Zusammenfassung Analysis für Informatik

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1 Zusmmenfssung Anlysis für Informtik Stefn Hider Sommersemester 2012 Pnholzer Prüfungsstoff , 7.5, 7.6 und 9.1 Inhltsverzeichnis 1 Folgen reeller Zhlen Beispiele für Folgen Grenzwerte und Häufungspunkte Monotonie und Beschränktheit Rechnen mit Grenzwerten Konvergenzuntersuchung Reihen wichtige Reihen Konvergenzkriterien Cuchyprodukt Potenzreihen Asymptotischer Vergleich Lndu Symbole Elementre Funktionen Polynomfunktion Rtionle Funktion Potenzen mit reellen Exponenten Exponentilfunktion Logrithmus Winkelfunktionen Grenzwerte und Stetigkeit 9 6 Differentilrechnung Ableitungen von Funktionen Ableitungsregeln Mittelwertstz Tylorreihe Erste Ableitung Zweite Ableitung Verllgemeinerter Mittelwertstz und l Hospitl

2 7 Integrlrechnung Unbestimmtes Integrl Bestimmtes Integrl Uneigentliche Integrle Differentilrechnung in mehreren Vriblen Funktionen Grenzwerte Stetigkeit Prtielle Ableitungen Differentilrechnung Tylorentwicklung Bestimmung von Extrem Differentilgleichungen Linere DGL erster Ordnung Linere DGL zweiter Ordnung mit konstnten Koeffizienten Linere DGL k-ter Ordnung mit konstnten Koeffizienten Seprble Differentilgleichungen erster Ordnung Numerische Mthemtik Bisektion Regul flsi Newton sches Näherungsverfhren Integrlrechung in mehreren Vriblen 25 2

3 1 Folgen reeller Zhlen S 139 bis S 148 Definition Folge Unter einer Folge versteht mn eine Anordnung von reellen Zhlen 0, 1, 2,... Eine weitere Schreibweise stellt ( n ) dr. Folgen können uch ls Funktionen : N R interpretiert werden. Die Zhlen n nennt mn Folgenglieder, n ist der Index des Folgenglieds. 1.1 Beispiele für Folgen 1. konstnte Folge: n = 2 2. rithmetische Folge: n = 0 + dn 3. geometrische Folge: n = 0 q n 4. rekursive Folge: n = n 1 + n Grenzwerte und Häufungspunkte ε-umgebung U ε () = ( ε, + ε) = {x R x < ε} fst lle Eine Aussge gilt für fst lle n N wenn sie für lle ußer endlich viele Ausnhmen gilt. Definition Grenzwert Eine reelle Zhl heißt Grenzwert der Folge n flls in jeder ε-umgebung von fst lle Folgenglieder n liegen. ε > 0 N(ε) N n > N(ε) : n < ε N(ε) bezeichnet den Schwellwert für ε Definition Konvergenz lim n = n Eine Folge heißt konvergent flls sie einen Grenzwert besitzt. Nullfolge Eine Folge mit dem Grenzwert 0 nennt mn Nullfolge. Uneigentliche Konvergenz Eine Folge ist uneigentlich konvergent wenn für sie gilt: lim n = n + und nennt mn uneigentliche Grenzwerte. Definition Divergenz Eine Folge heißt divergent flls sie keinen Grenzwert besitzt. Definition Häufungspunkt so ist ein Häufungspunkt. Wenn in jeder ε-umgebung von unendlich viele Folgenglieder liegen, Limes superior Limes inferior Der größte Häufungspunkt wird ls Limes superior lim sup n bezeichnet. n Der kleinste Häufungspunkt wird ls Limes inferior lim inf n n bezeichnet. Zusmmenhng Grenzwert/Häufungspunkt lim inf n n Für konvergente Folgen gilt: lim n = lim sup n = n n 3

4 1.3 Monotonie und Beschränktheit Definitionen monoton Eine Folge n heißt monoton fllend wenn gilt: n N : n+1 n streng monoton Gilt sogr n+1 < n ist die Folge sogr streng monoton fllend. steigend Anlog werden (streng) monoton wchsende Folgen definiert. obere Schrnke Schrnke von n. Supremum Besitzt eine Folge eine reelle Zhl S für die gilt n < S nennt mn S eine obere Die kleinste obere Schrnke S 0 wird somit ls Supremum (sup n ) bezeichnet. Infimum Anlog zum Supremum wird ds Infimum ls die größte untere Schrnke definiert. Vollständigkeitsstz für reelle Zhlen Jede nch oben (unten) beschränkte nicht leere Teilemenge von R besitzt ein Supremum (Infimum). Selbiges gilt für reelle Folgen Sätze Stz Jede konvergente Folge ist beschränkt. Huptstz über monotone Folgen beschränkt ist. Eine monotone Folge ist genu dnn konvergent, wenn sie 1.4 Rechnen mit Grenzwerten n und b n sind konvergente Folgen mit lim n n = und lim n b n = b. 1. lim n ( n ± b n ) = ± b 2. lim n (λ n) = λ für λ R 3. lim n ( nb n ) = b 4. lim ( n n b n ) = b flls n N : b n 0 b Uneigentliche Grenzwerte unbestimmte Formen Ds Rechnen mit uneigentlichen Grenzwerten ist nicht immer sinnvoll, d unbestimmte Formen wie entstehen. n und b n sind konvergente Folgen mit lim n = und lim b n = b. n n 1. lim n ( n + b n ) = 2. lim n (λ n) = { if λ > 0, 3. lim n ( nb n ) = flls b > 0 4. lim ( bn n n ) = 0 flls b R if λ < 0 für λ R 4

