PROBEPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II

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Julian Franke
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1 PROBEPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II für die Studiengänge Agrar-, Erd-, Lebensmittelund Umweltnaturwissenschaften Für diese Probeprüfung sind ca 4 Stunden vorgesehen. Die eigentliche Prüfung wird signifikant kürzer sein und nur 11 Aufgaben beinhalten! 1. Wir betrachten das lineare Gleichungssystem x + y + z + w = 0 x + 2y + 3z + 4w = k x + k 2 z + (k + 1)w = k + 3 wobei k ein reeller Parameter ist. a) Lösen Sie obiges System für den Parameterwert k = 0. 3 Punkte Für welche Werte von k besitzt das System b) keine Lösungen? c) unendlich viele Lösungen? d) genau eine Lösung? 1 Punkt 1 Punkt 1

2 2. Wir betrachten die Matrix A = a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und die entsprechenden Multiplizitäten. b) Geben Sie einen Eigenvektor von A an. c) Ist die Matrix A 100 invertierbar? d) Besitzt die Gleichung A 100 v = v eine nicht-triviale Lösung v 0? 1 Punkt 1 Punkte 3. Wir betrachten die Funktion f(x) = ln ( 2 x 2). Bestimmen Sie a) die lokalen Maxima und Minima von f. b) das Taylorpolynom 2. Ordnung von f an der Entwicklungsstelle x 0 = 1. c) den Grenzwert ln (2 x 2 ) lim. x 1 1 x 3 d) den maximalen Definitions- und den Wertebereich von f. 4. Lösen Sie das Anfangswertproblem dy = y(1 y) dt y(0) = 2. 2

3 6 Punkte 5. Wir betrachten die Differentialgleichung y (3) = y. a) Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung dieser Differentialgleichung. 4 Punkte b) Bestimmen Sie die Lösung mit y(0) = 1 ẏ(0) = 2 ÿ(0) = Wir betrachten das Differentialgleichungssystem (ẋ(t) ) ( ) ( ) 1 2 x(t) = + ẏ(t) 4 3 y(t) ( ) 1. (1) 0 a) Bestimmen Sie die allgemeine (reelle) Lösung des zugehörigen homogenen Differentialgleichungssystems. b) Für welche Anfangsbedingungen 3 Punkte ) bleibt die Lösung des homogenen Systems beschränkt? ( ) x(0) = y(0) ( c1 c 2 c) Bestimmen Sie mit Hilfe eines geeigneten Ansatzes die Lösung des inhomogenen Systems (1), die die Anfangsbedingungen { x(0) = 0 y(0) = 0 erfüllt. 3

4 7. Wir betrachten die Funktion f(x, y) = x 2 1 y definiert für y 0. a) Bestimmen Sie den Gradienten von f. 1 Punkt b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung der zusammengesetzten Funktion h(t) = f(γ(t)) an der Stelle t = 0, wobei ( ) t γ(t) = e t. c) Bestimmen Sie diejenigen Punkte (x, y, z) der Graphenfläche F = {(x, y, z) z = f(x, y)}, in denen die Tangentialebene an die Fläche F parallel zur Ebene 4x y + z = 0 3 Punkte ist. 8. Bestimmen Sie den grössten und kleinsten Wert, den die Funktion f(x, y) = xy auf der Ellipse x2 8 + y2 2 = 1 annimmt. 5 Punkte 4

5 9. Berechnen Sie das Volumen des Körpers im R 3, der durch x 2 + y 2 1, x 2 + y 2 + z 2 4 gegeben ist durch Integration, indem Sie geeignete Koordinaten wählen. 6 Punkte 10. Wir betrachten das Vektorfeld ( ) y F (x, y) =. 2x a) Bestimmen Sie die Arbeit von F von (0, 1) nach (1, 0) entlang der Parabel C : y = x 2 1, 0 x 1. b) Ist F konservativ? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Verwenden Sie den Satz von Green um die Zirkulation von F entlang des Dreieckrandes mit den Eckpunkten (0, 0), (2, 0), (0, 2) im Gegenuhrzeigersinn zu bestimmen. 3 Punkte 5

