Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8"

Michael Weiss
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Prof Dr Peter Otte WiSe 203/4 Lösug Übuge zur Aalysis für Iformatiker ud Statistiker Lösug zu Blatt 8 Aufgabe 8 [8 Pukte] (a) Für alle N sei = (+) Wir wisse bereits, dass = kovergiert (64(iii)) Bereche Sie lim sup, sowie lim sup + Ist das Wurzel- oder das Quotietekriterium awedbar, um über die Kovergez vo k= zu etscheide? [3 Pukte] Beweis Wege folgt + ( ) 2 für fast alle, ud damit lim + = Es gilt also ( ) ( ) lim sup a = lim lim = + Es gilt außerdem: lim sup + = lim = Es ist also weder das Wurzel- och +2 das Quotietekriterium awedbar, obwohl die Reihe kovergiert (b) Sei die Folge ( ) N defiiert durch := { 2 falls gerade 2 2 falls ugerade Utersuche Sie die Kovergez der Reihe = mit dem Wurzel-, Quotieteud dem Majoratekriterium [3 Pukte] Beweis Es ist + {, 2} Isbesodere gilt also lim sup 8 + = 2 >, sowie lim if + = <, weshalb das Quotietekriterium keie Aussage liefert 8 Weiter gilt lim sup / = lim (4 2 ) / = lim 2 4 = <, wobei wir beutzt 2 habe, dass lim 4 =, de < 4 für alle 4 Die Reihe kovergiert also ach dem Wurzelkriterium Die schellste Methode liefert allerdigs das Majoratekriterium, de 4 2 ud ( 2 ) kovergiert (geometrische Reihe, vgl auch 73a) (c) Zeige Sie, dass = absolut kovergiert [2 Pukte]

2 Beweis Mit b := ( )( ) gilt := = = b 2 Da lim b =, ist (b 3 ) N isbesodere beschräkt Es gibt also eie Kostate C > 0, sodass C für alle N Wege 2 2 < (73d), folgt die Kovergez vo aus dem Majoratekriterium Aufgabe 82 [Raabekriterium; 8 Pukte] (a) I dieser Aufgabe beweise wir folgede Verfeierug des Quotietekriteriums: Ist ( ) N eie Folge, sodass 0 N ud β > existiere, mit + β 0 ( ) so ist die Reihe = absolut koverget Bemerkug: Ma sagt, dass eie Aussage A() fast immer gilt, falls sie ur für edlich viele N falsch ist, dh falls ei 0 N existiert, sodass A() für alle 0 gilt (i) Setze Sie α := ud zeige Sie uter der Aahme vo ( ), dass fast immer gilt: (β )α ( )α α + [ Pukt] Beweis Aus ( ) folgt α + α βα für fast alle Ziehe wir auf beide Seite α ab ud brige βα, sowie α + jeweils auf die adere Seite, so erhalte wir die agegebee Ugleichug (ii) Folger Sie, dass die Folge (α + ) N ab eiem bestimmte 0 N mooto fällt [ Pukt] Beweis Setze wir b := α +, so folgt aus der i (a) gezeigte Ugleichug ud β > 0, dass b b 0 für fast alle N, dh (b ) N ist ab eiem bestimmte 0 mooto falled (iii) Folger Sie, dass die Reihe = (( )α α + ) kovergiert [2 Pukte] Beweis Die Partialsumme der agegebee Reihe sid Teleskopsumme der Form N = (b b ) mit b = α + Die Reihe ist somit geau da koverget (vgl 64), we (b ) kovergiert Da (b ) aber ach (ii) ab eiem 0 mooto falled ist, ud ach ute beschräkt (b 0), kovergiert (b ) (iv) Schließe Sie de Beweis ab, idem Sie die absolute Kovergez vo = folger [ Pukt] Beweis Aus (i) folgt (β ) (b b ) fast immer, mit b = α + wie i (ii) Die Aussage folgt also aus dem Majoratekriterium ud (iii) 2

3 (b) Sei α > Zeige Sie die Kovergez der Reihe = = =! (α+) (α+) [3 Pukte; Tipp: Wähle Sie 0 (α+) 2 /(α ) ud zeige Sie, dass da für alle 0 die Ugleichug + α+ gilt] α++ 2 Beweis Die Ugleichug + α+ ist äquivalet zu 2(+) 2(α++) α++ 2 (α++)(α+) Durch ausmultipliziere sehe wir, dass diese Ugleichug äquivalet ist zu 2α (α+) 2 +(α+), also zu (α+) 2 /(α ) Wähle wir u ei solches 0 (α+) 2 /(α ), so gilt die Ugleichug auch für alle 0, ud aufgrud der + α+ gezeigte Äquivaleze folgt für alle α Die Kovergez der Reihe ergibt sich u mit β := (α+)/2 > aus (a), da + = + α++ Aufgabe 83 [Leibizkriterium; 8 Pukte] (a) Utersuche Sie ( 2) k k= 2k+ auf Kovergez ud absolute Kovergez [2 Pukte] Beweis Die Folge (a k ) k defiiert durch a k = ( 2)k 2k+ ist keie Nullfolge, de 2k > 2k+ für alle k 3, dh a k für alle k 3 Die Reihe ka also icht kovergiere Bemerkug: Bei der Agabe hadelt es sich um eie Tippfehler Es war eigetlich die Reihe ( ) k k= gemeit, welche ach dem Leibizkriterium kovergiert, de 2k+ /(2k+) ist eie mooto fallede Nullfolge Diese Reihe kovergiert allerdigs icht absolut, de ud 2k+ 4k k k = (b) Beweise oder widerlege Sie: Ist (b k ) k N kovergiert auch k= a kb k [2 Pukte] beschräkt ud k= a k koverget, so Beweis Diese Aussage ist falsch, was folgedes Beispiel zeigt: Sei b k = ( ) k ud a k = ( ) k k Da ist b k =, dh (b k ) k ist beschräkt, ud außerdem kovergiert k a k ach dem Leibiz-Kriterium Allerdigs gilt a k b k = k, also ist k a kb k die harmoische Reihe ud kovergiert damit icht (c) Sei > 0 für alle N, sodass 0, N existiere mit 0 sowie Zeige Sie, dass k= ( )k a k kovergiert [2 Pukte] + Beweis ( ) ist eie Nullfolge, de 0 für fast alle N (siehe Bem i 82a), ud für die Kovergez eier Folge ist ur iteressat was für fast alle passiert, also für alle größer als eiem bestimmte 0 N (warum?) Außerdem ist ( ) ab N mooto falled Nach dem Leibiz-Kriterium kovergiert somit die Reihe k= ( ) k a k Da diese sich ur um edlich viele Terme vo k= ( )k a k uterscheidet kovergiert die letztere ebeso (d) Für k N sei a k = (k+) falls k gerade, ud a k = (k+) 2 falls k ugerade ist Prüfe Sie die alterierede Reihe k= ( )k a k auf Kovergez [2 Pukte] 3