5 Bernoulli sche Ungleichung Für n N mit n 2 und x 1, x 0 gilt: (1 + x) n > 1 + nx Euler sche Zhl e = lim n (1 + 1 n )n = 2, Konvergenzuntersuchung Um Konvergenz zu zeigen muss Monotonie und Beschränktheit einer Folge bewiesen werden. Sndwich-Theorem n und b n sind konvergente Folgen deren Grenzwerte übereinstimmen. Es gilt lso lim n = lim b n =. c n ist nun eine Folge für die gilt n c n b n. Drus folgt nun, dss n n lim c n =. n Definition Teilfolge Eine Folge ( nm ) m N nennt mn Teilfolge von ( n ). Stz Für eine Folge n mit dem Häufungspunkt gibt es eine Teilfolge, die gegen konvergiert. Flls umgekehrt eine Teilfolge eine Grenzwert besitzt ist dieser Grenzwert Häufungspunkt von n. Stz von Bolzno-Weierstrß Jede beschränkte Folge n enthält einen Häufungspunkt. Definition Cuchyfolge Eine reelle Folge heißt Cuchyfolge, wenn für lle ε > 0 ein N(ε) existiert, sodss n m < ε für lle n, m > N(ε). Ds bedeutet, dss eine Folge, für welche Glieder mit großem Index nhe beieinnderliegen, eine Cuchyfolge ist. Cuchykriterium Eine reelle Folge ist genu dnn konvergent, wenn sie eine Cuchyfolge ist. 2 Reihen S 148 bis S 158 Definition Reihe Unter einer unendlichen Reihe versteht mn eine unendliche Summe n. Dbei ist n die Folge der Reihenglieder. Die Folge s n = n k heißt Prtilsummenfolge. k=0 Unter dem Grenzwert (der Summe) der Reihe versteht mn den Grenzwert der Prtilsummenfolge. Ist die Folge s n konvergent bzw. divergent heißt die Reihe dementsprechend. Stz Nullfolge Flls die Reihe n konvergiert, so ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge, d.h. lim n n = wichtige Reihen hrmonische Reihe geometrische Reihe konvergent für q < 1, divergent für q 1 n 1 1 n die Reihe ist divergent. q n die Reihe ist: 5 n=0

6 rithmetische Reihe k = n(n+1) 2 rithmetische (qudrtische) Reihe k 2 = n(n+1)(2n+1) 6 hyperhrmonische Reihe konvergent für α > 1, divergent für α 1 1 n α 2.2 Konvergenzkriterien Cuchykriterium Eine Reihe n ist genu dnn konvergent, wenn für lle ε > 0 ein N(ε) existiert, sodss m n < ε für lle m n > N(ε). k=n lternierende Reihe und negtiv sind. Eine Reihe heißt lternierend wenn die Folgenglieder n bwechselnd positiv Konvergenzkriterium von Leibniz Eine lternierende Reihe ( 1) n n ist konvergent, wenn n eine monoton fllende Nullfolge ist. bsolut konvergent Eine Reihe n heißt bsolut konvergent, wenn n konvergent ist. Eine konvergente Reihe, die nicht bsolut konvergent ist, ist bedingt kon- bedingt konvergent vergent. Stz Eine bsolut konvergente Reihe ist uch konvergent. Riemnn scher Umordnungsstz Eine bedingt konvergente Reihe lässt sich so umordnen, dss sie gegen eine beliebige Zhl (uneigentlich) konvergiert (bspw. ± ). Mjorntenkriterium Konvergenzbeweis mittels Abschätzung nch oben durch eine konvergente Reihe. 2 Reihen n und b n mit n b n für fst lle n. Flls b n konvergent ist, so ist n bsolut konvergent. In diesem Fll nennt mn b n eine Mjornte von n. Minorntenkriterium Divergenzbeweis mittels Abschätzung nch unten durch eine divergente Reihe. 2 Reihen n und b n mit 0 n b n für fst lle n. Flls n divergent ist, so ist uch b n divergent Wurzelkriterium Es gibt eine Zhl q für die gilt: n n q < 1 für fst lle n, dnn ist die Reihe bsolut konvergent. q < 1 ist wesentlich!! n n 1 für unendlich viele n, so ist die Reihe divergent. 6

7 n Limesform Aus lim sup n < 1 folgt die bsolute Konvergenz der Reihe, n n für lim sup n > 1 folgt die Divergenz. n Quotientenkriterium Es sei n 0 n N. Flls eine Zhl q existiert sodss gilt: n+1 n q < 1 für fst lle n, dnn ist die Reihe bsolut konvergent. 1 für fst lle n, dnn ist die Reihe divergent. n+1 n Limesform us lim inf n+1 n n 2.3 Cuchyprodukt Aus lim sup n+1 n n < 1 folgt die bsolute Konvergenz, > 1 hingegen die Divergenz. D die Summe einer konvergenten Reihe ls Grenzwert einer Folge definiert ist, ist es möglich die Rechenregeln für Grenzwerte direkt uf Reihen umzulegen. Rechenregeln 1. ( n + b n ) = ( n ) + (b n ) n n n 2. (λ n ) = λ ( n ) n n Definition Cuchyprodukt ( n k b n k ) k=0 Stz Sind 2 Reihen n = und b n = b bsolut konvergent, dnn ist uch deren Cuchypro- dukt bsolut konvergent und es gilt ( n k b n k ) = b k=0 2.4 Potenzreihen Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Burt n (x x 0 ) n. x 0...Entwicklungspunkt n...koeffizienten der Potenzreihe Cuchyprodukt von Potenzreihen Stz Konvergenzrdius Sei n (x x 0 ) n b n (x x 0 ) n = ( n ) k b n k (x x 0 ) n k=0 n (x x 0 ) n eine Potenzreihe. Es existiert ein Konvergenzrdius R mit 0 R, so dss die Reihe für lle x C mit: x x 0 < R bsolut konvergent, und für x x 0 > R divergent ist. 7

8 R = 1 lim sup n n n Für lim sup = : R = 0 konvergiert die Potenzreihe nur für x = 0. Für lim sup = 0 : R = konvergiert die Potenzreihe in der gesmten Guß schen Zhlenebene. Stz Potenzreihe Es existieren Konstnten c > 0 und 0 < q < 1 für eine Potenzreihe n (x x 0 ) n mit Konvergenzrdius R, so dss n (x x 0 ) n cq n für lle x mit x x 0 r gilt. 3 Asymptotischer Vergleich S 158 bis S 160 Verwendung in der Performnce-Anlyse von Algorithmen. Mittels n bezeichnen wir die Anzhl der Vergleiche. 3.1 Lndu Symbole 2 Folgen: ( n ) und (b n ) 1. n = O(b n ): n b n C n N 2. n = o(b n ): n bn = 0 lim n 3. n b n : lim n n bn = 1 Stirling sche Formel n! ( n e )n 2πn 8

9 4 Elementre Funktionen S 160 bis S 170 Definition Monotonie Anlog zu Folgen. Stz Jede uf einem Intervll I streng monotone Funktion f : I f(i) ist bijektiv und lässt sich dher umkehren. Die Umkehrung ist im gleichen Sinne monoton wie f selbst. 4.1 Polynomfunktion f(x) = n x n + n 1 x n 1 + n 2 x n x Rtionle Funktion f(x) = p(x) q(x) dbei sind p(x) und q(x) Polynomfunktionen. Zu bechten ist, dss Nullstellen von q(x) us dem Definitionsbereich usgenommen sein müssen. 4.3 Potenzen mit reellen Exponenten Stz Stz Die Funktion f n (x) : R + R + mit f n (x) = x n und n N\{0} ist stetig. Wenn Folge n Nullfolge ist, dnn gilt: lim n xn = 1 negtive Exponenten x n = ( 1 x )n rtionle Exponenten x p q = (x 1 q ) p = ( q x) p 4.4 Exponentilfunktion Eulersche Zhl e := lim(1 + 1 n )n e 2, ntürliche Exponentilfunktion llgemeine Exponentilfunktion exp(x) = e x f(x) = x Drstellungen Grenzwert einer Folge: e x = lim(1 + x n )n Potenzreihendrstellung: x n n! Funktionlgleichung: e x e y = e x+y 4.5 Logrithmus Der Logrithmus stellt die Umkehrfunktion der Exponentilfunktion dr. ntürlicher Logrithmus y = ln x x = e y 9

10 Rechenregeln ln(b) = ln + ln b ln( b ) = b ln ln( b ) = ln ln b log x = ln x ln 4.6 Winkelfunktionen Reihendrstellung 1. sin x = ( 1) n x2n+1 (2n+1)! 2. cos x = ( 1) n x2n (2n)! Zusmmenhänge tn x = sin x cos x cos 2 x + sin 2 x = 1 cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y Rest: siehe diverse Formelsmmlungen Eulersche Formel e ix = cos x + i sin x 5 Grenzwerte und Stetigkeit S 170 bis S 177 Definition Stetigkeit Eine Funktion ist stetig in einem Punkt x 0 wenn gilt: f(x 0 ) = lim f(x). x x 0 Eine Funktion ist stetig in D wenn f n jeder Stelle des Definitionsbereichs stetig ist. 10

11 Stetigkeit von Potenzreihen Eine Potenzreihe n (x x 0 ) n mit dem Entwicklungspunkt x 0 ist im Konvergenzkreis mit x < R stetig. D bei elementren Funktionen der Konvergenzrdius ist sind sie uf R stetig. Nullstellenstz von Bolzno f ist im Intervll [, b] stetig und ist für f() < 0 und f(b) > 0 dnn folgt drus, ds f mindestens eine Nullstelle besitzt. Beweis erfolgt mittels Intervllhlbierung. Zwischenwertstz f ist im Intervll [, b] stetig, drus folgt, dss f jeden Wert zwischen f() und f(b) mindestens einml nnimmt. Stz Eine streng monotone stetige Funktion besitzt eine stetige Umkehrfunktion. Stz Alle elementren Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig. Drus folgt, dss uch Zusmmensetzungen elementrer Funktionen(f(x) ± g(x), f(x)g(x), f(x) g(x) ) uf geeigneten Definitionsbereich stetig sind Unstetigkeitsstellen sind Stellen einer Funktion n denen Lücken oder Sprünge bzw. Knicke uftreten. Lücken sind bspw. Ausnhmen des Definitionsbereichs. Sprünge Entsprechen Asymptoten (z.b Tngens). Knicke entstehen bei zusmmengesetzten Funktionen. 11

