Theoretische Physik I bei Prof. A. Rosch

Transkript

1 Vorlesungsmitschrift Theoretische Physik I bei Prof. A. Rosch von M. & O. Filla 08. Dezember 2016 Wiederholung der Lagrange Gleichungen Wir wissen, dass für unsere Funktionale S gilt: S = δs = 0 t 0 Lx, ẋ, t dt = S[x + δx] S[x] = δx x + δẋ ẋ t1 = δx x + d + 0, dt ẋ wobei wir für die Randbedingungen δxt 0 = δxt 1 = 0 sagen können. Daraus folgt dann d dt ẋ = x. 1 Dies gilt für alle Koordinaten. Wollen wir umparametrisieren, so können wir sagen, dass fx 2 dx = gx dx, wobei gx = fx 2 gilt. Kommen zusätzlich Zwangsbedingungen ins Spiel, wählen wir zunächst eine Parametrisierung für die Zwangsmannigfaltigkeit und setzen diese dann in die Euler Lagrange Gleichungen ein. 1

2 Beispiel: Block auf beweglichem Keil Nehmen wir als Beispiel einen Block auf einem beweglichem Keil an, wie in Abb. 1 dargestellt. Abbildung 1: beweglicher Block auf einem beweglichem Keil Der Keil hat die Position x K und die Masse M. Für den Block gilt an der Position x, dass sein Ortsvektor r = x, y T mit y = tanαx x K ist. L = T V = 1 2 Mẍ2 K mẋ2 + ẏ 2 mgy = 1 2 Mẍ2 K mẋ mtanαẋ ẋ K 2 mg tanαx x K = Lx K, x, ẋ K, ẋ Wenden hierauf wieder Euler Lagrange an d = Mẍ K m tan 2 αẍ ẍ K dt ẋ K ẋ = mẍ + m tan2 αẍ ẍ K! = = mg tanα x K! = x = mg tanα und addieren beide Anteile der Gleichung aufeinander auf. Mẍ K + mẍ = 0 ẍ = M m ẍk 1 + tan 2 α 1 + m ẍ K = m M M tanα 4.5 Von Newton zu Lagrange: d Alembertsches Prinzip Unser Ziel: 1. Wir wollen die Äquivalenz der Lagrange-Gleichungen 1. Art d. h. Newton Gleichungen mit Zwangsbedingungen mit den Euler Lagrange Gleichungen zeigen. 2. Wir wollen in unseren Gleichungen Zwangsbedingungen und Reibung als nicht konservative Kraft haben. 2

3 Ausgangspunkt Unser Ausgangspunkt ist der D = d n dimensionale Konfigurationsraum x R D, wobei wir für x sagen r 1 x =.. r n Für unsere Freiheitsgrade f gilt zudem f = D K, wobei K die Anzahl der Zwangsbedingungen ist. Bekannterweise schreiben wir für die Newton Gleichung Mẍ = F + F Z, wobei für die Zwangskräfte F Z F Z = K λ i f i i=1 gilt. Wählen wir nun geeignete verallgemeinerte Koordinaten q 1,..., q f zur Parametrisierung der Zwangsmannigfaltigkeit. x = xq 1,..., q f, t mit f x q, t, t = 0 Beispiel Gehen wir vom Beispiel eines Pendels aus. Abbildung 2: Der Radialabstand bleibt erhalten Betrachten wir hier eine infinitisimale Änderung δ r von x, die verträglich mit den Zwangsbedingungen ist. Dies bedeutet von uns, dass das Pendel die erlaubte Bahnkurve nicht verlassen kann, wie in Abb. 2 zu sehen ist, d. h. sein Radialabstand zur Aufhängung bleibt erhalten. 3

4 f x + δ r, t = 0 + O δr 2 falls f x, t = 0 δ r f i = 0 Wir betrachten also eine virtuelle Verrückung δ r, die orthogonal zu den Zwangskäften und parallel zur Mannigfaltigkeit ist. Wir nutzen dann die Parametrisierung x q, t δ r = f i=1 x δq i. Wir haben hier f linear unabhängige Vektoren x, die den Tangentialraum aufspannen. Um an dieser Stelle weiterzukommen, verwenden wir einen Trick: Wir multiplizieren die Gleichung Mẍ = F + F Z d Alembertsche Prinzip. mit δ r und erhalten somit das M x F δ r = 0 2 Wir haben nun die Zwangskräfte eliminiert. Für beliebig kleine Verrückungen verwenden wir jetzt: f k=1 M x F x d = 0 q K dq K Wir nutzen eine Diagonalmatrix M für alle Massen die wir haben und schreiben Dies führt zu den f Gleichungen x T x M =, q x T M x. k k [1, f]: x T M x = F x 3 Wir benutzen nun zuerst, das x = d dt x q t, t = t i=1 x q i = x x q i + x t. 4

