Datenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp

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Viktoria Holst
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1 Datenanalyse PHY31 Herbstsemester 016 Olaf Steinkamp 36-J

2 Vorlesungsprogramm Einführung, Messunsicherheiten, Darstellung von Messdaten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik - Mittelwert, Standardabweichung, Kovarianz und Korrelation Fehlerfortpflanzungsgesetz Wahrscheinlichkeitsverteilungen - diskrete Verteilungen, kontinuierliche Verteilungen - zentraler Grenzwertsatz Monte-Carlo Methode Wahrscheinlichkeitsverteilungen II - Faltung zweier Verteilungen - Verteilungen zweier Variablen Stichproben und Schätzfunktionen - Maximum-Likelihood Methode - Methode der kleinsten Quadrate Interpretation von Messergebnissen - Konfidenzintervalle, Testen von Hypothesen Beispielprogramme im Verzeichnis /disk/puma/da/vorl/ffp Fehlerfortpflanzung

3 Unsicherheit auf einer Funktion fx Messunsicherheit σ x auf der Größe x sei nicht zu gross Abweichungen der Messwerte x i vom Mittelwert x sind nicht zu groß Ansatz: lineare Näherung für fx um fx Varianz der Funktionswerte V f 1 N N f x i f x i 1 1 N N i 1 f x i f x + x x x i x f x i f x 1 N N f x i i1 xx x N x x 1 N x i x i1 V x f x Fehlerfortpflanzung 3 N 1 N f x i i 1 f x + 1 x N i x f x i1 σ f N 0 V f x x σ x

4 Unsicherheit auf einer Funktion fx,y Messunsicherheiten σ x und σ y seien nicht zu gross lineare Näherung f x i, y i f x, y + Varianz der Funktionswerte V f 1 x N i x + V x x x y y x i x + y y x x i y y y 1 N N i 1 f x i, y i f x i, y i 1 N N i 1 f x i, y i f x, y 1 N N i 1 x i x + y y i y V y y 1 N y i y + f x, y f x, y y 1 N x i x y i y cov x,y σ x + y σ y Gausssche Fehlerfortpflanzung Fehlerfortpflanzung 4 + y cov x, y

5 Gaußsche Fehlerfortpflanzung Spezialfall: keine Korrelation zwischen den Variablen cov x, y 0 σ f σ x + y σ y gaußsche Fehlerfortpflanzung gilt NICHT wenn x und y korreliert sind, z.b. bei gemeinsamen systematischen Messunsicherheiten x und y sind zwei Längen und wurden mit demselben Maßstab gemessen Abhängigkeit von gemeinsamen Parametern x und y wurden mit zwei unterschiedlichen Messgeräten gemessen, aber die Eichung beider Messgeräte hängt von der Temperatur bei der Messung ab Vernachlässigen des Kovarianzterms kann zu grob falscher Misseinschätzung der Unsicherheit auf fx,y führen x und y positiv korreliert Unsicherheit auf fx,y zu klein geschätzt x und y negativ korreliert Unsicherheit auf fx,y zu gross geschätzt Fehlerfortpflanzung 5

6 Eine Funktion mehrerer korrelierter Messgrößen Funktion f x, y von zwei korrelierten Messgrößen x und y V f V x + y V y + y cov x, y Funktion f x 1,, x n von n korrelierten Messgrößen x i i 1,, n oder n V f V x i + i 1 i i 1 n j i i j cov x i, x j n n V f i 1 j1 i j cov x i, x j wegen cov x i, x i x i x i x i x i x i x i V x i Fehlerfortpflanzung 6

7 Fehlerfortpflanzung in Matrixschreibweise V f f 1,,, n V x 1 cov x 1, x cov x 1, x n cov x 1, x V x cov x, x n cov x 1, x n cov x, x n V x n / 1 / n f / G V x ~ G G Jacobi-Matrix Ableitungsmatrix der Funktion f G i / i i, j 1,, n V x Kovarianzmatrix Fehlermatrix der Messgrößen x i V i j cov x i, x j i, j 1,,n Fehlerfortpflanzung 7

8 Fehlerfortpflanzung in Matrixschreibweise Einfaches Beispiel in Matrixschreibweise Funktion f x 1,x,x 3 dreier unkorrelierter Messgrößen x 1, x, x 3 G 1,, 3 ; V x σ x 1 0 σ x σ x3 V f G V x ~ G 1,, 3 σ x σ x σ x 3 / 1 / / 3 σ x1 1 + σ x + σ x3 3 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz für drei unkorrelierte Messgrößen Fehlerfortpflanzung 8

9 Mehrere Funktionen mehrerer Messgrößen N Funktionen f 1 x 1,,x n,,f N x 1,,x n, von n Messgrößen x i i 1,,n Varianz einer Funktion fk k in 1,,N n n V f k i 1 j1 k i k j cov x i, x j Kovarianz zweier Funktionen fk und f l k,l in 1,,N n n cov f k,f l i 1 j 1 k i l j cov x i, x j ; cov f k,f k V f k aufgepasst: die Funktionen f k und f l hängen von denselben Messgrößen x i ab verursacht im allgemeinen Korrelationen zwischen f k und f l selbst wenn die Messgrößen x i selbst untereinander unkorreliert sind in Matrixschreibweise: V f G V x ~ G V x : Kovarianzmatrix der Messgrößen n n G : Jacobi-Matrix N n, G ki f k / x i V f : Kovarianzmatrix der Funktionen N N Fehlerfortpflanzung 9

Beispiel Koordinatentransformation Spurdetektor zur Rekonstruktion der Spuren geladener Teilchen messe Positionen der Teilchen in dünnen Detektorlagen Detektorlagen oft in konzentrischen Zylindern

10 Beispiel Koordinatentransformation Spurdetektor zur Rekonstruktion der Spuren geladener Teilchen messe Positionen der Teilchen in dünnen Detektorlagen Detektorlagen oft in konzentrischen Zylindern angeordnet Ortsmessung in Zylinderkoordinaten r,φ,z r: Position der Detektorlage Messunsicherheit vernachlässigbar klein φ und z: Ortsmessung in der Detektorlage Messunsicherheiten σ φ und σ z Annahme: Messungen in φ und in z unkorreliert unterschiedliche Detektorlagen suche Messunsicherheit in kartesischen Koordinaten x r cos φ, y r sin φ, z G x r y r r φ y φ φ y cosφ r sin φ 0 sin φ r cos φ ; V r φ z σ φ σ z Fehlerfortpflanzung 10

11 Beispiel Koordinatentransformation V xyz G V r φ z cos φ r sinφ 0 sin φ r cos φ σ φ σ z σ φ r sin φ σ φ r sin φ cosφ 0 σ φ r sin φ cosφ σ φ r cos φ σ z ~ G cosφ sinφ 0 r sin φ r cosφ σ φ y σ φ x y 0 σ φ x y σ φ x σ z Qualitative Analyse: Unsicherheit auf z ist unabhängig von x und y ~ 0º y klein Unsicherheit auf x klein x r ~ 90º x klein Unsicherheit auf y klein y r x und y sind zu 100% antikorreliert messe y r x Fehlerfortpflanzung 11

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