Teil IV Musterklausuren (Univ. Essen) mit Lösungen

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1 Tel IV Musterklausure (Uv. Esse) mt Lösuge Hauptklausur WS 9/9 Aufgabe : a) Revolverheld R stzt m Saloo ud pokert. De Wahrschelchket, daß er dabe ee seer Mtspeler bem Falschspel erwscht (Eregs F), bezffert er auf,. De Wahrschelchket, daß es daraufh zu eem Duell kommt (Eregs D), beträgt,8. Da es außer Falschspel och wetere Grüde für e Duell gebe ka, glt allgeme P(D),. ) ach welchem Wahrschelchketsbegrff wurde P(F) bestmmt? ( Pukt) ) Zege Se, daß de Eregsse D ud F cht uabhägg sd. ( Pukte) ) We groß st de Wahrschelchket, daß geau ees der Eregsse (D oder F) etrtt? ( Pukte) v) Zeche Se e Ve-Dagramm für das Eregs D F. ( Pukt) b) Zur Auswahl stehe zwe verschedee Kartespele. Wrd mt Kartespel A gepokert, desse Karte vo R gezkt wurde, beträgt see Gewchace (Gew Eregs G),7. Be Spel B, desse Karte cht gezkt sd, beträgt de Wahrschelchket zu gewe für R ur,. Das Spel wrd vor Beg der Pokerparte mt Hlfe eer (fare) Müze ausgelost. ) We groß st de Chace für R zu gewe, we er och cht weß, mt welchem Kartespel gespelt wrd? ( Pukte) ) Ageomme R hat gewoe. We groß st da de Wahrschelchket, daß mt Kartespel B gespelt wurde? ( Pukte) c) We groß st de Wahrschelchket, daß R alle ver Asse auf der Had hält, we mt eem Spel aus Karte gespelt wrd ud jeder füf Karte bekommt? (Hwes für alle Pokerfas: Es wurde och kee Karte getauscht!!!) ( Pukte) d) Zu Beg des Spels wurde auf e fares Spel agestoße. Aus we vel Persoe besteht de Pokerrude, we jeder mt jedem emal agestoße hat ud de Gläser so mal geklrrt habe? (4 Pukte) Aufgabe : a) Gegebe se de folgede Dchtefukto eer stetge Zufallsvarable X: für - x f( x) sost ) Welche Egeschafte muss ee Fukto erfülle, we se ee Dchtefukto se soll (cht achwese, ur aufzähle!)? ( Pukt) ) Bereche Se de Erwartugswert ud de Varaz vo X. ) We groß st de Wahrschelchket, daß X m Itervall [;] legt? (4 Pukte) ( Pukte)

2 Musterklausure Sete M v) We lautet de Vertelugsfukto vo X? ( Pukte) b) E mt kotaktfreudge Kder gesegeter Vater betrachtet mt Sorge de Etwcklug der Teleforechuge. Der Vater behauptet, daß de erwartete moatlche Teleforechug höher als 8 DM st. Um see Vermutug zu überprüfe zeht er ee Stchprobe vo 8 Teleforechuge der letzte Jahre. De Teleforechuge laute: De Varaz der Grudgesamthet schätzt er mttels: $ ( ) X X X X σ ) Überprüfe Se de Hypothese des Vaters durch ee Test zum veau α.. Zu welcher Etschedug komme Se? ( Pukte) ) We hoch st der krtsche Mttelwert der Stchprobe, d.h. bs zu welcher Höhe vo X ka er de ullhypothese cht ablehe? ( Pukte) ) Bereche Se de Fehler. Art uter der Alteratvhypothese H : µ. Erläuter Se, was es her bedeutet, ee Fehler. Art zu begehe.. ( Pukte) Aufgabe : a) Gegebe se folgede zwedmesoale Fukto: c(x + y + xy) < x < ; < y <. f( x, y) sost ) Zege Se, daß de Kostate c de Wert.8 aehme muss, damt f(x,y) ee Dchtefukto st. ( Pukte) ) Bereche Se de Radverteluge für X ud Y. ) Bestmme Se de Kovaraz zwsche X ud Y. ( Pukte) ( Pukte) b) De Zufallsvarable X se ormalvertelt mt µ ud σ. We groß st de Wahrschelchket, daß X sch m Itervall [; 8] realsert? ( Pukte) c) De Zufallsvarable X,..., X see uabhägg detsch vertelt mt E( X ) µ ud V( X ) σ. Sd de folgede Schätzfuktoe für µ erwartugstreu ud kosstet? ) $µ X + ) $µ X ( Pukte)