5 Dies ist eine Funktion, die von q, q un abhängt. Als nächstes nutzen wir d x = x x. dt Wichtig ist, dass wir hierbei beachten, dass t die partielle Zeitableitung ist und nicht mit der totalen Zeitableitung identisch ist. Wir kontrollieren daher diese Aussage: Daraus folgt dann: x = j=1 = = x x T M x = x T M x q k = x T M x q k 1 = q k = q k f 2 x q j + 2 x q j q t x q j + x q j t x T x M q k x T M x q k 2 x T M x q k T 1 2 x T M x Wir beachten hierbei, dass für die kinetische Energie T = 1 xm T x gilt. Wir kommen 2 somit auf die Gleichung d T = dt q k T + F q x. 4 k Die hier verwendete Kraft F sei dabei eine ganz allgemeine Kraft mit der Form: F = F x q t, t, x q t, q t, t, t Wir haben also bis jetzt f DGL 2. Ordnung, die Bewegungen mit Zwangsbedingungen für beliebige Koordinaten q 1,..., q f beschreiben. Falls zusätzlich eine Kraft F der folgenden Form existiert F = V F x = V x q t, t, t, 5

6 dann gilt d L = L dt q k L = T V Was wir bisher erreicht haben: Die Herleitung der Euler Lagrange Gleichungen für verallgemeinerte Koordinaten aus der Newton Gleichung mit zusätzlichen Zwangsbedingungen für konservative Kräfte haben wir geschafft, dies schließt die Reibung als eine nicht konservative Kraft allerdings aus! Damit sind alle Annahmen, wie die Form der Zwangskräfte oder auch die Form des Hamiltonischen Prinzips, äquivalent. Neu dazugekommen ist d Alembert Gleichung 4, die anwendbar ist, wenn keine Lagrange Funktion existiert. Betrachten wir nun die Reibung, oder allgemeiner: nicht konservative Kräfte. Beispiel Betrachten wir ein starres Doppelpendel mit Reibung Abb. 3. Abbildung 3: aneinander gekoppelte Pendel Wie zu sehen sind die jeweiligen Pendellängen l 1 und l 2 gleich groß. sinϕ 1 sinϕ 2 r 1 = l und r 2 = r 1 + l cosϕ 1 cosϕ 2 Für die Geschwindigkeit ergibt sich dann entsprechend cosϕ 1 r 1 = l ϕ 1 und r2 = r cosϕ l ϕ 2 sinϕ 1 sinϕ 2. 6

7 Ohne Reibung lautet die Lagrange Gleichung dann L = 1 2 m 1 r m 1 r 2 2 m 1 gy 1 m 2 gy 2 = 1 2 m 1l 2 ϕ m 2l 2 ϕ ϕ ϕ 1 ϕ 2 cosϕ 1 ϕ m 1 gl cosϕ 1 + m 1 gl cosϕ 1 + cosϕ 2. Wir wissen, dass für die Lagrange Gleichung folgendes gilt: q i = δs = 0 Gehen wir nun von der Newton Gleichung in die d Alembertschen Gleichung, gilt: T q i = T + F x Dies ist äquivalent für F = V und L = T V, aber auch für die Reibung. In unserem Beispiel haben wir also: [ = m 1 l 2 ϕ 1 + m 2 l ϕ 1 + ϕ 2 cosϕ 1 ϕ 2... ϕ 1 ] ϕ 1 ϕ 2 sinϕ 1 ϕ 2 + ϕ 2 2 sinϕ 1 ϕ 2! = = m 2 l 2 ϕ 1 ϕ 2 sinϕ 1 ϕ 2 m 1 gl sinϕ 1 m 2 gl sinϕ 1 Dies gilt analog für ϕ 2. Betrachten wir das ganze nun mit Reibung. Für die Kräfte gilt dann F R1 = γ 1 r1 und F R2 = γ 2 r2. F R1 r 1 cosϕ 1 cosϕ 1 cosϕ 1 = γ 1 ϕ 1 l l ϕ 1 sinϕ 1 sinϕ 1 sinϕ 1 = γl 2 ϕ 1 F R2 r 2 ϕ 2 = γ 2 l 2 ϕ 1 + ϕ 2 cosϕ 1 ϕ 2. 7

8 Mit d Alembert folgt ergibt sich dafür: Analog gilt für ϕ 2 : ϕ 1 = + F R1 r 1 + F R2 r 2 ϕ 1 = m 2 m 1 + m 2 ϕ2 cosϕ 1 ϕ 2 + ϕ 2 2 sinϕ 1 ϕ 2... gl sinϕ 1 γ 1 + γ 2 m 1 + m 2 ϕ 1 γ 2 m 1 + m 2 ϕ 2 cosϕ 1 ϕ 2 ϕ 2 = ϕ 1 cosϕ 1 ϕ 2 + ϕ 2 1 sinϕ 1 ϕ 2... g l sinϕ 2 γ 2 m 2 ϕ 2 + ϕ 1 cosϕ 1 ϕ 2 Betrachten wir nun die Grenzfälle, bei denen eine der beiden Reibungen extrem groß ist. γ 1 ϕ 1 = 0 mit ϕ 2 = const γ 2 ϕ 2 + ϕ 1 cosϕ 1 ϕ 2 = 0 5 ϕ 1 + ϕ 2 cosϕ 2 ϕ 1 = 0 6 Für den Fall, dass γ 2, wird γ 1 = 0. Rechnen wir 5 ± 6, so erhalten wir Wir können dies auch als ϕ 1 ± ϕ 2 1 ± cosϕ 1 ϕ 2 = 0 und ϕ 1 = ϕ 2 = 0. ϕ 1 ϕ 2 = const π schreiben. 8