12 6 Differentilrechnung S 182 bis S 204 Differenzenquotient Differentilquotient f x = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 df dx = lim f x 0 x = lim f(x 1 ) f(x 0 ) x 1 x 0 x 1 x 0 Differenzierbrkeit Eine Funktion heißt differenzierbr im Punkt x 0, flls der Differentilquotient existiert. Der Grenzwert wird Ableitung von f gennnt und folgendermßen notiert f (x 0 ). Stz Aus Differenzierbrkeit in einem Punkt folgt die Stetigkeit in diesem Punkt. 6.1 Ableitungen von Funktionen f(x) = c f (x) = 0 f(x) = x + b f (x) = f(x) = x n f (x) = nx n 1 f(x) = sin x f (x) = cos x f(x) = cos x f (x) = sin x f(x) = tn x f (x) = 1 cos 2 x = 1 + tn2 x f(x) = e x f (x) = e x f(x) = ln x f (x) = 1 x Betrgsfunktion ist nicht differenzierbr. 6.2 Ableitungsregeln Konstnte Fktoren (cf(x)) = cf (x) Linere Abbildung (f(x) ± g(x)) = f (x) ± g (x) Produktregel (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Quotientenregel ( f(x) g(x) ) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) 2 Kettenregel (f(g(x))) = f (g(x))g (x) Ableitung von Umkehrfunktionen (f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)) n-te Ableitung f (n) (x) = f (n 1) (x) d dx 12

13 6.3 Mittelwertstz Extremwerte Für ein reltives Extremum n der Stelle x 0 einer Funktion gilt f (x 0 ) = 0. Diese Bedingung ist notwendig ber nicht hinreichend um ein Extremum zu bestimmen. reltives/lokles Extremum Ein reltives Mximum ist eine Stelle x 0 einer Funktion für die gilt U ε (x 0 ) : f(x) f(x 0 ), x U ε (x 0 ) D. bsolutes/globles Extremum Ein bsolutes Mximum ist eine Stelle x 0 einer Funktion für die gilt f(x) f(x 0 ), x D. Minim sind nlog zu Mxim definiert. Stz Differenzierbrkeit f(x) ist genu dnn differenzierbr n der Stelle x 0 wenn die Funktion liner pproximierbr ist. f(x) f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) + R(x) mit R(x) = o(x x 0 ) Mittelwertstz der Differentilrechung Die Funktion f ist uf [, b] stetig und uf ], b[ differenzierbr. Dnn existiert ein ξ [, b] : f (ξ) = f(b) f() b. Stz von Rolle Die Funktion f ist uf [, b] stetig und uf ], b[ differenzierbr ußerdem ist f()=f(b). Dnn existiert ein ξ [, b] mit f (ξ) = Tylorreihe Stz Die Funktion f(x) = n (x x 0 ) n ist im Konvergenzrdius R der Potenzreihe differenzierbr. Die Ableitung erhält mn durch gliedweises Differenzieren. Dher gilt für lle x x 0 < R f (x) = n 1 n n (x x 0 ) n 1 Eindeutigkeitsstz Flls f(x) eine Potenzreihendrstellung besitzt ist diese eindeutig. Stz von Tylor f(x) = n k=0 f (k) (x 0 ) k! (x x 0 ) k + R n Restglied von Lgrnge R n = f (n+1) (ξ) (n+1)! (x x 0 ) n Erste Ableitung Monotonie Gilt f (x) 0 nennt mn die Funktion f(x) monoton steigend. Ist die strikte Ungleichung erfüllt ist die Funktion streng monoton steigen. Anloges gilt für f (x) 0 dnn nennt mn die Funktion (streng) monoton fllend Extrem Gilt f (x) = 0 und f (x) < 0 spricht mn von einem reltiven Mximum, bei f (x) > 0 von einem reltiven Minimum. 13

14 höhere Ableitungen Flls f (x) = 0 müssen höhere Ableitungen f (n) (x) betrchtet werden. 1. n gerde: f (n) (x) < 0 reltives Mximum f (n) (x) > 0 reltives Minimum 2. n ungerde: U ε dss f in U ε streng monoton ist. f (n) (x) < 0 streng monoton fllend f (n) (x) > 0 streng monoton steigend 6.6 Zweite Ableitung Die zweite Ableitung knn geometrisch ls Krümmung der Kurve gedeutet werden. Stz Ist eine Funktion f(x) 2 ml differenzierbr nennt mn die Funktion für: 1. f (x) 0 konkv/nch unten gekrümmt 2. f (x) 0 konvex/nch oben gekrümmt Die Krümmung knn uch durch eine Seknte durch die Kurve bestimmt werden Wendepunkt Mn nennt einen Punkte Wendepunkt wenn die Funktion 3 ml differenzierbr ist und gilt f (x) = 0 und f (x) Verllgemeinerter Mittelwertstz und l Hospitl Verllgemeinerter Mittelwertstz Die Funktionen f und g sind uf [, b] stetig und uf ], b[ differenzierbr. Dnn existiert eine Zwischenstelle für die gilt ξ ], b[: f (ξ) g (ξ) = f(b) f() g(b) g() Regel von de l Hospitl Die Regel von l Hospitl drf nur bei unbestimmten Formen ngewndt werden und folgt us dem verllgemeinerten Mittelwertstz. g(x) = lim g (x) f(x) lim x x 0 x x 0 f (x) Dmit die Regel ngewndt werden knn müssen f und g stetig und differenzierbr sein. 14