3 Musterklausure Sete M achklausur WS 9/97 Aufgabe a) De Tesprofs B ud S habe sch vertraglch verpflchtet für hr Lad m Davs-Cup zu spele. Leder muss der geplagte Präsdet des Tesverbades feststelle, daß de bede es mt hrer Verpflchtug cht so geau ehme, so daß er de Wahrschelchket, daß B tatsächlch spelt (Eregs B) mt, ud de Wahrschelchket, daß S spelt, mt,7 bezffert. Da sch de bede cht besoders gut verstehe, st de Wahrschelchket, daß bede spele ur,. ) We groß st de Wahrschelchket, daß S spelt, we klar st, daß B cht atrtt? ( Pukte) ) We groß st de Wahrschelchket, daß geau eer der bede (aber cht bede zusamme) spele? ( Pukte) b) Der Präsdet des Tesverbades glaubt, daß de Wahrschelchket für ee Seg seer Maschaft (Eregs V) be,7 legt, we S mtspelt, aber ur be,4, we S cht mtspelt. ) Zege Se, daß de Eregsse V ud S abhägg sd. ( Pukt) ) We groß st P(V)? ( Pukte) c) B frühstückt am lebste Brötche mt eer bestmmte uß-ougat-creme. Leder ßt er a % aller Tage zuvel davo, so daß er achher cht mehr ordetlch Tes spele ka. We groß st de Wahrschelchket, daß er a eem Davs-Cup-Wocheede ( Tage) höchstes emal zuvel frühstückt? ( Pukte) d) De be eem Frühstück zu sch geommee Kaloremege beschrebt B als ormalvertelt mt µ ud σ. ) We groß st de Wahrschelchket, daß B a eem Morge zwsche 4 ud Kalore zu sch mmt? ( Pukte) ) Ageomme B köte kee Agabe über de Vertelug der Kaloremege mache, soder wüsste ur, daß µ ud σ st. Was köte er da über de Wahrschelchket aussage, zwsche 4 ud Kalore zu sch zu ehme? ( Pukte) e) B verfügt ee Kollekto vo Tesschläger. Davo wurde hm 8 Schläger vo seem Sposor geschekt. De adere bede hat er vo seer Frau zum Geburtstag bekomme. We groß st de Wahrschelchket, daß uter de Schläger, de er mt zum Tesplatz mmt (ud de er zufällg ausgewählt hat), de bede Schläger vo seer Frau sd? ( Pukte) f) Ageomme de Geschwdgket des Aufschlags des S se ormalvertelt mt µ km / h ud σ. We groß st de Wahrschelchket, daß S be Aufschläge, de er macht, ee durchschttlche Geschwdgket vo über, km/h errecht? ( Pukte)

4 Musterklausure Sete M4 Aufgabe : a) Studet S erschet de Behauptug seer Freud völlg uglaubwürdg, er würde m Moat durchschttlch mehr als 8 DM für Kogäge ausgebe. Um dese Vermutug zu überprüfe zeht er ee Stchprobe vo 8 Moate De Ausgabe ware: De Varaz der Grudgesamthet schätzt er mttels: $ ( X X) X X. σ ) Überprüfe Se de Hypothese der Freud durch ee Test zum veau α,. Zu welcher Etschedug komme Se? ( Pukte) ) We hoch st der krtsche Mttelwert der Stchprobe, d.h. bs zu welcher Höhe vo X ka de ullhypothese cht abgeleht werde? ( Pukte) ) Bereche Se de Wahrschelchket für ee Fehler. Art uter der Alteratvhypothese H : µ 9. Erläuter Se, was es her bedeutet, ee Fehler. Art zu begehe. b) Gegebe se de folgede zwedmesoale Dchtefukto:, 8( x + y + xy) < x < ; < y <. f( x, y) sost ( Pukte) ) Bestmme Se de Radverteluge vo X ud Y. ( Pukte) ) Bestmme Se de Kovaraz zwsche X ud Y. Welche Aussage köe Se über de Abhäggket/Uabhäggket vo X ud Y mache? ( Pukte) Aufgabe : a) Ee Gesellschaft vo Persoe muss für ee Flussüberfahrt auf zwe Boote aufgetelt werde, de je dre Persoe fasse. Auf we vel Arte ka de Gesellschaft auf de zwe Boote aufgetelt werde, we das Ehepaar Meer de Überfahrt ur auf bede Boote vertelt atrete wll? Hwes: Wchtg st ur welchem Boot ee Perso stzt, also cht auf welchem Platz m Boot dese Perso stzt. (4 Pukte) b) Be eer Wahlumfrage soll der Atel $π der Wähler der Parte A ermttelt werde.

