HM I Tutorium 5. Lucas Kunz. 24. November 2016

Transkript

1 HM I Tutorium 5 Lucas Kunz 24. November 206 Inhaltsverzeichnis Theorie 2. Definition einer Reihe Wichtige Reihen Limites inferior und superior Absolute Konvergenz Konvergenzkriterien Monotoniekriterium Leibniz-Kriterium Cauchy-Kriterium Majoranten-/ Minorantenkriterium Wurzelkriterium Quotientenkriterium Teleskopsummen und -reihen Aufgaben 5 2. Standard-Herangehensweisen bei Aufgaben zu Reihen

2 Theorie. Definition einer Reihe Es sei a k eine Folge wie bislang und s n := a + a a n = n k= a k sei eine weitere Folge, die also aus der Summe der Glieder von a n besteht. In diesem Fall heißt a k das k-te Reihenglied und s n die n-te Teilsumme der Reihe k= a k. Ist die Folge s n konvergent, dann heißt ihr Grenzwert auch Reihenwert und es gilt lim s n = n a k. (.) Im Falle von komplexwertigen Folgen müssen der Real- und Imaginärteil jeweils einzeln konvergieren und der Reihenwert resultiert aus den beiden Grenzwerten: a k = R(a k ) + i I(a k ). (.2) k= k= Auf sehr ähnliche Art verhalten sich Reihen auch im rein reellen bezüglich Addition und Multiplikation mit Skalaren linear. Seien hierzu α, β R und a n, b n Folgen, dann gilt (α a n + β b n ) = α a n + β b n (.3) Beginnt die Folge (a n ) n=p nicht bei n = sondern n = p Z (also bereits bei einem negativen Index), dann gilt entsprechend s n := n k=p a k. Die Summe beginnt also immer am kleinsten Index, unabhängig davon wie groß dieser letztendlich ist..2 Wichtige Reihen So wie es einige häufiger auftretende Folgen gibt tauchen auch ein paar Reihen immer wieder auf. Eine davon ist die geometrische Reihe: k n=0 z n = zk+ z k= bzw. im unendlichen Fall k= n=0 z n = z falls z <. (.4) Ebenso treten die harmonische und alternierende harmonische Reihe häufig auf: n = und ( ) n+ = ln(2). (.5) n Selbige existiert natürlich auch in der quadratischen Form: n = π2 2 6 und ( ) n+ = π2 n 2 2. (.6) Und zu guter Letzt gilt auch n (n + ) = ( n ) = und n + k n = k (k + ). (.7) 2 Die erste der beiden letztgenannten (in.7) ist dabei eine sogenannte Teleskopreihe. Bei dieser ergeben aufeinander folgende Reihenglieder in Summe jeweils 0, sodass insgesamt nur das erste und letzte (also das unendlichste ) Element zum Reihenwert beitragen. 2

3 .3 Limites inferior und superior Obwohl diese Thematik bereits im Skript zu Tutorium 4 im Kapitel Theorie über das Tutorium hinaus behandelt wurde ist es sinnvoll, sie hier nochmals aufzugreifen, da sie für die Anwendung einiger der Konvergenzkriterien notwendig ist: Ist a n eine Folge, dann sei A k := {a n n k} die Menge aller Folgenglieder mit einem Index, der größer als k ist. Ist a n in einer Richtung beschränkt, so ist auch jede der Mengen A k in derselben Richtung beschränkt und es existierten Infima/Suprema der Mengen. Man definiert zwei Grenzwerte wie folgt: lim sup a n := lim (sup A k ) nennt man den limes superior der Folge a n. k (.8) lim inf a n := lim (inf A k ) nennt man den limes inferior der Folge a n. k (.9) Der Limes superior einer Folge a n sind also nichts anderes als der gewöhnliche Grenzwert einer Folge b k, welche definiert ist als b k := sup{a n n k}. Der Limes inferior ist analog der Grenzwert der Folge b k := inf{a n n k}. Die Definition von b k als Supremum/Infimum einer Menge mag gewöhnungsbedürftig sein, gestaltet sich jedoch in den meisten Fällen wesentlich einfacher als die mathematische Schreibweise vermuten lässt. Als Beispiel für dafür kann wieder die Folge a n = ( ) n dienen. Für sie gilt A k = {, } k und dementsprechend ist lim sup a n = und lim inf a n =. Wie bei Häufungswerten existieren immer Teilfolgen von a n, die gegen lim sup a n und lim inf a n konvergieren. Sind diese Werte endlich stimmen sie daher mit dem größten bzw. kleinsten Häufungswert der Folge a n überein. Entsprechend gilt im Fall von Konvergenz lim sup a n = lim inf a n = lim a n, weil dies der einzige Häufungswert ist (siehe Tutorium 4). Weiterhin gilt immer lim inf a n lim sup a n, weil inf A sup A (wie in Tutorium 2)..4 Absolute Konvergenz Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe über die Beträge a n konvergiert. Jede solche Reihe ist auch normal konvergent und es gilt die Dreiecksungleichung für Reihen: a n a n. (.0).5 Konvergenzkriterien Da die Berechnung des exakten Reihenwertes recht schwierig sein kann ist es sinnvoll, zunächst die Konvergenz zu überprüfen, die immerhin eine Grundlage für die Existenz eines endlichen Wertes ist. Als vermutlich wichtigste Voraussetzung gilt dabei, dass a n grundsätzlich nur konvergieren kann, wenn die einzelnen Summanden mit zunehmendem n immer kleiner werden und a n also eine Nullfolge (gegen 0 konvergierende Folge) ist. Da diese Bedingung allerdings nur notwendig und nicht hinreichend für Konvergenz ist folgen in den nächsten Kapiteln einige Optionen zur genaueren Überprüfung..5. Monotoniekriterium Sind alle a k 0 und deren Teilsummen s n := n k= a k alle beschränkt, dann ist k= a k konvergent. Dies folgt direkt aus dem Monotoniekriterium zur Folgenkonvergenz (siehe Tutorium 4), welches hier auf die Folge der Teilsummen s n angewendet wird. 3

