 3 4x x (x +1) x(x +1) mn m n n m n 9. Setzen Sie den Ausdruck A in den Ausdruck B ein und vereinfachen Sie: A B a) x y + 1 x xy b) y 1 1 x xy x c) x 1 y y (y 1) x d) x z 1 z x+ x 10. Bestimmen Sie den De nitionsbereich der folgenden Terme: a) p x+ 1 p ³p x + x b) ln (1 x) c) ln x 1 1 p p 3 x x +1 x d) x e) f) x+ 1 p x +1 ln (x+ 1) x + Lösungen 1. a) 11p + 9q b) 4b + 5c c) x 6 d) 10m n e) 10 b f) a 6b x. a) 6u + 3u 3 b) a 6 c) 0 d) x e) 5a f) s +80t

6 3. a) a + b b) 16a a +34a 4 c) 16b +4b 5 d) 3x 13y + 4xy 4. a) (u+ v) b) 4xy 8xy +9x 6y c) (a b) 3 (x+ 3) 6x +8a 16ab b d) (x 3)(x +y) 5. a) (14x 13y)(14x+ 13y) b) 8mn c) (x 1) 3 d) 5 x y 6. a) (x )(x 5) b ) 1(x+ 5)(x 13) c) (x+ 3b +a)(x 3b +a) d) (3a + u)(u a) 7. a) 4 5 a b c b) d) 1 a +1 a 1 8. a) 1 15b + 8a 0 ba c) a x + x a (x a )(x a) 5(x ) 5x e) b ub + u b u c) 3(x +y) f) x+ y b) 6x 4x 3 x (x + 1) d) 1 9. a) 1 y b) x 1 c) y 1 y d) z z(z 1) 10. a) x 0 b) x < 1 c) x > d) x 6 1 e) x > 1; x 6 0 f) p < x < p