5 Musterklausure Sete M ) Dabe soll der Schätzwert vom wahre Wert π um höchstes absolut, abweche. We groß muß der Umfag eer Stchprobe vo Wähler mdestes se, we ma ee Scherhetswahrschelchket vo,9 fordert? ( Pukte) ) De Wahlumfrage ergbt für ee Stchprobe vo Wähler ee Atel p.4 für de Parte A. Bestmme Se e 9%-ges Kofdeztervall für de Atel π der Grudgesamthet. (4 Pukte) c) De mttlere Ausgabe µ der Budesbürger für Urlaubszwecke solle durch ee Stchprobe (Zehe mt Zurücklege) vom Umfag ermttelt werde. De Bevölkerug wrd zwe Schchte zerlegt, wobe de erste Schcht de besser verdeede Persoe ethalte. De zwete Schcht se doppelt so groß we de erste Schcht. De Schchte see bezüglch der Ausgabe für Urlaubszwecke homoge, d.h. es glt Dabe st σ σ σ σ σ. de Varaz der erste Schcht, σ de Varaz der zwete Schcht ud de Varaz der Grudgesamthet. Hwes: Beachte Se, daß ud ubekat sd! ) We groß sd de Stchprobeumfäge de ezele Schchte be optmaler Auftelug der Schchte? (4 Pukte) ) Vergleche Se de Varaze des Schätzers x be efacher Zufallsauswahl ud be der optmale Schchtug. (4 Pukte) Hauptklausur WS 97/98 Aufgabe : Herr Dttmeyer verkauft eer Fußgägerzoe Apfelse ud Oragesaft, der fast so schmeckt we frsch gepresst. De Wahrschelchket, daß e Passat Apfelse kauft (Eregs A) beträgt,. De Wahrschelchket, daß e Passat Saft kauft (Eregs S), beträgt,. De Wahrschelchket, daß geau ees der bede Produkte gekauft wrd (aber ebe cht bede zusamme!) beträgt,. a) Stelle Se das folgede Eregs eem Ve-Dagramm graphsch dar: ( A S) ( A \ S) ( Pukte) b) We groß st de Wahrschelchket, daß ) e Passat bede Produkte kauft? ( Pukte) ) e Passat Apfelse kauft, we er sch berets gege de Kauf vo Saft etschede hat? ( Pukte) ) sch vo 8 Passate zum Kauf vo Apfelse etschede? ( Pukte) c) Zur Förderug sees Verkaufs verastaltet Herr D. e klees Glücksspel. I ee zugedeckte Behälter legt er weße ud schwarze Kugel. E Passat darf solage zehe (mt Zurücklege), bs er das erste Mal ee schwarze Kugel erwscht. Für jede vorher gezogee weße Kugel gewt er ee Apfelse. Es st klar, daß de Zufallsvarable X Msserfolge ( weße Kugel) vor dem erste Erfolg ( schwarze Kugel) eer geometrsche Vertelug gehorcht.