4 Beweis Spalte wir die Summe i ugerade ud gerade k, so erhalte wir ( ) k a k = k= ( ) 2l a 2l + l= ( ) 2l a 2l = l= l= 2l + (2l) 2 l= Da l l 2 <, ud l (2l+) = divergiert die alterierede Reihe Bemerkug: Dies zeigt, dass es für eie alterierede Reihe k ( )k a k icht geügt, dass (a k ) k eie Nullfolge ist Die Mootoie ist etscheided Aufgabe 84 [Kodesatioskriterium, 8 Pukte] (a) Sei ( ) N eie mooto fallede Folge positiver reeller Zahle Zeige Sie, dass für alle k N 2 k a 2 k+ k+ =2 k + 2 k a 2 k Schlussfolger Sie, dass = geau da kovergiert, we = 2 a 2 kovergiert [2 Pukte; Diese Aussage ist auch als Kodesatioskriterium bekat] aufgrud der Moo- Beweis Für {2 k +, 2 k + 2,, 2 k+ } gilt a 2 k+ a 2 k toie vo (a k ) Da wir geau 2 k Terme aufsummiere gilt also 2 k a 2 k+ = k+ =2 k + Das beweist die erste Aussage a 2 k+ k+ =2 k + k+ =2 k + a 2 k = 2 k a 2 k Schreibe wir s = k= 2k a 2 k ud s = k= a k folgt (durch Aufsummiere der Ugleichuge), dass 2 (s s ) s 2 s Da (s ) ud (s ) mooto wachsede Folge sid, ist Kovergez äquivalet zu beschräktheit Aber die beide Ugleichuge zeige, dass we s A für alle da s 2A + s für alle ud dass we s B für alle da s B für alle Folglich ist s geau da beschräkt (also koverget) we s beschräkt (also koverget) ist (b) Für x R mit x > schreibe wir für alle y R l x (y) = sup ({ N x y} {}) Zeige Sie, dass dieses Supremum existiert Welche der folgede Reihe kovergiere, welche divergiere? Beweise Sie ihre Aussage (i) = l 2 () (ii)* = l 3 () 2 (iii)* = l 2 ()l 2 (l 2 ()) 2 [6 Pukte; Tipps: Für (ii), zeige Sie, dass l 3 (2 ) l 4 (2 ) /2 Für (iii), wede Sie das Kodesatioskriterium zweimal a] 4

5 Beweis Wir habe lim x = ach z B 6(i), somit ist die Mege { N x y} {} beschräkt ud icht-leer, hat also ei Supremum Für (i) beobachte wir, dass l 2 (2 ) = (für alle N) Darüber hiaus ist l x () mooto wachsed i für alle x > Folglich dürfe wir das Kodesatioskriterium awede, ud kovergiert geau da, we 2 l 2 () = 2 l 2 (2 ) kovergiert Aber das ist geau die harmoische Reihe, dere Divergez aus der Vorlesug bekat ist Für (ii) beobachte wir, dass 3 k < 4 k, ud somit l 3 () l 4 () Darüber hiaus ist l 4 (2 2 ) = l 4 (4 ) = ud auch l 4 (2 2+ ) = Folglich gilt i alle Fälle l 3 () /2 Nu wede wir wieder das Kodesatioskriterium a: l 3 kovergiert geau () 2 da, we 2 2 l 3 kovergiert Aber (2 ) 2 ud wir wisse, dass >2 2 2 l 3 (2 ) 2 = l 3 (2 ) 2 (/2 ) 2 = 4 ( 2) 2 ( 2) 2 kovergiert (vgl 73(d)) Somit kovergiert auch l 3 () 2 Für (iii) beutze wir das Kodesatioskriterium zwei mal Wir wisse dass geau da kovergiert, we 2 2 l 2 (2 )l 2 (l 2 kovergiert Aber diese Summe ist (2 )) 2 l 2 (da l () 2 2 (2 ) = ) Es hadelt sich wiederum um eie Summe mit mooto fallede Glieder, ud somit kovergiert sie geau da, we 2 2 l 2 kovergiert (2 ) 2 Aber diese letzte Summe ist u ud kovergiert (73(d)) 2 l 2 ()l 2 (l 2 ()) 2 5

Ähnliche Dokumente

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug: