Lösung III Veröentlicht:

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Marcus Schmidt
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1 1 Projektil Bewegung Lösung Ein Ball wird von dem Dach eines Gebäudes von 80 m mit einem Winkel von 80 zur Horizontalen und mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 40 m/ s getreten. Sei diese Anfangsposition der Ursprung des Koordinatensystems, wie in Abbildung 1 gezeigt. Also x 0 = y 0 = 0 m und die Beschleunigung ist die Gravitationsbeschleunigung a= a y = -g und die Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 40 m/ s hat Komponenten, die gegeben sind durch v 0x = v 0 cos θ = 6.95m/s, v 0y = v 0 sin θ = 39.39m/s. Abbildung 1: Projektil vom Dach eines Gebäudes (a) In dem Moment, in dem der Ball den Boden berührt ist y f = -80 m. Benutzt man die Relation y f = y 0 + v 0y t a yt 2 und setzt alle Werte ein, erhält man eine quadratische Gleichung für die Zeit t, die der Ball braucht um den Boden zu erreichen. Durch einsetzen bekommt man (5m/s 2 )t 2 (39.39m/s)t 80m = 0. Löst man nach t auf, ndet man, dass die Zeit die der Ball benötigt den Boden zu erreichen t 9.55 s ist. 1 / 5

2 (b) Die Geschwindigkeit des Balls, kurz bevor er auf den Boden trit kann mithilfe der Zeit t berechnet werden, die er benötigt um den Boden zu erreichen (siehe oben). Da v = v 0 + at, kann man sehen, dass v y = v 0y + a y t und oensichtlich ist v x = v 0x. Durch einsetzen der korrekten Werte erhält man v y = m/ s und v x = 6.95 m/ s. Das Minuszeichen kennzeichnet, dass die Bewegung nach unten geht. Die Eektivgeschwindigkeit des Balls kann dann wie oben berechnet werden v = v 2 x + v 2 y. Also v m/ s. 2 Gleichmäÿige kreisförmige Bewegung I Lösung (a) Ein geostationärer Satellit braucht ein Tag oder t= s um einmal um die Erde zu iegen. Eine Umrundung hat eine Strecke von s= 2πr, wobei r der Abstand vom Satelliten vom Zentrum der Erde ist (r= m). Benutzt man die Denition von Geschwindigkeit v = s t erhält man eine Geschwindigkeit des Satelliten von v 3.1km/ s. Der Betrag der Beschleunigung, die der Satellit spürt ist gegeben durch a = v2 r. Durch einsetzen der entsprechenden Werte ndet man eine Beschleunigung von a 0.23 m/ s 2. (b) Zu Beginn bewegt sich das Teilchen mit einer Geschwindigkeit v 1 = v auf einer Kreisbahn mit Radius r. Also ist seine Beschleunigung a 1 = v 2 /r und seine Periodendauer τ 1 = 2πr/v. Dann erhöht es seine Geschwindigkeit zu v 2 = 4v während es sich auf der selben Kreisbahn bewegt. Daher wird seine Beschleunigung jetzt a 2 = (4v) 2 /r sein und seine Periodendauer τ 2 = 2πr/(4v). Aus den obigen Rechnungen bekommt man a 2 /a 1 = 16 und τ 2 /τ 1 = Durch eine Versechszehnfachung der Geschwindigkeit hat sich eine Beschleunigung also vervierfacht und seine Periodendauer geviertelt. 2 / 5

3 Gleichförmige Kreisbewegung II Lösung (a) Ein Auto erfährt eine konstante Beschleunigung von 1 m/ s 2 parallel zur Straÿe. Dies ist die tangentiale Beschleunigung (a t ) des Autos.