6 Musterklausure Sete M ) Gebe Se ee Maxmum-Lkelhood-Schätzug für de Erfolgswahrschelchket π auf der Grudlage der folgede Stchprobe a: Passat A B C D weße Kugel ) Bereche Se für dese Vertelug de Erwartugswert ud de Varaz. (4 Pukte) (4 Pukte) ) We groß st de Wahrschelchket, frühestes bem zwete ud spätestes bem verte Zug erstmals ee schwarze Kugel zu erwsche? ( Pukte) Aufgabe : a) I eer Flasche Oragesaft st m Schtt Lter Saft. De Varaz betrage,. We groß st de Mdestwahrschelchket, bem Kauf eer Flasche zwsche,9 ud, Lter Saft zu bekomme? ( Pukte) b) Ageomme, de Abfüllmege se ormalvertelt mt µ ud σ,. We groß st de Wahrschelchket bem Kauf ees Kastes Saft ( Flasche) mdestes, Lter zu bekomme? c) Kude K errechet e Kofdeztervall für de durchschttlche Ihalt der Flasche. Ee Stchprobe vo Flasche ergab x,. Welche Stadardabwechug $σ hat K aus der Stchprobe gewoe, we das Kofdeztervall we folgt aussah ( ) P,977 µ, 47,9? (4 Pukte) d) De Verbraucherzetrale V glaubt, daß de Flasche m Schtt weger als Lter Saft ethalte ud möchte des mt Hlfe ees statstsche Tests achwese. Ee Stchprobe vom Umfag ergab ee Varaz für de Füllmege vo,49. ) Stelle Se de Hypothese (ull- ud Alteratvhypothese) auf. ( Pukt) ) Wo legt der krtsche Mttelwert, d.h. bs zu welchem x ka V de ullhypothese cht ablehe, we mt α, getestet werde soll? ( Pukte) e) Der Statstker S betrachtet ee Stchprobe vo Flasche. De Zufallsvarable X se der Ihalt der -te Flasche mt E( X ) µ ud ( ),,...,. Alle X see detsch uabhägg vertelt mt V X σ. Für de durchschttlche Flaschehalt µ schlägt S de folgede Schätzfuktoe vor: ) $µ X ) $µ X Sd $µ ud $µ erwartugstreu ud kosstet? Welche der bede Schätzer würde Se vorzehe? ( Pukte)

7 Musterklausure Sete M7 Aufgabe : a) Gegebe se de folgede Fukto: 7 4 x + x y( y) y( y) für x, y f( x, y) 8 sost Köte es sch dabe um ee zwedmesoale Dchtefukto hadel? ( Pukte) b) Dplom-Kaufma K aus E betrtt mt 4 adere Patete zetglech ee Zaharztpraxs. De Arzthelfer hält es desem Fall für far de Rehefolge, der de füf Persoe behadelt werde, auszulose. We groß st de Wahrschelchket, daß K cht als Erster das Behadlugszmmer gerufe wrd? (4 Pukte) c) X see Zufallsvarable, für de glt: E( X ), E( X ), ( ) E X 8, V( X ), V( X ) 4, ( ) V X, C( X X j ), für alle j De Zufallsvarable Z se als folgede Learkombato gebldet: Z X + X X. Bereche Se E( Z ) ud V( Z ). (4 Pukte) d) De Kude eer Krakekasse bestehe zu % aus Kder (Schcht ), zu % aus Mesche m arbetsfähge Alter (Schcht ) ud zu % aus Reter (Schcht ). Aus eer Stchprobe m Umfag 4 solle de mttlere jährlche Ausgabe für Medkamete µ geschätzt werde. Es gelte: σ, σ ud σ 8. Bereche Se de Stchprobeumfag be proportoaler ud optmaler Auftelug sowe jewels de Varaz der Schätzfukto $µ x. (8 Pukte) e) We de Wahrschelchket dafür, daß eem Flugzeug x Terrorste mt zwe Bombe stze, ur e Zehtel der Wahrschelchket dafür st, daß x Terrorst mt eer Bombe m Flugzeug st, da st X possovertelt mt λ K? ( Pukte)

8 Musterklausure Sete M8 Lösuge Hauptklausur WS 9/9 Aufgabe : a) P( F ),, P( D F), 8 ; P( D ), ) Subjektver Wahrschelchketsbegrff ) P( D) P( D F) ) P( D F) P( D F) P( D) + P( F) P( D F) P D + P F P D F P F, +,, 8,, 44 v) ( ) ( ) ( ) ( ) b) P( G A), 7 ; P( G B), ) P( G) P( G A) P( A) P( G B) P( B) ) P( G B) P( B),, P( B G) P( G), 4 c) X ~ H( ; 4; ) d) +, 7, +,,, 4, P( x 4), 4. 7 K!! ( )! ( ) +,, Aufgabe : a) + ) f( x ) < ud ( ) ) ( ) f x dx E x xdx x V( x) x dx x

