Mathematik: Mag. Wolfgang Schmid Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 EXTREMWERTAUFGABEN

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1 Mtemtik: Mg. Wolfgng Smid beitsbltt Semeste BEITSBLTT 11 EXTEMWETUFGBEN In diesem beitsbltt befssen wi uns mit ufgben, bei denen einem gegebenen Köpe ein ndee Köpe eingesieben ode umsieben wid. Beispiel: Einem Dekegel (,) weden Dezylinde eingesieben. Beene die Mße, den uminlt und die Obefläe jenes Zylindes, de ds gößte Volumen t. Lösung: Die bmessungen des Dekegels (,) betten wi wiede ls gegeben. Einem Köpe einen ndee einseiben bedeutet, dss de innee Köpe den äußeen beüen soll. Wenn wi nun eine Skizze de beiden Köpe men wollen, so ist diese wegen de Deidimensionlität swieig zu gestlten. Deslb sneiden wi unsee Köpe fü die Skizze pktis in de Mitte du. Die bmessungen des Dezylindes nenne i und : ls Estes müssen wi die uptbedingung ufstellen. In diesem Beispiel soll ds Volumen des Dezylindes mximl weden. Folgli lutet die uptbedingung: B : V π D π den gesmten usduk multipliziet, können wi dies Einfeit lbe weglssen: B : V Nun benötigen wi lso eine Bezieung zwisen und, wobei wi no und vewenden düfen, d diese j gegeben sind (Wi 1

2 Mtemtik: Mg. Wolfgng Smid beitsbltt Semeste bendeln dies wiede wie Zlen. Dzu seen wi uf unsee Skizze, wo wi zwei änlie Deieke finden. I zeine diese ein: D D E E B B nmekung: Änlie Deieke sind Deieke, bei denen die Winkel glei goß sind. D die beiden Obigen Deieke änli sind, können wi folgli den Stlenstz uf diese Deieke nwenden, d. Die Deieksseiten steen im gleien Veältnis. I tge die Länge de Seiten ein: - Wi elten ls Nebenbedingung: NB : ( 1)

3 Mtemtik: Mg. Wolfgng Smid beitsbltt Semeste Dies setzen wi nun in die uptbedingung ein: B : V V Bevo wi diffeenzieen multiplizieen wi no die Klmme us: V Nun diffeenzieen wi. Beten sie wiedeum, dss und pktis Zlen sind. Wi diffeenzieen n de Viblen : V ' Wi setzen die 1.bleitung Null und beenen : 0 Wi eben eus: 0 [ 0 1 ] Dies ist ntüli keine sinnvolle Lösung. 0 + : Wi küzen und elten: Wi setzen in die Nebenbedingung ein, um u zu emitteln: Wi beseitigen den Doppelbu: 1 Wi küzen:

4 Mtemtik: Mg. Wolfgng Smid beitsbltt Semeste Nun lässt si zusätzli ds Volumen emitteln. llgemein lutet dies: V π Wi setzen fü und ein: V π Wi qudieen: 4 V π 9 4 π V 7 Nun emitteln wi no die Obefläe. Diese lutet llgemein: O π + π Wi setzen wiede ein: O π + π Wi qudieen: 4 O π + π 9 Wi fssen zusmmen: 8 π π O Wi seiben lles uf einen Bu: 8 π + π O 9 Übung: Übungsbltt 11; ufgben

5 Mtemtik: Mg. Wolfgng Smid beitsbltt Semeste Beispiel: Einem Dekegel (,) wid ein qudtise Qude von möglist goßem Volumen eingesieben. Wele bmessungen t de Qude? Lösung: Men sie si zunäst einml wiede von diese ufgbe ein Bild. De entseidende Punkt bei diese ufgbe ist, dss si Kegel und Qude in den Ekpunkten beüen. Wenn wi nun bei diese Konstelltion einf wie beim esten Beispiel entlng de Mitte des Qudes dusneiden wüden, so wäe dies ungünstig, d si j Qude und Kegel in den Ekpunkten beüen und nit bei de Mitte de Seiten. Die Skizze wüde dnn so usseen: D si die beiden Köpe nit beüen, können wi ie u keine Bezieung zwisen den gegebenen Gößen estellen. Dies ist lso ungünstig. 5

6 Mtemtik: Mg. Wolfgng Smid beitsbltt Semeste Stttdessen sneiden wi die beiden Köpe entlng de Digonle du: B Dmit bekommen wi nun genu folgende Snittfigu: Wenn wi nun die entspeenden Längen einzeinen, so beten sie, dss die Gundknte des eteks de Digonle des Qudts des Qudes entspit. Wenn wi lso die Seitenlänge des Qudes mit und seine öe mit bezeinen, so ist die Digonle lng. I zeine nun die Längen ein: 6

7 Mtemtik: Mg. Wolfgng Smid beitsbltt Semeste Dieses Poblem des Digonlsnitts t mn imme, wenn mn einem unden Köpe einen ekigen einseibt ode einem ekigen Köpe einen unden Köpe umseibt. Meke: Beim Ein- und Umseiben von Kegeln, Zylinden, Pismen ode Pymiden gilt imme fü die Skizze: Wid einem unden Köpe ein ekige Köpe eingesieben ode einem ekigen Köpe ein unde umsieben, so muss mn imme entlng de Digonle dusneiden, nsonsten entlng de Seitenmitte. Ndem wi die Skizze nun ben, können wi mit de uptbedingung beginnen. Ds Volumen des Qudes soll mximl weden: B : V Nun suen wi wiede eine Bezieung zwisen und, wobei wi und vewenden düfen, d diese j pktis gegeben sind. Dzu müssen wi wiede zwei änlie Deieke us unsee obigen Skizze ekennen: 7

8 Mtemtik: Mg. Wolfgng Smid beitsbltt Semeste 8 Nun können wi uf diese beiden Deieke wiede den Stlenstz nwenden: : NB Diese fome i nun n um: ( ) 1 Wi setzen in die uptbedingung ein: V B : V Wi multiplizieen die Klmme us: V Nun diffeenzieen wi n. Vegessen sie bitte nit, dss beknnt ist:

9 Mtemtik: Mg. Wolfgng Smid beitsbltt Semeste 9 ' V Wi setzen die 1. bleitung Null: 0 Wi können euseben: 0 Es folgt, dss 1 0 ist, ws be keine sinnvolle Lösung ist. Die zweite Lösung elten wi, wenn wi die Klmme Null setzen: ) ( : Wi küzen und seiben ls : Wi küzen und bekommen ls Egebnis: Nun setzen wi in die Nebenbedingung ein, um zu beenen: Wi lösen den Doppelbu uf: 1 Wi küzen: Übung: Übungsbltt 11; ufgben 59-60