Lösungen zur Prüfung 2014: Pflichtteil

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Vincent Günther
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1 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Benötigte Kenntnisse: Analysis: Ableiten mit Produktregel, Integral mit Stammfunktion berechnen, Gleichung lösen, Kosinusfunktion, Nullstellen, Funktionswerte und Steigungen ablesen Analytische Geometrie: Darstellung von Ebenen, Geraden- und Ebenengleichungen aufstellen, Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden, Lotgerade und Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene Stochastik: Wahrscheinlichkeit von Binomialverteilungen Aufgabe : Die Funktion f mit f() = e muss mit der Produktregel abgeleitet werden Mit u() = =, und v() = e erhält man: u () =,, =, = Mit der Produktregel f () = u () v() + u() v () folgt: und v () = e f () = e + e = e + e Ergebnis: Die erste Ableitung von f ist f () = e + e Aufgabe : Es ist: ( + ) d = ( + ) ( ) = ( + ) = 9 = 9 8 Ergebnis: Der Wert des Integrals ( + ) d 8 beträgt 9 Hinweise: Um eine Stammfunktion von f() = ( + ) umschreiben zu f() = ( + ) Eine Stammfunktion von g() = c (a + b) n ist G() = c Diese Formel sollte man auswendig wissen! Aufgabe : leichter bilden zu können, sollte man f() zuerst (a + b) n+ a (n + ) (Hier ist c = ; a = ; b = ; n = ) Lösung der Gleichung = + : = + = Mit der Substitution = u erhält man u u = Mit der Formel u, = b ± b a ac erhält man: u = = und u = = Rücksubstitution mit u = : = = und = Die Rücksubstitution mit u = ergibt keine weiteren Lösungen Ergebnis: Die Gleichung = + hat die Lösungen = und = Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

2 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe : a) Wie der Graph von g aus dem Graphen von f hervorgeht: ) Stauchen des Graphen von f in -Richtung zur neuen Periode P = / f () = cos( ) = ergibt den Graphen von f mit (Hinweis: Die Periode der Kosinusfunktion ist P f = Das sollte man unbedingt auswendig wissen!) - - O ) Strecken des Graphen von f in y-richtung mit dem Faktor ergibt den Graphen von f mit f () = cos( ) (Hinweis: Die neue Amplitude ist a = ) - - ) Verschieben des Graphen von f um LE nach unten ergibt schließlich den Graphen von g (Hinweis: Andere Reihenfolgen sind auch möglich) b) Die Nullstellen von g im Intervall : Der Ansatz g() = ergibt: cos( ) = + cos( ) = : cos( ) = Mit der Substitution u = folgt: cos(u) = Somit muss u ein ganzzahliges Vielfaches von sein: u = ; u = ± ; u = ± ; (Hinweis: Die Lösungen der Gleichung cos(u) = bzw cos() = sollte man auswendig wissen!) Die Rücksubstitution ergibt: Aus u = folgt: = = Aus u = folgt: = = Alle anderen -Werte liegen nicht im Intervall Ergebnis: Die Nullstellen der Funktion g im Intervall sind = und = Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

3 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe : a) Der Wert von f(g()) und eine Lösung der Gleichung f(g()) = : Um den Wert von f(g()) angeben zu können, muss man zunächst den Wert g() im Schaubild ablesen (siehe Abbildung rechts) Man erhält: g() = Somit ist f(g()) = f( ) Den Wert von f( ) kann man anhand des Graphen von f bestimmen (siehe Abbildung rechts) Man erhält: f( ) = Ergebnis: Es ist f(g()) = Zur Lösung der Gleichung f(g()) = muss man zunächst die Nullstellen von f im Schaubild ablesen Man erkennt: n = und n = Der gesuchte -Wert muss somit eine der beiden Gleichungen g( ) = oder g( ) = erfüllen Am Graphen von g erkennt man: g() = und g( ) = Damit sind die gesuchten -Werte: = und = Ergebnis: Die Gleichung f(g()) = ist für = und = erfüllt f( ) = (Hinweis: Laut Aufgabenstellung reicht es, nur einen dieser zwei Werte anzugeben) b) Der Wert von h (): y O g() = Zunächst muss die erste Ableitung von h() = f() g() bestimmt werden Mit der Produktregel erhält man: h () = f () g() + f() g () Somit ist h () = f () g() + f() g () Die entsprechenden Funktionswerte und Steigungen können an den Graphen von f und g abgelesen werden (siehe Abbildung rechts) Man erhält: f () = ; f() = und g() = ; g () = Damit folgt: h () = + ( ) ( ) = Ergebnis: Es ist h () = Hinweise: Der Graph von f hat im Tiefpunkt T( ) die Steigung m = f () = und den Funktionswert f() = Die Steigung der Geraden g ist überall m g = Somit ist g () = y m g = T( ) Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom

4 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Aufgabe 6: a) Die Ebenen in einem Koordinatensystem: Um die beiden Ebenen E: + = und F: + + = in einem Koordinatensystem darstellen zu können, muss man zunächst deren Spurpunkte (= Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) bestimmen Spurpunkte von E: Den Schnittpunkt von E mit der -Achse erhält man, indem man in der Koordinatengleichung von E für = und = setzt Man erhält: = S ( ) Den Schnittpunkt von E mit der -Achse erhält man, indem man in der Koordinatengleichung von E für = und = setzt Man erhält: = S ( ) Man beachte: Die Ebene E hat mit der -Achse keinen gemeinsamen Punkt, da man durch Einsetzen von = und = in + = die falsche Aussage = erhält Somit muss die Ebene E parallel zur -Achse verlaufen Spurpunkte von F: Den Schnittpunkt von F mit der -Achse erhält man, indem man in der Koordinatengleichung von F für = und = setzt Man erhält: = S ( ) Den Schnittpunkt von F mit der -Achse erhält man, indem man in der Koordinatengleichung von F für = und = setzt Man erhält: = S ( ) Den Schnittpunkt von F mit der -Achse erhält man, indem man in der Koordinatengleichung von F für = und = setzt Man erhält: = S ( ) Indem man die Spurpunkte miteinander verbindet, entsteht ein räumlicher Eindruck der Ebenen Eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F: Wie man leicht im Schaubild erkennt, verläuft die gesuchte Schnittgerade g durch die gemeinsamen Spurpunkte S ( ) und S ( ) Somit ist eine Gleichung von g: r = + r Ergebnis: Eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F ist g: r = + r b) Eine Gleichung der Ebene G: Lösungsvariante : Eine Koordinatengleichung der Ebene G kann mit den Spurpunkten S ( ) und S ( ) und dem Ansatz a + b = bestimmt werden Man beachte: Da die Ebene G parallel zur -Achse verläuft, muss in diesem Ansatz die -Koordinate fehlen Einsetzen der Koordinaten von S ( ) ergibt: a = a =, Einsetzen der Koordinaten von S ( ) ergibt: b = b =, Damit lautet eine Koordinatengleichung von G:, +, = Durch Multiplikation mit erhält man G: + = Ergebnis: Eine Koordinatengleichung von G ist: + = Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom S O S F E S

5 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung : Pflichtteil Lösungsvariante : Man kann mit den Spurpunkten S ( ) und S ( ) und dem Richtungsvektor v r = -Achse als einen Spannvektor auch eine Parametergleichung von G aufstellen der Mit dem anderen Spannvektor S S = erhält man G: r = + s + t Ergebnis: Eine Parametergleichung der Ebene G ist r = + s + t Aufgabe 7: Der Abstand des Punktes C( ) von der Geraden durch die Punkte A und B: Zunächst muss man eine Gleichung der Geraden g durch die Punkte A( ) und B( ) aufstellen Mit AB = erhält man g: r = + t Nun sei F der Lotfußpunkt von C( ) auf die Gerade g (siehe Abbildung rechts) Der Abstand von C zur Geraden g ist dann der Betrag des Vektors CF Zur Berechnung des Lotfußpunktes F von C auf g stellt man die Hilfsebene E H auf, die den Punkt C( ) enthält und senkrecht zur Geraden g steht F ist dann der Schnittpunkt zwischen der Geraden g und der Ebene E H E H C F g Eine Koordinatengleichung der Hilfsebene E H : Der Normalenvektor von E H ist der Richtungsvektor AB der Geraden g Somit hat die Ebene E H die (unvollständige) Koordinatengleichung E H : + = d Der Wert für d ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten von C( ): = d d = Damit ist eine Koordinatengleichung der Hilfsebene E H : + = Schnitt zwischen g und E H : Einsetzen der Koordinaten von g ( = t, = + t, = ) in die Ebenengleichung E H ergibt: ( t) + ( + t) = + 6t + + 9t = + t = : t = Einsetzen von t = in die Geradengleichung ergibt: r = + ( ) = Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom 7

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