9 Musterklausure Sete M9 ) dx x v) ( ) x F x du x + x x < F( x) x + x x > 9 b) x 87, ; $σ 7 ) H :µ 8 vs. H :µ > 8 ) Fall : x µ T σ$ 87, 8, z α,89 De Hypothese ka cht abgeleht werde. x 8, , , 77 P x < H P z < H 9 ) ( 9, 77 ) ( ) ( ) P z <, H P z <, H, 9, 8 Ee Fehler. Art zu begehe bedeutet her, de H -Hypothese als rchtg azuehme obwohl se falsch st, d.h. azuehme, de durchschttlche Teleforechug läge uter 8 DM, obwohl se Wahrhet über 8 DM legt. Aufgabe : a) c c c c ) cx + cy + cxydxdy x + cxy + x y dy + cy + ydy c c y + y c + y c c c + +, c 4 4 c, ) f( x), x +, y +, xydy [, xy +, y +, xy ], 8x +, 4 +, 4x, 4 +,x f y, 4 +, y ( ) C xy 8 x y + 8 xy + 8,,, x y dxdy µ xµ y ) ( ) E x 4 x x dx x 4 x 4 E y ( ), +,, +,, +,, ( )

10 Musterklausure Sete M + +, 8, 8 x y, 4x y x y dy,,, 8, 8 y +, 4y + y dy,, 8, 4, 8 y + y + y 9 X ~ ; b) ( ) P( x 8) c), 8, 4, 8,,, z, 8 z, P, z, P z, P z,, 8849, 79, ( ) ( ) ( ) $µ µ µ $µ st cht erwartugstreu, aber lm E( µ $ ) µ $µ st asymptotsch erwartugstreu ) E( ) E X + E( X ) V $µ V X σ σ lm $ ( ) + V( X ) V( µ ) $µ st kosstet. $µ E µ µ $µ st cht erwartugstreu, aber lm E( µ $ ) µ $µ st asymptotsch erwartugstreu ) E( ) X E( X ) ( ) ( ) ( ) V( $µ ) V X V( X ) σ σ 4 4 lm V µ $ $µ st kosstet. ( ) achklausur WS 9/97 Aufgabe : a) ( ) P( S ) P( B S ) P B, ;, 7;, ) P( S B) P S ( B) P( B) P( S B) P( S) P( S B),,, 4, 7,,

11 Musterklausure Sete M ) P( S B) P( S B) ( ) ( ) ( ) P S + P B P S B, 7 +,,, b) P( V S) P( V S ), 7;, 4 ) Wäre V ud S uabhägg, müsste gelte: ( ) P( V S) P V S Da des cht zutrfft, sd de Eregsse abhägg. ) P( V) P( V S) P( S) P( V S) P( S) +, 7, 7 +, 4,, c) X B frühstückt zuvel; X ~ B( ;, ) P( X ), 784 lt. Tabelle d) X Kaloremege; X ~ ( ; ) ) P( 4 X ) 4 Z Z ( Z ) P,94 lt. Tabelle ) P( 4 X ) P( X ) + >, 7 e) X Schläger vo seer Frau; X ~ H( ; ; ) ( ) P X, f) X Aufschlaggeschwdgket; ( ) ( >, ) P( X, ) P X, Z, ( ) P Z,,94, 48 σ X ~ ; X ~ ; Aufgabe : X a) 9; $σ ( )

12 Musterklausure Sete M ) H : µ 8 vs. H : µ > 8 T X µ σ$ , ) z α,89 Wege T < z α ka H cht abgeleht werde. X 8 T 7 8, 89 X, , ) P( T <, 89 µ 9) 9, 9 P( X < 9, µ 9) P Z < µ 9 P( Z <, 7 µ 9), Ee Fehler. Art zu begehe bedeutet her, de H -Hypothese als rchtg azuehme obwohl se falsch st, d.h. azuehme, de durchschttlche Koausgabe läge uter 8 DM, obwohl se Wahrhet über 8 DM lege. f x, y, 8x +, 8y +, 8 xy b) ( ) f y, 8 x +, 8 y +, 8 xydx ) ( ) [, 4x, 8xy, 4x y ] + +, 4 +, 8y +, 4y, y +, 4 Etspreched für X: f( x) ) C( x, y) E( xy) E( x) E( y) C( x y), x +, 4 E( x) x + 4 xdx 4 x +,,,, x, 4 +,, E( y ), ( ) E xy 8 x y + 8 xy + 8,,, x y dxdy + + 4, 8, 8, x y xy x y dx 4, 8, 8, x + x + x dx, 4, 8, , 4 +, 8 +, 8 x x x 9,,,,,, 4

