5. Krümmung Der Riemann sche Krümmungstensor

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1 5 Krümmung 51 Der Riemann sche Krümmungstensor Gegeben sei eine Riemann sche Mannigfaltigkeit (M,, ) mit Levi-Civita-Zusammenhang D Der Riemann sche Krümmungstensor von M bezüglich D ist die Abbildung R : VM VM VM VM, (X, Y, Z) R(X, Y )Z, wobei R(X, Y )Z := D Y D X Z D X D Y Z + D [X,Y ] Z Beispiel Im (R n,, ), wobei, das Standardskalarprodukt ist, betrachten wir das Vektorfeld Z = (z 1,, z n ) VR n Da D X Z = (Xz 1,, Xz n ), folgt: D Y D X Z = (Y Xz 1,, Y Xz n ) Wegen [X, Y ] = XY Y X folgt: R(X, Y )Z = 0 Das oben definierte R ist somit ein Maß für die Abweichung der Riemann schen Mannigfaltigkeit (M,, ) von der euklidischen Geometrie x i Bemerkung: Bezüglich lokalen Basisfeldern (i = (1,, n)) gilt: [ ], x i x = 0 für C - j Funktionen Dann ist R ( ), = D x i x j x k D x j D x i x k D x i R ist ein Maß für die x j x k Vertauschbarkeit der 2 kovarianten Ableitungen Definition Setze V 0 M := C M, V r M := VM VM (r Summanden) V r M ist ein C M-Modul Ein (s, r)-tensorfeld auf M ist eine r-lineare Abbildung T : V r M V s M über dem Ring C M, das heißt T (X 1,, X i 1, fx + gy, X i+1,, X r ) = ft (X 1,, X i 1, X, X i+1,, X r ) für alle Argumente von T, X, Y VM + gt (X 1,, X i 1, Y, X i+1,, X r ) Satz 51 R ist ein (1,3)-Tensorfeld Beweis Exemplarisch für R(X, Y )(fz) = fr(x, Y )Z f C M D Y D X (fz) = D Y (fd X Z + (Xf)Z) = (Y f)d X Z + fd Y D X Z + (Y Xf)Z + (Xf)D Y Z Also: D Y D X (fz) D X D Y (fz) = f(d Y D X Z D X D Y Z) + (Y Xf XY f)z; D [X,Y ] fz = fd [X,Y ] Z + ([X, Y ]f)z = R(X, Y )fz = fr(x, Y )Z 47

2 5 Krümmung Satz 52 (Symmetrie-Eigenschaften) (M,, ) sei eine Riemann sche Mannigfaltigkeit D der Levi-Civita-Zusammenhang und R ein Krümmungstensor Dann gilt (1) R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0 (zyklisch Vertauschbar) Bianchi-Identität (2) R(X, Y )Z, T = R(Y, X)Z, T (3) R(X, Y )Z, T = R(X, Y )T, Z (4) R(X, Y )Z, T = R(Z, T )X, Y Beweis (1) ist äquivalent zur Jacobi-Identität für Lie-Klammern (mit Torsionsfreiheit) (2) folgt direkt aus der Definition (3) ist äquivalent zu R(X, Y )W, W = 0 (setzte W = Z + T und verwende Satz 51) Es ist R(X, Y )W, W = D Y D X W D X D Y W + D [X,Y ] W, W, Levi-Civita, verträglich D Y D X W, W = Y D X W, W D X W, D Y W, analog D X D Y W, W ; D [X,Y ] W, W = 1 2 [X, Y ] W, W Somit: R(X, Y )W, W = Y D XW, W D X W, D Y W X D Y W, W + D Y W, D X W [X, Y ] W, W = 0 (4) Analog Krümmungstensor in lokalen Koordinaten (u, ϕ) Die Basisfelder seien X i :=, i = 1,, n Dann: R(X x i i, X j )X k := n l=1 Rl ijk X l (per Basissatz), wobei Rijk l die Komponenten des Krümmungstensors in lokalen Koordinaten sind, also C -Funktionen und symmetrisch bezüglich i, j Für beliebige Vektorfelder X, Y, Z VM mit X = u i X i, Y = v j X j, Z = w k X k i=1 j=1 k=1 gilt wegen Satz 51: R(X, Y )Z = u i v j w k Rijk l X l i,j,k,l=1 ( ) (man muss alles an der Stelle p kennen) Bemerkung: (Trägereigenschaft von R) Die Formel ( ) zeigt, dass (R(X, Y )Z)(p) nur von den Werten der Vektorfelder X, Y, Z im Punkt p abhängig ist 48