4 .5.2 Leibniz-Kriterium Ist b n eine monoton fallende Nullfolge und a n := ( ) n b n eine weitere Folge, dann konvergiert a n = b + b 2 b 3 + b Eine solche Reihe nennt man alternierend..5.3 Cauchy-Kriterium Eine Reihe a n konvergiert genau dann, wenn n ɛ > 0 n 0 = n 0 (ɛ) : a k < ɛ n > m n 0. (.) k=m+ Eine Reihe konvergiert also genau dann, wenn beliebige Teile der Reihe zwischen den Indizes m + bis n jeweils eine in Abhängigkeit von n gewählte Grenze ɛ unterschreiten..5.4 Majoranten-/ Minorantenkriterium Es seien a n und b n Folgen, dann existieren die folgenden Zusammenhänge: Ist a n b n für fast alle n N (alle außer endlich viele) und b n konvergiert, dann ist a n absolut konvergent (Majorantenkriterium). Ist a n b n 0 für fast alle n N (alle außer endlich viele) und b n divergiert, dann ist a n auch divergent (Minorantenkriterium). Umgangssprachlich könnte man also sagen, dass eine Reihe divergiert, wenn es eine kleinere divergente Reihe gibt (Minorante), oder konvergiert, wenn eine größere konvergente Reihe existiert (Majorante)..5.5 Wurzelkriterium Ist a n eine Folge und α := lim sup n a n, dann konvergiert a n absolut wenn α <.... divergiert a n wenn α > ist.... kann man mit diesem Kriterium nichts über die Konvergenz aussagen falls α =..5.6 Quotientenkriterium Ist a n eine Folge und a n 0 für unendlich viele n N (alle außer endlich viele) und es sei c n := a n+ a n definiert an allen Stellen mit an 0, dann divergiert a n wenn c n für fast alle n.... konvergiert a n absolut wenn lim sup c n <.... divergiert a n wenn lim inf c n >.... muss in allen anderen Fällen eine genauere Unterscheidung getroffen werden. Dies ist nur möglich wenn die Folge der c n konvergiert mit dem Grenzwert c := lim c n : Ist c <, dann ist a n absolut konvergent. Ist c >, dann ist a n divergent. Ist c =, dann ist mit diesem Kriterium keine Aussage möglich. 4

5 .6 Teleskopsummen und -reihen Der Begriff Teleskopsumme beschreibt eine Summe, bei der nur das erste und letzte Element zum Wert beitragen. Ein Beispiel dazu ist die folgende Summe auf Kapitel.2: N n (n + ) = ( n ). (.2) n + Verschiebt man im hinteren Term den Index, dann erhält man leicht die Form N n N+ l=n+ = n + n N+ n l = l l l. (.3) Im zweiten Schritt wurde dabei der Index n in der linken Summe in l umbenannt, um beide Teile im folgenden etwas kompakter auszudrücken: n (n + ) = + N ( l ) + l N + = + N + =: b N. (.4) l=2 }{{} =0 Der Reihenwert ergibt sich direkt als Grenzwert der Folge b N, also =. n (n+) 2 Aufgaben Die Musterlösungen der Tutoriumsaufgaben 26, 28 und 30 finden sich nach Ablauf der zugehörigen Semesterwoche auf der Internetseite der Vorlesung unter kit.edu/iana/lehre/hmphys206w/. Darin ist gut zu erkennen, dass es zur Lösung von Aufgaben mit Bezug auf Reihenkonvergenz einige Standard-Herangehensweisen gibt, welche im folgenden nochmals in einer kurzen Übersicht Erwähnung finden. 2. Standard-Herangehensweisen bei Aufgaben zu Reihen Zur Berechnung von Reihenwerten existieren 3 sinnvolle und einfache Wege: Zurückführung auf bekannte Reihen: Häufig ist es möglich, eine Reihe so umzuformen, dass sich eine Form wie eine der Reihen aus Kapitel.2 ergibt. Gelingt dies, dann kann damit einfach der Reihenwert berechnet werden. Ein gutes Beispiel hierzu ist Aufgabe 28 (ii), in welcher die geometrische Reihe zu diesem Zweck genutzt und passend umgeformt wird. Grenzwert der Partialsummen: Im Grunde sind die Partialsummen N a n nur die Elemente einer Folge b N (siehe Kapitel.). Entsprechend ist der Reihenwert für die unendliche Summation gleich dem Grenzwert dieser Folge: a n = lim b N. Daher daher reduziert sich nach N dem Auffinden einer allgemeine Formel für die N-te Partialsumme (welche dann die Folge b N definiert) der weitere Arbeitsaufwand auf das Berechnen eines Grenzwerts. Besonders einfach ist das Auffinden einer solchen Formel für b N im Falle von Teleskopsummen, wie unter Anderem am Beispiel in Kapitel.6 zu sehen ist. Fourierreihen: Diese Art der Berechnung vor Reihenwerten basiert auf der Fourierentwicklung, welche (üblicherweise) zu Beginn von HM II eingehender diskutiert wird. l=2 l= l=2 5