15 7 Integrlrechnung S 204 bis S Unbestimmtes Integrl F (x) = f(x)dx In diesem Zusmmenhng nennt mn F (x) die Stmmfunktion, f(x) den Integrnd und x die Integrtionsvrible. Ds unbestimmte Integrl wird lso dzu verwendet die Stmmfunktion zu einer Funktion zu finden. Dbei gibt es nicht nur eine Stmmfunktion sondern unendlich viele die sich lle um die Integrtionskonstnte c unterscheiden. G(x) = F (x) + c G (x) = f(x) Grundintegrle x α dx = xα+1 α+1 + c x 1 dx = 1 x dx = e x dx = e x + c sin(x)dx = cos(x) + c cos(x)dx = sin(x) + c { ln(x) + c1 für x > 0 ln( x) + c1 für x < 0 1 cos 2 (x) dx = (1 + tn 2 (x))dx = tn(x) + c 1 1+x 2 dx = rctn(x) + c für π 2 < x < π x dx = rcsin(x) + c für 1 < x < Integrtionsregeln Linerität: (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx Prtielle Integrtion: (f(x)g (x))dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx Substitutionsregel: f(g(x))g (x)dx = F (g(x)) Leibnitz-Nottion: u = g(x) = du dx = g (x) = du = g (x)dx f(g(x))g (x)dx = F (g(x)) = f(u)du Prtilbruchzerlegung Um rtionle Funktionen der Form P (x) Q(x) integrierbre Brüche ufzusplten. zu integrieren ist es notwendig diesen Bruch in einzelne 1. Zuerst wird eine Polynomdivision durchgeführt um uf diese Weise gleich einen Teil des Bruches bzusplten. 2. Fktorisieren des Nenners. 3. Anschließend wird mittels Koeffizientenvergleich der Rest ufgesplten. 15

16 Beispiel Q(x) = x 3 3x = (x + 1)(x 2) 2 P (x) = 5x 4 A x 2 + B + C (x 2) 2 x+1 Gleichung nsetzen: 5x 4 = A(x 2)(x + 1) + B(x + 1) + C(x 2) 2 Ausmultiplizieren + Trennung der Vriblen: 0x 2 + 5x 1 4x 0 = (A + C)x 2 + ( A + B 4C)x 1 + ( 2A + B + 4C)x 0 Koeffizientenvergleich: A + C = 0 A + B 4C = 5 2A + B + 4C = 4 Lösen des Gleichungssystems führt zur Prtilbruchzerlegung. 7.2 Bestimmtes Integrl Geometrisch interpretiert entspricht ds bestimmte Integrl der Fläche unter einer Kurve. f(x)dx = f(x)dx flls > b, und f(x)dx = 0 und b nennt mn Integrtionsgrenzen, x Integrtionsvrible. Jede Funktion die ein bestimmtes Integrl besitzt nennt mn integrierbr. Riemnnsumme S n = n f(ξ i )(x i x i 1 ) i=1 Bildet mn die Riemnnsumme über unendlich viele Intervlle spricht mn vom bestimmten Integrl. 1 n f(x)dx = lim n n f(ξ i ) für eine äquidistnte Zerteilung i=1 Ober-/Untersummen Wählt mn die Zwischenstelle f(ξ i ) = mx x [xi 1,x i ] f(x) spricht mn von einer Obersumme. Anlog für ds Minimum spricht mn von der Untersumme. Stz Jede uf [, b] definierte monotone Funktion ist integrierbr. stückweise stetig Stellen unstetig ist. Eine Funktion ist stückweise stetig, wenn sie uf [, b] n höchstens endlich vielen Stz Stz Jede uf [, b] stückweise stetige Funktion ist integrierbr. Für jede integrierbre Funktion f ist uch f integrierbr Regeln für bestimmte Integrle Kf(x)dx = K f(x) + g(x)dx = c b f(x)dx = c f(x)dx x [, b]f(x) g(x) f(x)dx f(x)dx + g(x)dx f(x)dx + f(x)dx c g(x)dx 16

17 b f(x)dx (b ) inf f(x) b x [,b] f(x) dx (b ) sup f(x) x [,b] f(x)dx (b ) sup f(x) x [,b] Huptstz der Differentil und Integrlrechnung Mittelwertstz der Integrlrechnung f(x)dx = f(ξ)(b ) Huptstz f ist eine uf [, b] stetige Funktion. Dnn ist F (x) = f. Jede beliebige Stmmfunktion F von f erfüllt: f(x)dx = F (b) F () x f(t)dt eine Stmmfunktion von Substitutionsregel für bestimmte Integrle f(u)du = d f(g(x))g (x)dx c 7.3 Uneigentliche Integrle erster Art f(x)dx = uf [, b) definiert und uf [, c] [, b) integrierbr. Außerdem gilt lim f(x) = ±. x b lim c c b f(x)dx ist uneigentliches Integrl erster Art. Mn bezeichnet ds Integrl ls konvergent oder divergent je nchdem ob der Grenzwert im eigentlichen Sinn existiert oder nicht. zweiter Art uf [, b] [, ) integrierbr. f(x)dx = lim f(x)dx ist uneigentliches Integrl zweiter Art. b Gmmfunktion Γ(x) = e t t x 1 dt 0 Die Gmmfunktion stellt eine verllgemeinerung der Fkultät dr. Γ(n + 1) = n! Mjorntenkriterium für Integrle f(x) g(x): 1 g(x)dx konvergent 1 f(x)dx konvergent. Integrlkritierium f(x) konvergent. n=1 f eine nichtnegtive monoton fllende Funktion: 1 f(x)dx ist konvergent wenn 17