3 52 Schnittkrümmung Formel für R l ijk R(X i, X j )X k = D Xj (D Xi X k ) D Xi (D Xj X k ) + D [Xi, X j ] =0 ) ) X k = D Xj ( Γ m ik X m D Xi ( Γ n jk X m = [X j (Γ m ik ) X m + Γ m ik D X j X m ] [X i (Γ m ik )X m + Γ m jk D X i X m ] m l=1 Γl jm X n l l=1 Γl im X l = Rijk l = x j Γl ik + Γ m ik Γl jm x i Γl jk Γ m jk Γl im (so hatte es Riemann definiert) Setze nun R ijks := Rijk l g ls = R(X i, X j )X k, X s Herunterziehen von Indizes, Ricci-Kalkül Nach Satz 52 gilt: R ijks + R jkis + R kijs = 0 R ijks = R jiks R ijks = R ijsk R ijks = R ksij l=1 Bemerkung: Für dim M = 2 sind i, j, k, s {1, 2} und aufgrund obiger Symmetrien ist im wesentlichen nur R Dies ist gerade die Gauß-Krümmung Riemann scher Krümmungstensor Sei (M,, ) eine Riemann sche Mannigfaltigkeit und D der zugehöriger Levi-Civita-Zusammenhang Dann ist R : multilinear bezüglich C M VM VM VM VM (X, Y, Z) R(X, Y )Z := D Y D X Z D X D Y Z D [X,Y ] Z 52 Schnittkrümmung Vorbemerkung aus der Linearen Algebra Sei V ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt, Für x, y V setze x y := x 2 y 2 x, y 2 0 (Flächeninhalt des des von x und y aufgespannten Parallelogramms) Für orthonormierte Vektoren ist x y = 1 49

4 5 Krümmung Lemma 51 Sei (M,, ) eine Riemann sche Mannigfaltigkeit, p M, σ ein 2-dimensionaler Untervektorraum von T p M mit Basis x, y Dann ist unabhängig von der Wahl der Basis K(x, y) := R(x, y)x, y p x y 2 In der Konsequenz macht folgende Definition Sinn: Definition Für p M, σ T p M ein 2-dimensionaler Untervektorraum setze K(p, σ) := K(x, y) für eine beliebige Basis {x, y} von σ K(p, σ) heißt Schnittkrümmung von σ in p M Bemerkungen: (1) Für n = 2 ist K(p, σ) = K(p) die Gauß-Krümmung von M im Punkt p Die Menge der Krümmungstensoren R im Punkt p ist vollständig bestimmt Beispiel Schnittkrümmung von (R n, kan) ist konstant null, da R = 0 (2) (S n, kan) Behauptung: Schnittkrümmung ist konstant 1 Lemma 52 Sei f : (M,, ) (N,, ) eine Riemann sche Isometrie Für σ T p M ist df p (σ) T f(p) N ein 2-dimensionaler Untervektorraum und K M (p, σ) = K N (f(p), df p (σ)) Das heißt: Schnittkrümmung ist invariant unter Isometrie Beweis (des Lemmas) Es gilt (Übungsblatt 7 Aufgabe 1): D N df(x) df(y) = df(dm x y) [df(x), df(y)] N = df([x, y] M ) df(x), df(y) = x, y = R N (df(x), df(y))df(z) = df(r M (x, y)z) Beweis (Schnittkrümmung von S n ist konstant) Es genügt zu zeigen: Zu σ T x S n und τ T y S n, jeweils 2-dimensionale Untervektorräume, existiert eine Isometrie f : S n S n mit df x (σ) = τ Sei nun σ = [u, v], τ = [ũ, ṽ], wobei u, v bzw ũ, ṽ Orthonormalbasen sind l 1 = x, l 2 = u, l 3 = v y = y 1 y n+1 = f 1 ũ = ũ 1 ũ n+1 = f 2 ṽ = ṽ 1 ṽ n+1 = f 3 50