3 3 Gleichförmige Kreisbewegung II Lösung (a) Ein Auto erfährt eine konstante Beschleunigung von 1 m/ s 2 parallel zur Straÿe. Dies ist die tangentiale Beschleunigung (a t ) des Autos. Wenn das Auto über die Spitze des kreisförmigen Hügels fährt ist seine Geschwindigkeit horizontal und hat einen Betrag von v= 10 m/ s. Der Hügel ist wie ein Kreis mit Radius r= 400 m geformt. Benutzt man die Denition der Zentripetalbeschleunigung (radial) a r a r = v2 r, erhält man a r = m/ s 2. Das Minuszeichen zeigt an, dass die Beschleunigung zum Mittelpunkt des Kreises zeigt, wie in Abbildung 2 dargestellt. Durch einfache Vektoralgebra lässt sich der Betrag der Gesamtbeschleunigung berechnen: a = a 2 t + a2 r. Einsetzen liefert die Gesamtbeschleunigung a= 1.03 m/ s 2. Die Richtung kann mithilfe der Winkelfunktionen berechnet werden tan θ = a r a t. Also ist die Richtung der Gesamtbeschleunigung gegeben durch θ 14 von der Bewegungsrichtung. Abbildung 2: Ein Auto fährt über einen Kreisförmigen Hügel 4 Konzeptionelle Frage I Lösung Welche der der folgenden Aussagen über Kraft und Bewegung ist korrekt? Geben sie Beispiele an (a) Ist es für ein Objekt möglich sich zu bewegen, ohne dass eine Kraft auf es wirkt? Ja, es ist möglich ein sich bewegendes Objekt zu haben, ohne dass eine Kraft auf es wirkt. In Abwesenheit von Kraft (vom Bezugsinertialsystem aus betrachtet) bleibt ein 3 / 5

4 Fx = mg sin θ = ma x Fy = N mg cos θ = ma y Physik I für Chemiker, ruhendes Objekt in Ruhe und ein sich bewegendes Objekt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter (Newtons I Gesetz). Kraft ist also nicht die Ursache von Bewegung, sondern die Ursache von Bewegungsänderung. (b) Ist es möglich, dass Kräfte auf ein Objekt wirken, ohne dass es sich bewegt? Ja, es ist möglich, dass Kräfte auf ein Objekt wirken, ohne dass es sich bewegt. Zum Beispiel auf ein Objekt, das auf dem Boden liegt wirkt eine Kraft nach unten durch die Gravitation, trotzdem bewegt sich das Objekt nicht. Genauso gilt, dass wenn sie gegen eine Wand drücken eine Kraft auf die Wand wirkt, jedoch bewegt sie sich nicht. 5 Konzeptionelle Frage II Lösung Ein groÿer Mann und ein kleiner Junge stehen sich auf reibungsfreiem Eis gegenüber. Sie legen die Hände gegeneinander und drücken sich voneinander weg. Wer bewegt sich schneller und warum? Gemäÿ Newtons III Gesetz, ist die Kraft die der Mann auf den Jungen ausübt und die Kraft die der Junge auf den Mann ausübt ein Aktion- Reaktion Paar, sie sind also vom Betrag her gleich. Aber der Junge hat eine kleinere Masse und erfährt somit eine gröÿere Beschleunigung (Newtons II Gesetz). Beide beschleunigen für die gleiche Zeit, aber die gröÿere Beschleunigung der Jungens führt dazu, dass er sich schneller wegbewegt. 6 Bewegung auf der schiefen Ebene Lösung Ein Auto der Masse m bendet sich auf einer vereisten Einfahrt mit Steigungswinkel θ wie in Abbildung 1 zusammen mit dem Kraftdiagramm, das die Kräfte auf das Auto darstellt zu sehen ist. (a) Die einzigen Kräfte, die auf das Auto wirken sind die Normalkraft N ausgeübt durch die schiefe Ebene (die Kraft ist senkrecht zur Oberäche), und die vertikale Gravitationskraft F g = m g. Betrachten sie das Koordinatensystem, bei dem die x-achse in Bewegungsrichtung zeigt. Wendet man Newtons II Gesetz für die x- und y-richtung an, erhält man und Lösen der oberen Gleichungen ergibt a x = g sin θ. Da es keine Bewegung in y-richtung gibt ist es oensichtlich, dass a y = 0. 4 / 5

5 (b) Sei die Anfangsposition der Frontstoÿstange x 0 = 0 und y 0 = 0 und die Endposition x f = d und y f = 0. Von den Gleichungen für zurückgelegtem Weg mit konstanter Beschleunigung, ist bekannt dass x f x 0 = v 0x t a xt 2 Durch einsetzen von x f = d und x 0 = 0 sieht man, dass d = 1 2 a xt 2 wobei a x = g sin θ. Auösen nach t zeigt, dass die Frontstoÿstange den Fuÿ des Hügels nach einer Zeit t erreicht, welche gegeben ist durch 2d t = g sin θ (c) Für konstante Beschleunigung gilt v 2 fx v2 0x = 2a x d Daher ist die Endgeschwindigkeit des Autos, nachdem es die Distanz d gefahren ist v fx = 2a x d Durch einsetzen von a x = g sin θ sieht man, dass das Auto den Fuÿ des Hügels mit einer Endgeschwindigkeit von v fx = 2gd sin θ erreicht. Abbildung 3: Ein Auto auf der schiefen Ebene. 5 / 5

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