18 8 Differentilrechnung in mehreren Vriblen bitte bechten, dss es sich bei fst llen Vriblen in diesem Abschnitt um Vektoren und nicht Sklre hndelt. Vektoren sind nicht immer ls dergleichen gekennzeichnet, llerdings ist us dem Kontext ersichtlich ds es sich um Vektoren hndelt. S 225 bis S Funktionen Es gibt nlog zu Funktionen in einer Vrible, linere Funktionen, Polynomfunktionen sowie elementre Funktionen in mehreren Vriblen. Drstellung Die Drstellung von Funktionen in mehreren Vriblen geschieht entweder über Niveulinien (=Isohypen, vergleichbr mit Höhenschichtlinien bei Krten) oder mit Flächen im Rum. Mn unterscheidet: 1. sklrwertige Funktionen f : R n R 2. vektorwertige Funktionen f : R n R m für Funktionen wo m = n gilt nennt mn die Funktion ein Vektorfeld. 8.2 Grenzwerte ε-umgebung U ε x 0 = {x R n x x 0 < ε} Diese Definition der Umgebung lässt die geometrische Interprettion eines Kreis (für n = 2) bzw. einer Kugel (für n = 3) zu. Grenzwert Der Limes ist nlog zu Funktionen in einer Vrible definiert, nur ds mn hierbei Vektoren nsttt Sklren betrchtet. Notiert wird ds gnze folgendermßen 8.3 Stetigkeit lim f x = c x x 0 Stetigkeit in Punkt Eine Funktion heißt stetig n der Stelle x 0, wenn sowohl Grenzwert ls uch Funktionswert n dieser Stelle übereinstimmen. lim f x = f( x 0 ) x x 0 Stetigkeit uf Definitionsbereich Eine Funktion heißt stetig uf D wenn f n jeder Stelle x 0 stetig ist. Dbei ist wichtig, dss die Annäherung n x 0 nicht nur gerde von verschiedenen Richtungen erfolgen drf. Es ist notwendig sich z.b. rdil nzunähern. Etws konkreter muss der Limes für jede Annäherungsfolge übereinstimmen. offene Menge Eine Menge heißt offen, wenn us x D, dss es eine U ε ( x) D gibt. bgeschlossene Menge Eine Menge heißt bgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder Konvergenten Folge n D wieder in D liegt. kompkte Menge Eine bgeschlossene beschränkte Menge ist kompkt. Stz ist D eine kompkte Menge und f eine stetige Funktion ist f uf D beschränkt und besitzt ein Extremum. 18

19 8.4 Prtielle Ableitungen Die prtiellen Ableitungen sind wie Ableitungen einer Funktion in einer Vrible nzuwenden. Nur leitet mn in lle verschiedenen Koordintenrichtungen b. Also bei einer Funktion in 2 Vriblen leitet mn nch x und nch y b. Die jeweiligen nderen Vriblen betrchtet mn ls Konstnten. Mn definiert nun 2 Grenzwerte ls prtielle Ableitungen: und f x (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = lim x x 0 f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x x 0 f y (x 0, y 0 ) = f y (x 0, y 0 ) = lim y y 0 f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) y y 0 Existieren beide Grenzwerte heißt die Funktion prtiell differenzierbr. Sind die Ableitungen stetig heißt sie stetig prtiell differenzierbr Prtielle Ableitungen höhere Ordnung Die höheren Ableitungen werden wieder rekursiv definiert, nur gibt es diesml eine Mischform. f xx (x, y) = 2 f x 2 (x, y) = f x (x, y) x f xy (x, y) = 2 f x y (x, y) = f x (x, y) y f yx (x, y) = 2 f y x (x, y) = f y (x, y) x f yy (x, y) = 2 f y 2 (x, y) = f y (x, y) y Tngentilebene Die Tngentilebene im Punkt x 0, y 0 ist beschrieben durch: x x y z = y 0 f(x 0, y 0 ) + λ 0 f x (x 0, y 0 ) + µ 1 f y (x 0, y 0 ) Stz von Schwrz Für eine Funktion deren prtielle Ableitungen f xy und f yx existieren und stetig sind, gilt f xy = f yx. Ist f m-ml stetig prtiell differenzierbr, so sind lle prtiellen Ableitungen bis zur Ordnung m unbhängig von der Reihenfolge der Differentition. Differenttion von vektorwertigen Funktion Eine vektorwertige Funktion ist prtiell differenzierbr wenn lle Koordintenfunktionen differenzierbr sind. 8.5 Differentilrechnung totle Ableitung Eine Funktion nennt mn im Punkt x 0 totl differenzierbr flls eine linere Abbildung f : R n R m existiert, so dss gilt: f(x) = f(x 0 ) + f (x x 0 ) + R(x) für den Rest R(x) gilt: lim x x 0 R(x) x x 0 = 0 19