5 53 Ricci-Krümmung ergänze zu einer Orthonormalbasis {f 1,, f n+1 } von R n+1 Dann ist A := [f 1, f 2,, f n+1 ] O(n+1), also eine orthogonale (n+1) (n+1)-matrix, mit A li = (f i ) l, f : R n+1 R n+1 ; w Aw ist eine euklidische Isometrie (Rotation von (R n+1, kan)) die S n invariant lässt Dies Induziert also eine Isometrie von (S n, kan) Da f linear ist, df = f, also df x (σ) = df x ([u, v]) = [df x (u), df y (v)] = [ũ, ṽ] = τ = Behauptung S n hat konstante Schnittkrümmung Es gilt K = 1 (siehe später) (3) n-dimensionale hyperbolische Räume H n R := {x R n x n > 0} mit der Identität als Karte und lokalen Koordinaten x 1,, x n Es ist 1 (x n) 0 2 (g ij ) := = (x n ) (x n) 2 Berechnung der R ijks zeigt: Schnittkrümmung R ist konstant 1 (4) Konforme Änderung der Metrik (M, g) einer Riemann schen Mannigfaltigkeit um λ C M, λ > 0: g := λg ist wieder eine Riemann sche Metrik Für konstantes λ > 0 ist die Schnittkrümmung für g: K = 1 λk Insbesondere kann man aus jeder Mannigfaltigkeit mit beliebiger, konstanter Krümmung ( 0) durch Reskalierung der Riemann schen Metrik S n oder H n erhalten Ergänzende Sätze (ohne Beweis, vergleiche: do Carmo, Kapitel 8) Satz (M,, ) hat konstante Schnittkrümmung, also K(p, σ) = K 0 σ T p M p M R(x, y)w, z = K 0 ( x, w y, z y, w x, z ) insbesondere ist R(x, y)x, y = K 0 ( x 2 y 2 x, y 2) Satz (Hopf) Eine vollständige, einfach zusammenhängende, zusammenhängende Riemann sche Mannigfaltigkeit mit konstanter Krümmung 0, 1 oder 1 ist isometrisch zu R n, S n, H n R Dabei heißt Vollständig: Jede Geodätische ist auf ganz R definiert Einfach zusammenhängend: Jede geschlossene Kurve ist auf einen Punkt zusammenziehbar 53 Ricci-Krümmung Sei R der Krümmungstensor einer Riemann schen Mannigfaltigkeit (M,, ) und X, Y, Z VM In jedem Punkt p M ist Y (p) R(X(p), Y (p))z(p) ein Endomorphismus von T p M Oder: Für X, Z VM fest ist R(X, )Z ein (1,1)-Tensormodul Für ein beliebiges (1,1)-Tensorfeld A ist A(p) : T p M T p M ein Endomorphismus und wir definieren die Spur von A durch (Spur A)(p) := A(p)e i, e i p i=1 51

6 5 Krümmung wobei [e i ] eine Orthonormalbasis von T p M ist Linere Algebra: Es gibt einen Endomorphismus Φ mit Abbildungsmatrix A und Spur Φ = Spur A = n i=1 A ii (insbesondere für Orthonormalbasen, a ii = Ae i, e i ) Der Ricci-Tensor von M ist der (0,2)-Tensor Ric(x, z) := Spur(y R(x, y)z) (In manchen Quellen noch mit 1 n 1 normiert) Die Ricci-Krümmung von M in Richtung v T pm ist r(v) := Ric(v, v) v 2 Für eine Orthonormalbasis {e i } von T p M ist Ric(v, w) = n i=1 R(v, e i)w, e i Also insbesondere ist der Ricci-Tensor symmetrisch und r(e 1 ) = n i=2 K(p, [e 1, e i ]) Die Skalar-Krümmung ist eine differenzierbare Funktion auf S : M R, p n j=1 r(e j), wobei {e j } eine Orthonormalbasis von T p M ist S(p) = r(e j ) = j=1 Ric(e j, e j ) = j=1 R(e j, e i )e j, e i = i,j=1 K(p, [e i, e j ]) i,j=1 i j Eine Riemann sche Mannigfaltigkeit (M, g) heißt Einstein-Raum falls Ric(x, y) = λg(x, y) x, y VM, wobei λ : M R eine differenzierbare Funktion ist Beispiel Räume mit konstanter Krümmung sind Einstein-Räume: K = c 0 konstant: Ric(X, X) = K([x, e i ])g(x, x) = (n 1)c 0 g(x, x) i=1 Bemerkung: Der Einstein-Tensor ist G := Ric S 2 g Einstein-Feldgleichungen der ART: G Geometrie = T, Physik wobei G: Einstein-Tensor für 4 dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit (mit Pseudo-Riemannscher Metrik), T : Energie-Impuls-Tensor der Materie-Verteilung (Buch: Gravitation Misner, Thorne, Wheeler) 52