DIFFERENTIALGLEICHUNGEN (DGL)
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- Karola Bretz
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1 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN (DGL) Definition und Klassifikation und Beispiele Definition und Klassifikation Definition Gleichung, deren Unbekannte eine Funktion ist und die Ableitungen der gesuchten Funktion enthält. Anmerkung Klassifikation Lösungen allgemeine Lösung Angabe der vollständigen Lösungsschar inkl. Integrationskonstanten Ordnung = Anz. Integrationskonstanten spezielle Lösung Anfangsbedingungen gewöhnliche DGL: Eine Variable (ODE) partielle DGL: mehrere Variablen (PDE) PT1 - Glied n-ter Ordnung höchste Ableitung mit konstanten Koeffizienten homogen inhomogen Dämpfer Zeitverzögerung -> Tiefpass Modell Modellierung Tiefpass IN PT1 OUT Input Output separierbar Aufsuchen einer partikulären Lösung Einschwingvorgang in DGL einsetzen stationäre Lösung Lösung Grenzwerte für Verstärkung Phasenverschiebung Amplitude D Marcel Meschenmoser Dozent: Martin Bünner Seite 1 von 6
2 Lineare DGL 1.ter Ordnung Lineare DGL 1ter Ordnung homogen inhomogen Separation der Variablen 1. Separation der Variable 2. Test Variation der Konstanten 1. Lösung der homogenen DGL 2. Ansatz mit Variation der Konstanten mit konstanten Koeffizienten Aufsuchen einer partikulären Lösung 1. Lösung der homogenen DGL 2. Ansatz mit für 3. Lösung der DGL für 4. Lösung der inhomogenen DGL 3. in DGL einsetzen 4. Alles einsetzen Elementare DGL's Separierbare DGL's DGL mit Richtungsfeld konstant Polynom Elementare Integration 1. n Integrieren 1. y und x separieren Integration 4. Nach y auflösen Lösung mit Richtungsfeld 1. aufzeichnen 2. schätzen field:= field() Elektrotechnik Mechanik Mischvorgänge R Bewegungen Kräfte 1. Variable und L Schwerkraft Anfangsgrösse Coulomb sche Reibung C Stoke sche Reibung Newton sche Reibung 2. delta aufstellen Maschensatz, Spannungsteiler Statik Dynamik 3. DGL aufstellen Marcel Meschenmoser Dozent: Martin Bünner Seite 2 von 6
3 Lineare DGL 2.ter Ordnung Lineare DGL 2ter Ordnung homogen mit konstanten Koeffizienten inhomogen mit konstanten Koeffizienten Lösung mit Nullpunktsatz 1. Charakteristische Gleichung 2. Fallunterscheidung nur spezielle Lösung Laplace-Transformation (für x-ter Ordnung) 1. DGL laplacieren Aufsuchen einer partikulären Lösung 1. Lösung der homogenen DGL 2. Ansatz mit für 2. nach auflösen 3. Inverse Laplace-Transformation 3. in DGL einsetzen 4. Alles einsetzen Unterscheidung oder: oder: Marcel Meschenmoser Dozent: Martin Bünner Seite 3 von 6
4 Laplace-Transformation Reduzierte Transformationstabelle Laplace-Transformation Dirac Funktion im Zeitbereich Funktion im Bildbereich Heavyside sche Sprungfunktion Inverse Laplace- Transformation Rezept bezüglich Nullstellen Nullstellen Vorgehen Ergebnis 1. Partialbruchzerlegung a. Faltungssatz wenn Zähler min linear b. Dämpfungssatz wenn Zähler konstant Dämpfungssatz für Regeln Linearitätssatz Verschiebungssatz Dämpfungssatz Faltungssatz Differentiationssatz Integrationssatz Grenzwertsätze Anfangswerte haben einen Bezug zum Limes Dirac-Stoss Eigenschaften Keine Funktion, sondern eine Distribution Praktisch: kurzer, fester Schlag Verwendung: zur Systemidentifikation Marcel Meschenmoser Dozent: Martin Bünner Seite 4 von 6
5 Übertragungsfunktion Zeitbereich Bildbereich Systemidentifikation Input Output durch Stossantwort Beschreibung des durch lineare DGL = Lineare Übertragung z.b. bei linearer Übertragung gilt Ein lineares System ist vollständig charakterisiert durch seine Stossantwort beschreibt die vollständigen Eigenschaften des Systems Hintereinanderschaltung möglich: Marcel Meschenmoser Dozent: Martin Bünner Seite 5 von 6
6 Lineare Schwingungen Der lineare Schwinger im Bildbereich Schwingungsgleichung Dämpfungskonstante Eigenfrequenz Freie Schwingung allgemeine Lösung Erzwungene Schwingung schwach gedämpftes System: Lösung ungedämpfte Schwingung schwach gedämpfte Schwingung aperiodischer Grenzfall starke Dämpfung (Kriechfall) Lösung Lösung Lösung Lösung Mit Resonanz Gekoppelte Schwingung Ohne Resonanz PT 1 Schwerpunktsschwingung Relativschwingung Frequenzen ungedämpftes System gedämpftes System Resonanzfrequenz Marcel Meschenmoser Dozent: Martin Bünner Seite 6 von 6
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