Vorlesung 11: Lösung der SG für das H-Atom. Folien auf dem Web:
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- Gitta Breiner
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1 Vorlesung 11: Roter Faden: Lösung der SG für das H-Atom Folien auf dem Web: Siehe auch: Demtröder, Experimentalphysik 3, Springerverlag Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 1
2 Das Wasserstoffatom Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 2
3 Atom mit kugelsymmetrischem Potential Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 3
4 Der Drehimpuls Im kugelsymmetrischen Coulombpotential gibt es nur radiale Kräfte, d.h. keine Drehmomente auf das Elektron im H-Atom! Daher erwarte ich Drehimpulserhaltung im Falle der Kugelsymmetrie und Wellenfkt. sollte Eigenfkt. des Drehimpulsoperators sein. Bei mehreren Elektronen wird Kugelsymmetrie aufgehoben-> kleine Störungen -> können nur numerisch berechnet werden. Hier nur Einelektronatome. Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 4
5 3-D Schrödingergleichung in Kugelkoor. Erwarte als Lösungen: 1) Mit viele Energieniveaus, die nur von r abhängen, d.h. viele Energieeigenfunktionen, erwarte ich Polynom in r mit vielen Termen, da die Zustandsfkt. Linearkombinationen der Eigenfkt. sind. 2) Da die Energien nur von r abhängen, erwarte ich, dass die Winkelabhängigkeit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Raum auf der Fläche eines Einheitskugelskugel abgebildet werden kann. Dies ergibt für Θ(θ) Φ(φ) die berühmte Kugelflächenfkt, die Eigenfkt. des Drehimpulsoperators sind. Da das Elektron eine stehende Welle bildet, erwarten wir für Φ(φ) = Ce imφ. Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 5
6 Lösung der 3-D Schrödingergleichung m ganzzahlig = magnetische Quantenzahl durch Randbedingung in Φ Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 6
7 Lösung der 3-D Schrödingergleichung Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 7
8 Lösung der 3-D Schrödingergleichung m=magn. QZ Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 8
9 Lösung der 3-D Schrödingergleichung Reihe darf nur endlich sein, damit Θ auch für ξ=±1, d.h. θ=0 oder 180, endlich bleibt l = Drehimpuls QZ = ganze Zahl aus Randbedingung von θ Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 9
10 Lösung der 3-D Schrödingergleichung m=magn. QZ Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 10
11 Lösung der 3-D Schrödingergleichung Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 11
12 Kugelflächenfunktionen für l=0,1,2,3 Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 12
13 Kugelflächenfunktionen für l=0,1,2,3 Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 13
14 Quadrat der Kugelflächenfunktionen für l=0,1,2 Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 14
15 Quadrat der Kugelflächenfunktionen für l=3 Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 15
16 n n=hauptquantenzahl aus Rydbergscher Formel (bestimmt Energie unabh. von l,m, daher Entartung der Energie) Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 16
17 Die 5 Kugelflächenfunktionen für l=2, n=3 Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 17
18 Zusammenfassung Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 18
19 Kugelflächenfunktionen Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 19
20 Lösung der Radialabhängigkeit der SG Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 20
21 Lösung der Radialgleichung ħ ħ ħ Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 21
22 Randbedingungen für Radialgleichung: erwarte Aufenthaltswahrs. maximal für bestimmte Bahnen zwischen r und r+dr. Definiere W(r)=r R(r), so dass 4π W 2 dr die Wahrscheinlichkeit angibt, dass Elektron in Kugelschale zwischen r und r+dr zu finden. Setzt man R(r) = W(r)/r in Radialgl. ein, dann findet man für r : W= Ae ikr + Be -ikr mit k=( (2µE))/ħ Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 22
23 Lösung der Radialgleichung Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 23
24 Lösung der Radialgleichung Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 24
25 Lösung der Radialgleichung Lösung: Laguerre Polynome ħ Quantelung von a aus Randbedingung dass Wellenfkt =0 im Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 25
26 Lösungen der SG für QZ n,l,m Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 26
27 Nomenklatur Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 27
28 Nomenklatur Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 28
29 Radialfunktionen Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 29
30 Räumliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 30
31 Radialer Aufenthaltswahrscheinlichkeit Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 31
32 Vergleich mit Bohrschen Atommodell Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 32
33 Zum Mitnehmen Die dreidimensionale SG für das H-Atom lässt sich wegen der Kugelsymmetrie des Potentials in drei eindimensionale Gleichungen der Kugelkoor. r θ und φ umformen. Die Wellenfkt. kann als Produkt geschrieben werden, wobei R vom Potential abhängt und die Kugelflächenfkt. Y durch den Drehimpuls für aller kugelsymmetrischen Potentiale bestimmt wird. Die drei unabhängige Gleichungen führen zu drei Randbedingungen, mit drei Quantenzahlen: n,l,m, wobei die Hauptquantenzahl n die Energie bestimmt, l die Quantelung des gesamten Drehimpulses und m die z-komponente des Drehimpulses. Zu jeder Energiewert gehören k= l=0 n-l (2l+1) =n 2 Eigenfunktionen, alle mit der gleichen Energie (n 2 -fach entartet). Mai 19, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 33
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