20 Jcobi-Mtrix Die Mtrix A = (grd f) T der oben beschriebenen lineren Abbildung f nennt mn Jcobi-Mtrix (Funktionlmtrix). Diese Abbildung ist die Ableitung der Funktion f im Punkt x 0. Grdient Der Grdient entspricht der trnsponierten Funktionlmtrix A. f f x1 x f x2 1 f grd f =. = x 2 vollständiges Differentil f xn. f x n df = grd f( x 0 )d x = f x1 dx f xn dx n Jcobi-Mtrix für vektorwertige Funktionen A = f x = f 1 x f m x 1... f 1 x n. f m x n Ableitungsregeln (sklrwertige Funktionen) Summenregel Produktregel Kettenregel ( f + g) = f + g grd h( x 0 ) = f( x 0 ) grd g( x 0 ) + g( x 0 ) grd f( x 0 ) f x = n i=1 f dg i g i dx Kettenregel für vektorwertige Funktionen Entspricht Mtrizenmultipliktion der Jcobi-Mtrizen. Huptstz über implizite Funktionen Richtungsbleitungen y (x) = F x(x, y(x)) F y (x, y(x)) f f( x + v) f( x) ( x) = lim = grd f( x) v v t 0 t Grdientenrichtung Die Ableitung ist in Grdientenrichtung m größten und beträgt grd f 20

21 8.6 Tylorentwicklung Grundsätzlich lässt sich die Formel us der, der Tylorentwicklung in einer Vrible einfch herleiten. Mn muss jetzt nur die prtiellen Ableitungen in lle Richtungen berücksichtigen. D die Summenschreibweise bsolut unübersichtlich ist, notiere ich die Formel hier nur beispielhft: f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + 1 1! ((x x 0) f x (x 0, y 0 ) + (y y 0 )f y (x 0, y 0 )) + 1 ( (x x0 ) 2 f xx (x 0, y 0 ) + 2(x x 0 ) f xy (x 0, y 0 ) (y y 0 ) + (y y 0 ) 2 f yy (x 0, y 0 ) ) + 2! 1 ( (x x0 ) 3 f xxx + 3(x x 0 ) 2 (y y 0 ) f xxy + 3(x x 0 ) (y y 0 ) 2 f yyx + (y y 0 ) 3 ) f yyy ! Hesse-Mtrix Die Mtrix der prtiellen Ableitungen 2. Ordnung nennt mn Hesse-Mtrix. Mn notiert sie folgendermßen: f x1 x 1 (x 1,..., x n )... f x1 x n (x 1,..., x n ) H f =..... f xnx1 (x 1,..., x n )... f xnxn (x 1,..., x n ) 8.7 Bestimmung von Extrem Stz Eine Funktionf ht in x ein reltives Extremum. Dnn gilt grd f( x) = 0 Punkte für die der Stz gilt nennt mn sttionäre Punkte. In diesen Punkten ist die Tngentilebene wgrecht. Die Anstiege in lle Koordintenrichtungen ist 0. Diese Bedingung für reltive Extrem ist llerdings nur notwendig ber noch nicht hinreichend. Stz Definitheit der Hesse-Mtrix Ist ein Punkt x 0 ein sttionärer Punkt und ist H( x 0 ) positiv definit dnn besitzt f n der Stelle x 0 ein reltives Minimum. negtiv definit dnn besitzt f n der Stelle x 0 ein reltives Mximum. indefinit dnn besitzt f n der Stelle x 0 einen Sttelpunkt Bestimmung der Definitheit Mtrix G heißt positiv definit: f( x) = x T G x > 0, x R n \ {0} Mtrix G heißt negtiv definit: f( x) = x T G x < 0, x R n \ {0} Ansonsten heißt Mtrix G indefinit. Wie feststellen ob positiv/negtiv definit? 1. Spektrlstz: positiv definit: lle Eigenwerte 0 negtiv definit: lle Eigenwerte 0 indefinit: Mischung 2. Huptminorenkriterium positiv definit: lle Huptminoren > 0 negtiv definit: lle ungerden Huptminoren < 0, lle gerden Huptminoren > 0 indefinit: det(h f ) < 0 21

22 Spektrlstz In einer symmetrischen reellen Mtrix R n n gilt: Es gibt reelle Eigenwerte und eine zugehörige Orthonormlbsis von Eigenvektoren. λ 1 0 A = P P T 0 λ n Die Huptminoren einer Mtrix bestimmen sich us den Determinn- Huptminorenkriterium ten der Untermtrizen. Beispiel A = Huptminor = det(a 1 ) = 1; 2.Huptminor = det(a 2 ) = Huptminor = det(a 3 ) = Extrem mit Nebenbedingungen Reduktionsmethode Ausdrücken einer Vrible durch die ndere. Anschließend einfche Bestimmung des Extremwertes. Methode der Lgrnge schen Multipliktoren Flls f in x 0 ein reltives Extremum unter den Nebenbedingungen g 1 ( x) = 0; g 2 ( x) = 0;... g m ( x) = 0; besitzt und flls liner unbhängig sind, dnn existieren Vektoren die die Funktion grd g 1 ( x 0 );... grd g m ( x 0 ); λ 1... λ m R m F ( x, λ 1,..., λ m ) = f( x) bilden. Diese Funktion erfüllt dnn die Gleichung m λ j g( x) j=1 grd F ( x, λ 1,..., λ m ) = 0 Drus lässt sich dnn ein lineres Gleichungssystem uslesen. Durch einsetzen in die Nebenbedinungen erhält mn dnn konkrete Kndidten-Punkte welche dnn noch näher überprüft werden müssen. 22