6 11. Bestimmen Sie den Fluss des Vektorfeldes 2x + yez2 G(x, y, z) = z ln (1 + x 2 ) z 4 durch die Halbsphäre von unten nach oben. S = { (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0 } Hinweis: Bestimmen Sie zunächst den Fluss durch B = { (x, y, z) x 2 + y 2 1, z = 0 } und verwenden Sie anschliessend den Satz von Gauss. Das Volumen einer Kugel vom Radius R ist 4 3 πr3. 8 Punkte 12. Lösen Sie das folgende Problem für die Wärmeleitungsgleichung: u t = 12u xx u x (0, t) = u x (π, t) = 1 u(x, 0) = cos(x) + x für 0 x π, t 0. 8 Punkte 13. Anweisung: Es ist immer nur eine Antwort richtig! Es gibt pro Frage. Falsche oder mehrere Antworten werden mit 0 Punkten bewertet. Kreuzen Sie die korrekte Antwort an Die Niveaufläche f = 1 der Funktion ist f(x, y, z) = 4x 2 y 2 z 2 (a) eine Sphäre. ein Kegel. ein Paraboloid. ein Hyperboloid. 6

7 13.2 Die Kurve in der xy-ebene gegeben durch die Gleichung lässt sich x 2 y sin(xy) = 0 (a) in der Nähe des Punktes (0, 1) als Graph einer differenzierbaren Funktion von x darstellen. in der Nähe des Punktes (0, 1) als Graph einer differenzierbaren Funktion von y darstellen. in der Nähe des Punktes (1, 0) als Graph einer differenzierbaren Funktion von x darstellen. in der Nähe des Punktes (1, 0) als Graph einer differenzierbaren Funktion von y darstellen Die Fixpunkte des Systems { ẋ = (x 1)(y + 1) ẏ = xy und ihre entsprechende Stabilität sind (a) (1, 0) und (0, 1) beide asymptotisch stabil. (1, 0) ist asymptotisch stabil, (0, 1) instabil. (1, 0) ist instabil, (0, 1) asymptotisch stabil. (1, 0) und (0, 1) beide instabil. 7

8 13.4 Die Wechselwirkung von zwei Populationen wird durch das folgende System modelliert { ẋ = 0.04x xy ẏ = 0.07y xy. Welche Aussage beschreibt diese Populationen am besten? (a) Räuber-Beute Wechselwirkung, wobei x die Räuber- Population und y die Beute-Population darstellt. Räuber-Beute Wechselwirkung, wobei y die Räuber- Population und x die Beute-Population darstellt. Kooperierende Populationen, wobei das Wachstum der x- Population mangels der y-population logistisch ist. Kooperierende Populationen, wobei das Wachstum der y- Population mangels der x-population logistisch ist Sei V die Menge von Punkten (x, y, z), die mit Zylinderkoordinaten r = z erfüllen. Welche Gleichung beschreibt V in Kugelkoordinaten? (a) θ = π 4. θ = π 2. sin 2 (θ) = cos(θ). R = cos(θ) Welche der folgenden Gleichungen erfüllt die Kurve mit der Parametrisierung ( ) ( ) x(t) cos(t) = y(t) sin 2, t [0, 2π)? (t) 1 (a) x 2 + y = 0. x 2 + y = 1. x + y 2 = 0. x + y 2 = 1. 8

9 13.7 Welche der folgenden Interpretationen des Integrals I = da ist im Allgemeinen falsch? B (a) I ist die Länge des Randes von B. I ist der Flächeninhalt von B. I ist das Volumen eines Quaders der Höhe 1 über B. I ist die Masse von B mit homogener Dichte Der Satz von Stokes stellt eine Beziehung zwischen dem Fluss der Rotation eines Vektorfeldes F durch eine Fläche A und (a) dem Fluss von F durch den Rand von A. der Kurvenlänge des Randes von A. der Divergenz von F auf dem Rand von A. der Zirkulation von F auf dem Rand von A. 9

10 13.9 Die Fourier-Reihe der (2π)-periodischen Funktion f(x) = x, π x π ist (a) n=1 ( 1) n 4 n + 1 cos(nx) + ( 1)(n+1) 2 n sin(nx). + n=1 ( 1) n 4 n + 1 cos(nx) + ( 1)(n+1) 2 n sin(nx). + n=1 ( 1) n 4 n + 1 cos(nx). + n=1 ( 1) (n+1) 2 n sin(nx) Die partielle Differentialgleichung ist u x + x 2 u yy = y (a) linear und homogen. linear aber nicht homogen. homogen aber nicht linear. weder linear, noch homogen. 20 Punkte 10

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