Armin Leutbecher. Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra. Mit 9 Abbildungen, 6 Tabellen und 1 Falttafel. SJ Springer

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1 Armin Leutbecher Zahlentheorie Eine Einführung in die Algebra Mit 9 Abbildungen, 6 Tabellen und 1 Falttafel SJ Springer

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Häufig verwendete Abkürzungen 9 1 Der Fundamentalsatz der Arithmetik Die natürlichen Zahlen Der größte gemeinsame Teiler Vier Regeln zum größten gemeinsamen Teiler Über die Primzahlen Kanonische Zerlegung und Teiler Die Rolle der Primzahlen in Q 21 Aufgaben 22 2 Primzahlen und irreduzible Polynome Das Sieb des Eratosthenes Über das Wachstum der Primzahlen Der Fundamentalsatz in Polynomringen Über Nullstellen und größte gemeinsame Teiler Polynomfaktorisierung in der linearen Algebra 34 Aufgaben 35 3 Die Restklassenringe von Z Die Restklassen und ihre Verknüpfungen Die Eulersche y>-funktion Der Chinesische Restsatz Vielfache und Potenzen Anwendung auf die prime Restklassengruppe 45 Aufgaben 47 4 Die Struktur endlicher abelscher Gruppen Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen Die Struktur der primen Restklassengruppen 53 Aufgaben 56 5 Das quadratische Reziprozitätsgesetz Beschreibung der Quadrategruppe als Kern Einführung des Jacobi-Symbols nach Kronecker Vorkehrung zum Beweis des Hauptsatzes Das Reziprozitätsgesetz für das Jacobi-Symbol Quadrate in der primen Restklassengruppe 65 Aufgaben 66

3 viii Inhaltsverzeichnis 6 Gewöhnliche Kettenbrüche Die Halbgruppe des euklidischen Algorithmus Möbiustransformationen der projektiven Gerade Die Kettenbruchentwicklung der Irrationalzahlen Die Approximationsgüte der Näherungsbrüche Periodische Kettenbrüche Beste Näherungen Die Farey-Reihe 83 Aufgaben 84 7 Quadratische Zahlkörper Teilkörper von C als Vektorräume über Q Gitter und ihre Ordnungen Der Ganzheitsring und seine Einheitengruppe Der Automorphismus quadratischer Zahlkörper Grundeinheiten und Kettenbrüche 95 Aufgaben 99 8 Teilbarkeit in Integritätsbereichen Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre Faktorielle Ringe Hauptidealringe Zahlkörper mit euklidischem Algorithmus Arithmetik quadratischer Zahlkörper 110 Aufgaben Die lokalen Körper über Q Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen Der p-betrag und die ultrametrische Ungleichung Der Körper der p-adischen Zahlen Polynome mit ganzen p-adischen Koeffizienten Die verschiedenen Beträge des Körpers Q 126 Aufgaben Das Hilbertsche Normenrestsymbol Quadratische Erweiterungen p-adischer Körper Die Normen-Index-Gleichung Das Hilbert-Symbol als Bilinearform Produktformel für die lokalen Hilbertsymbole 137 Aufgaben Elemente der Gruppentheorie Halbgruppen, Monoide und Gruppen Torsions-Elemente in abelschen Gruppen 145

4 Inhaltsverzeichnis ix 11.3 Freie abelsche Gruppen und ihre Untergruppen Die symmetrische Gruppe Exkurs über Gruppenaktionen Die Sylowschen Sätze 155 Aufgaben Zahlkörper und ihre Ordnungen Die Gitter in algebraischen Zahlkörpern Die Dedekindschen Ordnungen Die Diskriminante einer Basis Die Endlichkeit der Klassenzahl Konstruktion von Zahlkörpern aus Polynomen Polynome über faktoriellen Ringen Biquadratische Zahlkörper 173 Aufgaben Der Fundamentalsatz in Zahlkörpern Die Gruppe der gebrochenen Ideale Der allgemeine Chinesische Restsatz Die Absolutnorm der Ideale in Zahlkörpern Zerlegung der Primzahlen in Zahlkörpern Restklassenrechnen im Ganzheitsring Relativerweiterungen von Zahlkörpern Quadrate in quadratischen Zahlkörpern 190 Aufgaben Endliche Galois-Erweiterungen Adjunktion von Nullstellen eines Polynoms Fortsetzung von Körper-Isomorphismen Einfache Nullstellen und formale Ableitung Über Homomorphismen von Körpern Der Fixkörper von Automorphismen Der Hauptsatz der Galoistheorie Polynome in Galoiserweiterungen Automorphismen rationaler Funktionenkörper 208 Aufgaben Anwendungen der Galois-Theorie Aktion der Galoisgruppe auf den Wurzeln Separable Körpererweiterungen Norm, Spur und Hauptpolynom Der Verschiebungssatz der Galoistheorie Adjunktion von Einheitswurzeln Erweiterungen endlicher Körper 219

5 x Inhaltsverzeichnis 15.7 Galoiserweiterungen von Zahlkörpern Die Hilbertsche Untergruppenkette 222 Aufgaben Differente und Diskriminante Einführung der Differente eines Zahlkörpers Über monogene Ordnungen in Zahlkörpern Der zweite Dedekindsche Hauptsatz Der dritte Dedekindsche Hauptsatz Die Resultante zweier Polynome Eigenschaften der Resultante Die Diskriminante eines normierten Polynoms 242 Aufgaben Kreisteilungskörper über Q Einheitswurzeln von Primzahlpotenzordnung Der m-te Kreisteilungskörper Ein Satz zur Fermatschen Vermutung Zerlegung der Primzahlen in Kreiskörpern Der Satz von Kronecker und Weber 253 Aufgaben Geometrie der Zahlen Der Gitterpunktsatz von Minkowski Einbettung der Gitter von Zahlkörpern Schranken für Normen und Diskriminanten Der Dirichletsche Einheitensatz Normeuklidische Zahlkörper nach H.W.Lenstra Ausnahme-Einheiten 274 Aufgaben Der Dirichletsche Primzahlsatz Charaktere endlicher abelscher Gruppen Dirichlet-Reihen Logarithmus und unendliche Produkte Der Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes Die Dedekindsche Zetafunktion Die Klassenzahlen quadratischer Zahlkörper 296 Aufgaben Die Bewertungen der Zahlkörper Komplettierungen Archimedische und ultrametrische Bewertungen Fortsetzung von Bewertungen 315

6 Inhaltsverzeichnis xi 20.4 Beträge und Komplettierungen der Zahlkörper p-körper Erweiterungen von p -Körpern 321 Aufgaben 326 Anhang: Determinanten 331 Aufgaben 337 Literatur 339 Index 343 Sieb des Eratosthenes Ausklapptafel f