23 9 Differentilgleichungen S 289 bis S 302 Differentilgleichungen sind Gleichungen in denen Ableitungen der Funktion vorkommen. Wie schon bei den Differenzengleichungen gilt y(x) = y h (x) + y p (x). Die Lösung der DGL ist lso die Lösung der homogenen DGL + die Prtikulärlösung der inhomogenen DGL. Ordnung Die Ordnung der DGL ist durch die höchste uftretende Ableitung gegeben. 9.1 Linere DGL erster Ordnung y (x) + (x)y(x) = s(x) dbei ist y(x) die gesuchte Funktion, (x), s(x) sind stetige Funktionen und s(x) ist die Störfunktion. 1. s(x) = 0 homogene DGL 2. s(x) 0 inhomogene DGL Grundsätzliches Vorgehen 1. Lösung der homogenen DGL mittels Trennung der Vriblen 2. Bestimmung der prtikulären Lösung mittels Vrition der Konstnten 3. ermitteln der Lösungsgesmtheit y(x) = y h (x) + y p (x) homogene DGL (Trennung der Vriblen) In der Leibniz-Schreibweise sieht ds Gnze folgendermßen us: dy dy dy +(x)y = 0 dx y = (x)dx y = (x)dx ln( y ) = (x)dx+c y h (x) = e C e (x)dx Lösung A(x) = (x)dx und c = e C : y h (x) = ce A(x) inhomogene DGL (Vrition der Konstnten) Ersetzen der Konstnte c in der homogenen Lösung durch c(x) y p (x) = c(x)e A(x) Einsetzen der ngesetzten Prtikulärlösung in die ursprüngliche DGL c (x) + (x)y(x) = s(x) Lösen der Gleichung und einsetzen von c(x) in y p (x). Mn erhält eine Prtikulärlösung wie: y p (x) = e A(x) s(x)e A(x) dx 23

24 9.2 Linere DGL zweiter Ordnung mit konstnten Koeffizienten Exponentilnstz Bei den Differenzengleichungen gb es den Potenznstz. Dieses Konzept gibt es uch bei den DGL. Hier heißt dieser Anstz Exponentilnstz. Dzu setzt mn y h (x) = e λx n. Diesen Anstz setzt mn in die homogene DGL ein. y + y + by = 0 λ 2 e λx + λe λx + be λx = 0 λ 2 + λ + b = 0 Mittels dieser chrkteristischen Gleichung knn mn dnn die Nullstellen suchen. Dbei gibt es 3 Fälle: 1. λ 1 λ 2 2 reelle Lösungen D > 0 C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x 2. λ 1,2 = α ± iβ 2 konjugiert komplexe Lösungen D < 0 3. λ 1 = λ 2 1 reelle Lösung D = 0 (Resonnzfll) Methode des unbestimmten Anstzes e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx) (C 1 + C 2 x)e λ 1x Bei dieser Methode wird ein Versuchslösung zur entsprechenden Störfunktion gesucht. Dbei verwendet mn die Ansätze us der untenstehenden Tbelle. Dbei ist der sogennnten Resonnzfll zu bechten. Resonnzfll Vom Resonnzfll spricht mn, wenn ein Summnd der Versuchslösung bereits Lösung der homogenen Gleichung ist. Dnn ist der Lösungsnstz mit x (gegebenenflls sogr mehrfch) zu multiplizieren. Genuer wird der Exponent zu x über die Vielfchheit von r bestimmt. Zwr folgendermßen x V (r). Dbei bezeichnet V (r) die Vielfchheit von r ls Nullstelle des chrkteristischen Polynoms. Bestimmung der Vielfchheit Ht ds Polynom für r keine Nullstellen ist V (r) = 0, ht ds Polynom und die erste Ableitung eine Nullstelle für r ist V (r) = 2. Beispielsweise beim Anstz y p (x) = Ae 2x x V (r) und dem chrkteristischen Polynom λ 2 + 4λ + 4 = 0 ist die Vielfchheit V (r) = 2. Wie mn leicht durch Einsetzen von 2 ls λ überprüfen knn mögliche Versuchslösungen Störfunktion Versuchslösung 1 A e rx Ae rx sin(rx) oder cos(rx) A sin(rx) + B cos(rx) x + 2 x k x k A 0 + A 1 x + A 2 x A k x k ( x + 2 x k x k )e rx (A 0 + A 1 x + A 2 x A k x k )e rx 24

25 9.3 Linere DGL k-ter Ordnung mit konstnten Koeffizienten Anlog zu DGL zweiter Ordnung lösbr. Ds heißt ebenflls mit Exponentilnstz. Ds chrkteristische Polynom ht folgende Form: λ k + k 1 λ k λ + 0 = 0 Die Lösung in den komplexen Zhlen (P sind dbei die Polynome vom Grd k): y(x) = P 1,k1 1(x)e λ 1x P l,kl 1(x)e λ lx Bei Störfunktionen ist wiederum der unbestimmte Anstz zu verwenden. 9.4 Seprble Differentilgleichungen erster Ordnung y = f(x)g(y) Mn führt wiederum Trennung der Vriblen durch. Alle y uf eine Seite, lle x uf die ndere Seite. Anschließend knn mn uf beiden Seiten nch den jeweiligen Vriblen integrieren und erhält somit eine llgemeine Lösung der DGL. 25

26 10 Numerische Mthemtik S 388 bis S 395 kommt whrscheinlich nicht zur Prüfung m Bisektion Intervllhlbierung zum finden von Nullstellen Regul flsi x n+1 = x n 10.3 Newton sches Näherungsverfhren x n x n 1 f(x n ) f(x n 1 ) f(x n) x n+1 = x n f(x n) f (x n ) 11 Integrlrechung in mehreren Vriblen kommt nicht zur Prüfung m