13 Musterklausure Sete M X ud Y sd cht uabhägg, da C( x, y). Aufgabe : a) Es gbt zwe Möglchkete de Meers aufzutele: Meer Boot ud Meer Boot bzw. Meer Boot ud Meer Boot. Damt gbt es m erste Boot och zwe free Plätze ud es sd och ver Persoe übrg: b) Kombato ohe Wederholug: K 4 4! 4! ( 4 )! 4 Das zwete Boot ergbt sch vo selbst. Damt gbt es sgesamt Möglchkete. ) Da kee Agabe über π * gemacht wurde: Aahme des ugüstgste Falles, also π*, z * ( π ) π * *,9,, 4 e, ) P p z pq pq p z + π α c) ) P, 4,9, 4, KI [, 4;, 49] σ σ k k k k k π, 4 +,9, 4,,9 σ σ + σ σ σ + σ σ σ ) Be efacher Zufallsauswahl: V( X) Be optmaler Schchtug: V( X) opt k σ k σ + σ σ

14 Musterklausure Sete M4 σ + σ + σ σ 4 4, da + ( ) < V( X) V X opt Hauptklausur WS 97/98 Aufgabe : a) b) P( A ), ; P( S ), ; P( A S) P( A S) ) P( A) + P( S) P( A S),, P( A S) P( A) + P( S), +,,,, ) P( A S) P A ) X ~ B( 8;,) [ ] ( ) ( S) P( A) P( A S),, P( S) P( S), 7 P( x ), 48 lt. Tabelle c) X ~ G( π ) ) x f( x) π( π) L( π) π( π) π π( π) π( π) π ( π) 4, 49. max dl 4 4π ( π) π ( π) dπ ( π) π π π π $, 4 E x π,, π, 4 V( x ) π,, 7 π, P x P x P x, 4,, 4 +,, 79 ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

15 Musterklausure Sete M Aufgabe : a) P(,9 x, ) P(, x +, ), 7 b) X ( ) ; Y X ~ ( ;, ) ~ ;, (, ) P( y, ) P y ( ), z, P z, 84, 87 c) Fall 9 Lke Greze des Kofdeztervalls: σ$ x z,977 σ $ 4 ( x,977) (,,977 ), 7 z, d) ) H :µ vs. H :µ < ) x µ x T, 449 σ$, 7 x 449,, 7 +,988 e) E( ) E X E( X ) µ $µ st erwartugstreu V $µ V X σ σ lm µ $ $µ st kosstet ( ) V( X ) V( ) ( $µ ) E( X ) µ ( $µ ) V( X) σ V( µ ) σ E V lm $ $µ st erwartugstreu $µ st cht kosstet Der Schätzer $µ st vorzuzehe, da er cht ur erwartugstreu st (we $µ auch) soder auch kosstet. Aufgabe : a) x + x y x y y + y dxdy x x x y x y xy xy dy y y y + y dy 8 8 y + y dy

16 Musterklausure Sete M y y + y + f( x, y) ka kee Dchtefukto se b) Eregs E: K wrd als Erster aufgerufe P E P E ( ) ( ) Möglche Eregsse: P! Ugüstge Eregsse ( E ) : P4!4 4 P( E ),, 8 E Z E X + X X E X + E X E X c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V( Z) V( X + X X ) V( X ) + V( X ) + V( X ) + C( X, X ) C( X, X ) C( X, X ) d), ;, ;, Proportoale Auftelug, 4 8, 4, 4 k V( x) prop k ( + + ) 4 8 σ,,, 79,, 98 4 Optmale Auftelug kσ k, +, +, 9 8, 7 4, 4 4 8, 7 8, 7 4, 4 8, 7 8, 7 4, 9 4, 7 4 8, 7 8, 7 k V( x) opt k ( + + ) 4 9 σ,,, 7, 9, 89 4 λ λ λ λ e) e e λ λ,